分形树图在多元函数的高阶偏导数美的体现

杨亚荣

（保山中医药高等专科学校 云南保山 678000）

分析理论是在20 世纪70年代中叶美籍法国数学家曼德布鲁特在《自然界的分形几何》一书中率先提出挑战，是他第一次完整地给出“分形”及“分数维”的概念，同时，提出分数维的定义和算法，这便诞生了一门新的数学分支——分形几何［1］。分形从创立到现在不长的时间里展现出美妙的未来、广阔的前景，它在动力系统、物理学、流体运动、酶的构造过程、经济学、地质构造、天文学、艺术等方面有广泛的应用。目前，分形理论在艺术领域中有广泛的应用，很多影片中出现有一系列奇峰异谷和独特的场景都是分形图案，用分形手段创造而产生了这些新颖、美丽的外星世界。而多元函数的高阶偏导数是高等数学的重要内容，它是各类考试的题型之一，学好多元函数的高阶偏导数尤为重要［2］。因此，本文结合笔者教学实际，将抽象、枯燥、乏味、难以理解多元函数的高阶偏导数的学习过程与分形理论结合起来，让学生在高等数学的数学学习过程中感受数学之美，体会数学来源于生活实际，并应用于生活。通过多高阶偏导数的定义和求导过程，得出求多元函数的高阶偏导数是一个经典的分形树图，高阶偏导数求导顺序是依次先求一阶、二阶，等等，直到n阶偏导数，具有分析的传递性，在高阶偏导数的求法和个数具有分形的自相似性。

1 分形树图的生成

分形树图是美国生物学家Lindenmayer提出，运用于描述植物的形态和生长过程的方法，简称为花草树木（L系统）模型。分形树图的生成是应用分形理论中一种递归算法，递归算法所得到的分形树同样拥有自相似性，该方法按照一定的分形单元所生成的图形能够很好地模仿自然界中树的形态［3-5］。经典的二叉分形树的递归算法概述如下。设A点坐标为(x0，y0)，B坐标为(x1，y1)，C点坐标为(x2，y2)，D点坐标为(x3，y3)，l为树干的长度，α 为生长于一个节点上的两个枝干间的夹角，具体递归过程如下。

A点 坐 标(x0，y0)，B点 坐 标 为(x1，y1)，枝 干 的长度l。

从B点出发，改变枝干长度、生长角度α，可得到C、D点坐标。

由B点坐标为(x1，y1)，C点坐标为(x2，y2)，可得到树枝BC。

由B点坐标为(x1，y1)，D点坐标为(x3，y3)，可得到树枝BD。

完成以上步骤即可生成一个分形单元，见图1。利用以上步骤，在给定分形单元及初始生长点的情况下，将生长点坐标、枝干长度及生长角度作为参数，不断迭代，可以得到形状丰富的树状结构，见图2。

图1 分形图形生成方法示意图

图2 经典的二叉分形树图

2 分形树图在多元函数的高阶偏导中的应用

偏导数的求导法则：

定义1［4］：设函数z=(x，y)，在区域D内具有偏导数，那么，在D内，ux(x，y)及uy(x，y)是x，y的二元函数。若ux(x，y)和uy(x，y)的偏导数还存在，则称ux(x，y)和uy(x，y)的偏导数是z=(x，y)的二阶偏导数，函数z=(x，y)二阶偏导数有4个，分别为：

其中，uxy与uyx称为z=(x，y)的二阶混合偏导数，利用同样的方法来定义三阶、四阶，等等，n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，求二元函数的三阶数偏导数，如图3所示。

图3 二元函数的三阶偏导数求导过程图

从图3 可以得出如下结论：（1）二元函数的二阶、三阶偏导数求导过程图与分形树图中的经典二叉分形树图从形式看是一致的；（2）由高阶导数的定义可以得出，二阶偏导数是在一阶偏导数的基础上定义，若一阶偏导数是二元函数，利用求一阶偏导数的方法，对每一个一阶偏导数继续求关于x，y的偏导数，得到二元函数的4 个二阶偏导数；若4 个二阶偏导数还是关于x，y二元函数，那么，利用求一阶偏导数的方法，对每一个二阶偏导数继续求关于x，y偏导数，得到8个三阶偏导数。二阶、三阶偏导数的求法与一阶偏导数求法是相似的，每个一阶、二阶偏导数的个数都是2 个，说明高阶偏导数的求法和个数具有分形的自相似性。

若存在n阶偏导数，一直求到n偏导数，不难得出高阶偏导数问题也是一个分形，高阶偏导数求导过程图是一个分形树图，高阶偏导数求导顺序是依次求一阶、二阶，等等，直到n阶偏导数，具有分析的传递性，高阶偏导数的求法和个数具有分形的自相似性。

例1：求函数z=xy+x2siny的所有二阶偏导数和三阶偏导数。

解：二元函数的三阶偏导数求导过程见图3（a）至图3（c），则：

例2：设z= 4x3+ 3x2y- 3xy2-x+y，求。

解：二元函数的偏导数求导过程见图3（b）至图3（c），则：

例3：设u=eaxcosby，其中，a、b为常数，求二阶偏导数。

解：二元函数的二阶偏导数求导过程见图3（b），则：

例4：求u=xln(x+y)的二阶偏导数。

解：二元函数的二阶偏导数求导过程见图3（b），则：

例5：设f(u，v) 具 有 二 阶 连 续 的 偏 导 数，z=f(exsiny，x2+y2)，求。

解：设u=exsiny，v=x2+y2，二元函数的二阶偏导数求导过程见图3（b），则：

3 结语

高阶偏导数问题是一个分形，偏导数求导过程图类似一个分形树图，求法与个数上都具有分析的相似性。