浅谈折叠问题在初中数学中的应用

◎刘洪友

(平度市实验中学，山东 平度 266700)

在初中数学学习中，折叠问题能够将学生的实际解题能力与空间思维能力紧密结合在一起.在学习折叠问题的过程中，学生通过对图形变化的观察，灵活运行解题思路，能够有效解决数学教学中存在的问题，感受到不一样的数学图形.同时，在学生对折叠图形进行观察的过程中，教师可以逐渐培养学生对图形的审美能力，使学生能灵活地解决数学平面图形的类似问题.这样就为学生今后学习图形问题奠定了坚定的基础，有利于发散学生的思维.几何问题是初中阶段数学学习的关键，随着教育领域的不断创新，传统的教学方式正在被逐渐淘汰，这对于初中数学教师来说，将会是全新的挑战.对于折叠问题在初中数学中的应用效率，教师应着重培养学生的空间能力，以便他们更好地投入几何问题的学习中.在初中阶段，一旦学生未能形成数学图形思维，在未来的学习过程中将会长期处于被动地位.

一、几何问题在初中数学中的重要地位

折叠问题是几何问题的主要表现形式，几何问题中的折叠问题包含了多种多样的图形问题.这就需要学生活跃思维，在复杂的图形组合中找到等量关系去解决数学实际问题，对复杂的数学图形中的隐性条件进行挖掘，在这一过程中不断感受数学几何问题的魅力，充分锻炼学生的思维逻辑性.几何问题是每逢考试过后，学生与教师沟通频率最高的题型，其中，折叠问题与学生的成绩息息相关.折叠问题的答案有且仅有一个，并且解题步骤之间具有紧密的联系，一步出现问题将会影响整体答案，因此，学生在对折叠问题进行思考时一定要谨慎小心，才能确保数学成绩的合格率.折叠问题是几何图形千变万化形式中的关键，也是初中数学学习项目中的重点，因此，教师重视折叠问题在初中数学中的应用，使学生在学习过程中形成强烈的空间思维，对基础图形进行有效的巩固，能够使学生精准地把握数学折叠问题中的隐性条件，更加熟练地解决几何问题.

二、折叠问题在初中数学中存在的问题

(一)有关折叠问题的教学理念不强，学生的学习主动性较差

受传统数学教学模式的影响，几何问题的教学方面依旧存在着一些限制.几何问题让学生对数学产生严重的抵触情绪，部分数学教师经常会忽视这一点，依旧按照固定的方式进行授课，最终导致学生出现疑问时无法有效解决，对折叠问题的疑问积少成多，对空间几何问题的学习能力逐渐变差.有些教师过于追求教学进度，而忽视了学生的学习效果，这样不仅使学生无法掌握折叠问题的解题精髓，而且会大大降低学生对几何知识探索的积极性.久而久之，一些学生在数学课堂上会出现注意力不集中等问题.学生只能依靠死记硬背的学习方式来做题，思维灵活性逐渐变差，遇到折叠问题的时候无从下手，全权依靠思维逻辑性较强、成绩优异的学生，导致班级数学成绩形成严重的偏差，影响班级成绩的平衡性.

(二)教学模式过于局限性，全权依靠课本内容

折叠问题考验学生的逻辑思维能力.由于课本内容过于单一，教师应充分锻炼学生的逻辑思维能力.在信息技术广泛普及的情况下，各中小学校早已普及多媒体教学工具，因此，教师应充分借助多媒体教学工具的优势，使复杂的几何图形变得更加灵活形象.但是，部分学校教师轻视了多媒体教学工具的重要性，忽视了学生个性发展的理念，依旧采用传统的课本教学模式，导致学生无法发散空间几何思维，课堂氛围过于死板沉闷，严重挫伤学生的课堂参与积极性，影响教学效果的提高.折叠问题本身需要较强的逻辑性，复杂的图形加剧了学生的思考难度.当部分学生在折叠问题中遇到困难却没有得到解决时，他们就会逐渐丧失对该学科的学习兴趣，而随着折叠问题难度的逐渐增加，学生的抵触心理就愈加强烈.如果当遇到难题时，学生表现出无所谓的态度，就会在一定程度上阻碍几何教学的进程.

(三)教学体制不完善，教师素质较低

教师作为课堂的主导者，对初中数学课程的开展发挥着关键作用，完善的教学体系有助于学生学习折叠问题.几何内容中的折叠问题需要充足的教学工具作为支持，但由于部分学校的教学体制不完善，缺少教学工具，学生难以发挥空间想象力.同时，部分教师的工作意识不强烈，对学生采取知识灌输教育方法，进而忽视了学生对逻辑思维的训练.要想顺利开展折叠问题的教学，教师应先激发学生对折叠问题的思考与想象力，因为只有当学生沉迷其中时，才是进行教学的最佳阶段.但有些教师经常性地忽视学生的心理想法，过于追求教学进度，导致学生难以对折叠问题产生求知欲望.同时，部分教师一味地向学生传授知识，忽视了课堂上的参与互动环节，导致教学效率降低.教师作为课堂的操控者，尤其是在几何问题的学习中，应着重培养学生的实践操作能力，在此基础上开发学生对折叠问题的思路，并及时做出引导与教学支持，确保班级学生对折叠问题的解题思路多样化.

三、折叠问题在初中数学中的具体应用方式

(一)学生动手操作，感受折叠图形的变化过程

大多数学生对几何问题的学习热情不高，难以保持高度的学习热情，再加上现阶段学生的毅力较差，当遇到学习困难时就会选择放弃.教师应充分利用有效的教学模式，有效地改变这一现状，充分激发学生对待折叠问题的求知欲望，让学生通过几何练习找到对数学学习的趣味性.由于折叠问题是图形变换中较为重要的一部分，学生需要经历“折”这个过程，才能得到“叠”之后的结果，换言之，即探索图形的对称特点.教师应合理使用折叠问题，引导学生带着抽象思维寻找基本图形中存在的基本规律，从而找到解决折叠问题的多条途径，这样一来，学生的思维将呈现出极强的发散性.因此，教师应引导学生亲自动手操作，使学生寻找到折叠过程中的趣味性.因为数学几何内容的趣味性主要是通过学生对千变万化的图形分解，找到等量关系进而求出正确答案的自豪感体现的.学生对数学学科的求知欲望，全部依靠在一次次的解题成功的成就感中获得.但对于空间思维较差的学生来说，这无疑是一种负担，因此，学生只有通过双手感悟、双眼观看图形的折叠过程，才能对图形折叠前后的样子形成必要的联系.例如，在数学习题中，正方形的边长为16厘米，要将该正方形进行折叠，使点落在线上为点，折痕为，且的值为4，求与的值.教师可以借助一张正方形纸片，亲自将图形进行折叠，让学生多次观看图形的变化，让理解能力较差的学生也能进行动手操作，通过对图形不断的变化折叠在对边长进行换算的过程中感受线段的变化，最终求得正确答案，这样不仅培养了学生的空间几何能力，还锻炼了学生对图形的动手操作能力.在这一过程中，学生能逐渐形成图形思维，对未来的几何问题探讨有显著的帮助.由此可见，教师采用通过动手完成图形折叠的方式，可以帮助学生进一步掌握与折叠图形相关的性质，使学生可以灵活运用折叠图形性质进行下一步的计算，从而使学生对自身想法做到科学的验证，有利于学生空间想象能力与逻辑推理能力的同步强化.要想将折叠问题有效利用，教师应考虑培养初中生的综合思维习惯，引导学生在遇到数学问题时可以将问题进行分解，找到与问题相关的多个条件，借助换元的方式完成进一步的求解.学生在对折叠问题的学习过程中能够经历观察、猜想、验证与总结等多个数学活动，从而形成合情推理能力，获得演绎推理能力的有效提升，可以对自身想法做到分享.在此基础上，学生可以带着主动性参与知识探索活动，对数学具有的严谨性有新的认识，懂得如何正确运用数学语言表达真实想法，也会运用所学知识与技巧解决各类数学问题，使得自身所应具有的数学核心素养得到不断提升.

(二)基础图形作为折叠图形的解题基础

初中数学几何问题都存在着一定的关联性，一些常用图形都具有鲜明的特点，为学生解题提供了重要帮助.几何问题是将简单的图形整合为一体，这就需要学生具备较强的逻辑思维能力观察图形，对图形进行拆分.同时，折叠一直是图形运动的形式之一，而且具有一定的灵活性，教师可以运用折叠问题引导学生对几何图形知识加以利用，感受图形具有的多变性，从而实现不同知识点的有效融合，最终突破学习的重难点.那么，在对折叠问题进行解题时，教师可以先帮助学生进行图形拆分，让学生观察基础图形的模式，并将其带入复杂图形的学习中.这样一来，学生才能从观察图形入手，感受图形折叠后位置的变化情况，进一步分析位置变化之后带来的意义，充分展示学生的活跃地位，使学生的解题思路更加广泛，以基础图形延伸到折叠图形达到实际教学目的.例如，在长方形中，边与边分别是16、18，将此图形由点往边折叠，并落在点上.此时形成的折痕长度是多少.在对此类图形进行解答时，学生应先在脑海中构建基础图形，并借助辅助线将同等的两种三角形划分出来，在计算折痕长度时，不能直接寻找等量关系，而应先建立图形模式，再进行更深层次的研究.学生在折叠问题的分析与解决过程中能逐渐树立起空间观念，同时，学生所具有的空间思维能力能得到极大程度的提高，能够根据物体所凸显的特征，运用空间想象能力构建出新的几何图形，寻找到空间物体的实际方位，找到相互之间存在的位置关系.另外，学生还能将脑中构建的几何图形运用严谨的数学语言进行详细描述，也会根据脑中想象完成图形的绘制，更好地完成折叠图形问题的解答.教师还应重视不同题型的训练，引导学生看到折叠问题与勾股定理、方程和一次函数之间存在的潜在联系，这样一来，学生才能在多样的题型中看到折叠问题能够以折痕为对称，运用当中的对称性将图形中存在的一些等量关系做到精准挖掘，有利于问题的科学解决.学生在面对图形问题时，如果没有解题思路，那么可以动手尝试，通过折与叠的方式观察图形的变化情况，从而寻找到不同的解决办法.因此，为了保证学生灵活运用折叠方式来解决问题，教师在日常教学中必须加强训练，同时需要夯实学生的理论知识基础，才能保证学生对所学知识进行灵活的运用，使学生能有方向地完成折叠问题的梳理并主动与他人分享，促进学生数学能力的提高.

(三)借助多媒体教学工具，使学生活跃起来

几何图形都是印在卷子或课本上的单一图形，但解题思路是让学生通过想象将图形拆分，这对于学生来说存在一定的困难，也加重了教师的工作负担.因此，教师可以借助辅助教学工具为学生提供更加方便的学习条件.现今，多媒体教学工具作为典型的教学辅助工具，已经在学校中得到广泛的应用.在多媒体教学工具的辅助之下，学生更加方便地学习几何问题.教师可以将复杂的图形用PPT课件的形式展现在多功能黑板上，并通过教学技术以动画的形式将图形进行拆分，分解成两个或多个简易图形，并引导学生对图形进行思考、观察，使学生从中找寻解题思路，以及图形中的等量关系.同时，教师可以借助小组学习的教学模式，让学生自愿结组并强调每组学生的成绩要均匀分配，不要出现学优生扎堆、学困生无组织的现象，使成绩优异的学生带动学困生.同学之间只有互相交流学习经验，才能实现教学效果的最优化.同时，小组学生可以分工合作，如有的人负责图形折叠，有的人负责图形拆分，建立层次分明的学习模式.学生之间便于沟通能更有效地解决数学问题.为确保课程任务，教师要限制小组学生学习的时间，要留出充足的时间让他们进行思考，充分解决各阶层学生对几何问题的思考.小组合作模式能够有效地解决学生的学习困难，对于学困生来说也是查漏补缺的好机会，因此，教师应充分借助小组合作学习的力量，为学生寻找更有效的学习方式，为学生学习数学提供充足的空间.为了将折叠问题更好地应用于初中数学中，教师必须对数学问题进行诊断与分析，掌握学生的认知基础，明白学生已有简单的折叠经验，同时从心理特征入手，考虑到学生的求知欲望高，必须鼓励学生勇于尝试，强化学生的动手能力，这样一来，学生才能获得新的收获.例如，学生可以通过动手操作的方式将问题巧妙地转换为几何语言，凭借认知基础与主动探究精神透过现象看到问题的本质，从而找到折叠中存在的潜在规律.学生可以运用不同的方式在合作探究方式下完成问题的解决，同时做到举一反三，获得触类旁通的能力.教师还应通过不断反思寻找到折叠问题在初中数学课堂中的应用问题，从学生的思维发展特征入手，运用不同类型的折叠问题对学生推理与转化能力进行极大程度的培养.因此，教师需要根据学生真实的能力为其打造出一种可以实现生动活泼的情境，将抽象的内容巧妙转换为折叠问题，使得学生在形象化的方式下从不同角度寻找解决问题的途径，切实有效地提升学生的解题能力，这对学生的长远发展产生深远的影响.

四、结语

综上所述，“折叠图形”这一内容主要考验学生的逻辑思维能力，以及对几何问题的掌握程度，因此，学生应充分借助教学优势来完善自身在学习中的不足，利用45分钟课堂时间有效地完成逻辑思维训练，在保障头脑发育的同时能够提升自身对折叠问题的解题优势，为数学能力的良性发展提供有效帮助.同时，教师应充分借助现有的教学工具，锻炼学生的思维逻辑性，使学生能通过动手折叠图形的方式感受复杂图形的多种变化，更加熟练地掌握运用数学图形解题的思维，提升学生的学习效果，提高学生的综合能力.