基于正交匹配追踪算法的虚拟内插空间平滑DOA估计

张 骄， 王 敏

(山西大学 物理电子工程学院， 山西 太原 030006)

0 引 言

随着信息时代的发展， 人们需要处理的信息越来越庞大， 传统采样定理的应用遇到了瓶颈， 压缩感知技术逐渐进入人们的视野. 在传统的信号采样中， 采用奈奎斯特采样定理能够完全的恢复出原始信号的信息， 同时也带来了一系列问题， 比如占用存储空间较大， 运行时间较长、 采样数据量大等， 为了能够提高系统性能， 必须解决这些问题. 所以， 在实际中采用了压缩感知技术， 压缩感知技术是一种利用较低采样速率对信号进行采样的方法， 这种方法既能保留原有的信息， 也能解决信号数据量较大等问题. 同时， 能够抑制干扰， 进而改善系统估计波达方向的精度问题.

压缩感知理论[1-5]又被称为压缩采样理论， 该理论从连续时间信号中进行采样， 提取有用信号， 将信号变换为压缩样本， 然后， 运用优化算法， 将压缩样本恢复出原始信号. 压缩感知理论主要由稀疏表示、 测量矩阵和重构算法3个部分组成. 其中， 重构算法是本文研究的重点环节， 它的作用是从压缩采样之后的信号中恢复出原始信号. 近年来， 涌现出了各式各样的压缩感知重构算法， 在无线通信[6-8]、 定位导航[9-10]、 医学成像等方面取得了一定成果. 例如， J. Tropp等[11]提出了正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)， 在重构算法的研究中发挥了重要作用.

文献[12] 提出了一种近似 OMP， 通过优化最小二乘问题， 提高重构速度， 降低计算复杂度； 文献[13]采用OMP降低了模拟数字转换器等设备的性能复杂性； 文献[14] 提出了一种改进的OMP稀疏分解算法， 对不同个体的光体积描记信号(光体积描记信号是人体固有的生理信号， 包含了大量的人体病理生理信息)进行分解， 大大减少了计算量； 文献[15] 给出一种基于半张量积的正交匹配追踪重构算法， 降低了随机观测矩阵的存储空间. 正交匹配追踪算法虽然很大程度上降低了采样数据量， 但同时也降低了系统的估计性能. 本文以互质阵列为模型， 先使用正交匹配追踪算法对阵列接收到的采样数据进行压缩重构， 结合互质阵列虚拟内插和空间平滑技术， 使该阵列能够采用较少的数据对相干信号实现精确的估计. 通过数据仿真分析， 验证基于压缩感知的虚拟阵列内插算法的有效性.

1 正交匹配追踪算法

压缩感知理论主要采用较低的采样频率对信号进行采样， 采样频率远低于奈奎斯特采样定理， 再利用重构算法恢复出原始信号.

如果输入原始信号X， 那么可以选择一组正交基向量Φ进行稀疏变换[16]， 那么输入信号可表示为

X=Φδ,

(1)

式中：δ为信号X在每一个正交基Φ上的系数向量， 每个向量δ都具有稀疏特性.

接着对接收到的数据信号进行压缩采样， 即用一个测量矩阵ψ进行线性表示， 这里的测量矩阵与正交基向量不相关， 将拥有较大数据量的高维信号压缩采样成低维信号， 可表示为

Y=ψX.

(2)

将式(1)带入式(2)， 输入信号的稀疏矩阵

Y=ψΦδ=θδ,

(3)

式中：θ=ψΦ为传感矩阵.

将式(3)中的Y通过重构算法重构原始信号， 在本文中运用了正交匹配追踪算法.

正交匹配追踪算法是一种经典的压缩感知重构算法. 其大致思想是： 把测量矩阵的每个列向量均看作一个原子， 两两列向量之间相互正交， 每次迭代都通过计算测量矩阵各个列向量与当前残差之间内积找出最相关的一个原子加入支撑集， 计算稀疏信号的估计值并更新残差， 接着重复上述步骤进行多次迭代， 直至残差小于设定阈值， 由得到的支撑集原子估计出原始信号. OMP算法总结如下：

输入： 稀疏度S， 采样信号Y， 传感矩阵θ.

输出： 重构信号X

初始化： 残差r0=Y， 重构信号x0=0， 索引集Λ0=Φ， 迭代次数n=2×S， 计数器s=0.

初始化完成以后， 其具体步骤如下：

步骤1： 计算残差和传感矩阵的每一列的内积值cs=AT×rs-1， 并找出ck中最大的元素csmax=max{cs}以及对应的位置Q；

步骤2： 更新索引集∂s=∂s-1∪{Q},以及原子集合θ∂s=θ∂s-1∪{θ(：Q)}；

步骤3： 利用最小二乘法得到

(4)

步骤4： 更新残差rs=Y-θXs；

2 基于互质阵列的虚拟阵列内插

2.1 互质阵列结构模型

本文以互质阵列为模型， 互质阵列是一种稀疏阵列， 互质阵的阵列结构如图1(c)所示. 该阵列由图1中的两个子阵1(a)和子阵2(b)嵌套构成， 子阵1(a)和子阵2(b)均为均匀线阵， 将子阵1(a) 和子阵2(b)的第1个阵元放在同一位置. 假设子阵1(a)和子阵2(b)的阵元个数分别为M和N， 相邻两个阵元之间的距离为Nd和Md，M和N必须为互质的整数， 以使两个子阵嵌套时， 除了第1个阵元重叠之外， 其他阵元都不重叠， 其中d=λ/2表示半波长.互质阵列的阵元数为M+N-1.

图 1 互质阵列模型

设互质阵列接收的目标信号个数为K， 那么互质阵列的接收信号

(5)

式中：A(θ)=[α(θ1)，α(θ2)， …，α(θK)]， 表示阵列流型矩阵， 其中

α(θk)=[1,e-jπi1dsin(θk),…,e-jπiM+N-1dsin(θk)]T,

(6)

式中：θk为第k个目标信号的入射角度；s(t)表示由k个信号组成的信源矢量；n(t)表示加性高斯白噪声； [·]T表示矩阵转置运算；i为第l个阵元，i=1,2,…,M+N-1.

互质阵列接收信号x(t)的协方差矩阵表示为

(7)

式中: [·]H表示共轭转置运算.

(8)

2.2 互质阵列的虚拟阵元拓展方式

互质阵列通过将物理阵列扩展成虚拟阵列的方式， 提高对波达方向估计的自由度， 将物理阵元的位置两两作差的集合， 得到一个差分集， 差分集代表了虚拟阵列中每个阵元的位置. 为了得到互质阵列的虚拟阵列， 将协方差阵列向量化， 即

(9)

式中：vec(·)为矩阵的向量化运算，iB=vec(I)，AB为虚拟阵列的阵列流型矩阵， 其表达式为

AB=[α*(θ1)⊗α(θ1),α*(θ2)⊗α(θ2),…,

α*(θK)⊗α(θK)],

(10)

式中： ⊗表示克罗内克积运算. 假设物理阵元

hd={li,i=1,2,…,M+N-1}d,

(11)

位于lid互质阵列中第i个阵元的位置， 那么该物理阵列的差分集

hdid={|li-lj|i,j=1,2,…,M+N-1}d.

(12)

式(12)即为式(11)相对应的虚拟阵列的阵元位置. 该差分集对应的矢量

(13)

式中：D为互质阵列虚拟后位于hdid的虚拟阵列的阵列流型矩阵.

本文假设子阵1的阵元数为3， 子阵2的阵元数为5， 实际阵元的位置为{0,3,5,6,9,10,12}， 互质阵列模型如图2(a)所示. 图 2(b) 为图 2(a) 阵列对应的虚拟阵列. 对比图2(a)和图2(b)可以看出虚拟阵列阵元数明显增加， 但在位置{-11,-8,8,11}处存在阵元缺失， 所以该虚拟阵列是一个非均匀线性阵列.

图 2 互质阵列实际阵列、 虚拟阵列和内插虚拟阵列模型

2.3 基于虚拟阵列的内插平滑DOA估计

为了获得原始阵列的全部信息并提高阵列的自由度， 本文引入了阵列内插的思想， 将非均匀阵列构造成均匀阵列， 在这个阵列中不仅包含了虚拟阵列的所有信息， 而且解决了阵列不均匀所带来的问题.

分别在图2(b)的{-11,-8,8,11}位置处插入虚拟阵元， 构造一个具有25阵元的均匀虚拟阵列， 如图2(c)所示. 由于该阵列无法分辨相干信号源， 所以本文使用了空间平滑算法， 如图2(c)所示， 将该阵列分解成4个数量相同且相互重叠的均匀子阵列， 假设每一个子阵包含22个连续虚拟阵元， 那么均匀子阵列个数P=25-22+1=4. 进行空间平滑得到矩阵

(14)

式中：xp为第p个均匀子阵列接收到的矢量信息，p=1,2,…,P,P为均匀子阵列的个数.

最后， 利用MUSIC算法画出波达方向的空间谱图， 从而实现DOA估计.

2.4 算法步骤总结

基于上述分析， 互质阵列虚拟内插方法的主要步骤可以大致归纳为以下4步：

步骤1： 求接受信号x(t)的协方差矩阵， 并且向量化协方差矩阵， 形成初步不连续的的虚拟阵列模型；

步骤2： 在不连续的虚拟阵列内插虚拟阵元， 构造成均匀的虚拟阵列；

步骤3： 加入空间平滑算法， 将均匀的线阵划分为多个阵元数相同的叠合子阵列， 分别计算各个子阵列的协方差矩阵， 然后， 求所有子阵协方差矩阵的均值，

步骤4： 使用MUSIC算法进行谱峰搜索， 估计信号DOA.

3 仿真实验和结果分析

根据以上阵列模型和算法进行了仿真分析， 子阵1(a)和子阵2(b)阵元数分别为M=3,N=5， 由这两个子阵列组成的互质阵列的阵元数为M+N-1=7， 互质阵列的阵元位置分别为{0,3d,5d,6d,9d,10d,12d}，d=λ/2.在实验1和实验2中进行了50次独立蒙特卡罗实验.在本文中测向分辨率的精确性可以由分辨成功率进行判定.探测精度是指系统能够分辨的两个波达方向的最小度数差.

实验1 非相干信源时算法的检测性能仿真实验

为了证明在正交匹配追踪算法的基础上利用虚拟内插可以提高系统的测向分辨率， 该实验仿真条件设置为： 信噪比SNR=0 dB， 信源数取小于阵元数的任意整数， 这里信源数设置为3， 信源的来波方向分别为0°， 20°， 30°. 图 3 中的虚线是通过压缩感知技术将信号压缩， 再利用正交匹配追踪算法(OMP)对信号重构， 得到DOA估计空间谱图， 实线代表将信号压缩感知重构之后， 再将互质阵列虚拟内插(VI-OMP)， 得到空间功率谱图. 由图 3给出的空间谱曲线可以看出， 利用VI-OMP算法得到的空间谱要比OMP算法的波峰更尖锐， 表明经过虚拟内插之后， 系统性能更好， 测向分辨率更高.

图 3 空间谱对比图

图 4 对比了OMP算法和VI-OMP算法在不同信噪比情况下的均方根误差， 由图 4 可知， 随着信噪比的增大， VI-OMP算法的均方根误差明显小于OMP算法. 图 5 对两种算法的分辨成功率进行了对比分析， 实验结果表明， 信噪比越大， 两种算法的分辨成功率越大， 但VI-OMP算法的分辨成功率明显更高.

图 6 表示在信噪比为0 dB， 信源入射角为18°和20°时， VI-OMP算法对应的曲线有较为平缓的两个波峰， 这时刚好能分辨出两个信号， 说明VI-OMP算法在信噪比为0 dB时的最高探测精度为2°， OMP算法则只有一个波峰， 所以OMP算法在信噪比为0时的测向分辨率大于2°； 图7是当信噪比增大到10dB时两个入射角的功率谱图， 这时， VI-OMP算法的波峰明显更尖锐， 实验证明， 当增大信噪比时， VI-OMP算法的探测精度会更精准. 由图 4～图 7 表明， 在正交匹配追踪算法的基础上， 将矩阵虚拟内插， 会使系统的DOA估计精确率更高， 具有更高的测向分辨率.

图 4 均方根误差对比图

图 5 分辨成功率对比图

图 6 非相干信源SNR=0 dB时最高测向分辨率对比图

图 7 非相干信源SNR=10 dB最高测向分辨率对比图

实验2 相干信源时算法的检测性能仿真实验

该实验旨在证明在VI-OMP算法的基础上， 利用空间平滑算法， 可以提高系统的测向分辨率. 该实验仿真条件为： 信源数为3， 信噪比SNR=0 dB， 信源的到达方向分别为0°， 20°， 30°. 首先， 分别对OMP算法和VI-OMP算法进行测向， 然后， 在VI-OMP算法基础上加入空间平滑算法(VSS-OMP)， 该方法的功率谱图由图 8 所示. 由图 8 空间谱图可知， OMP算法和VI-OMP算法无法对相干信号进行有效的DOA估计， VSS-OMP算法的空间谱图能够得到正确的谱峰， 估计出的波达方向也十分准确， 3个待测波的空间谱波峰都比较尖锐.

图 8 相干信源空间谱对比图解

图 9 和图 10 是当入射信号为相干信号时， OMP， VI-OMP和VSS-OMP 3种算法在不同信噪比下的均方根误差和分辨成功图. 图9表明， 随着信噪比的增加， 3种算法的均方根误差都呈现减小的趋势， 但VSS-OMP算法的均方根误差明显小于OMP算法和VI-OMP算法； 图10对比了3种不同算法的分辨成功率， 图中曲线表明随着信噪比的增加， 3种测向结果的分辨概率逐渐增大， VSS-OMP算法的分辨成功率比OMP和VI-OMP算法高， 在相干信号分解中具有更高的测向分辨率， 准确率更好.

图 9 相干信源均方根误差对比图

图 10 相干信源分辨成功率对比图

图 11 表示在信噪比为0 dB， 信源入射角为15.3°和20°时， VSS-OMP算法能够估计出两个相干信源的波达方向， 但这时的波峰比较平缓， 处于刚好能够分辨的临界点， 经过多次实验证明， VSS-OMP算法在信噪比为0dB时的最高探测精度为4.7°， 但OMP算法和VI-OMP算法都只有一个波峰， 波达方向估计不精确； 图 12 是当信噪比增大到10 dB时两个入射角的功率谱图， 这时VSS-OMP算法的波峰明显比图11更尖锐， 能够清晰地估计出波达方向为15.3°和20°， 经过多次实验证明,当增大信噪比时， VSS-OMP算法的探测精度会更精准.

由图 8～图 11 可以看出， 在VI-OMP算法的基础上， 加入空间平滑算法， 会使系统的DOA估计精确率更高， 具有更高的测向分辨率.

图 11 相干信源SNR=0 dB测向分辨率对比图

图 12 相干信源SNR=10 dB测向分辨率对比图

4 结 论

本文以互质阵列为模型， 提出了一种基于正交匹配追踪算法的虚拟内插空间平滑DOA估计算法， 该算法以互质阵列为模型， 在正交匹配追踪算法的基础上， 将阵列虚拟内插构成均匀线阵， 并且加入空间平滑算法. 将正交匹配算法(OMP)、 正交匹配算法与虚拟内插阵列结合(VI-OMP)、 在VI-OMP算法中加入空间平滑算法(VSS-OMP)这3种算法进行对比， 在3个入射信源下， 对算法的空间谱、 不同信噪比下的均方根误差和分辨成功率进行了仿真实验. 结果表明， 本文提出的VI-OMP算法和VEE-OMP算法可实现更大的自由度和更高的测向分辨率， 特别是VSS-OMP算法， 不仅在非相干信源条件下有较高的测向分辨力, 对于相干信号波达方向估计， 依旧有很好的测向性能.