自适应事件触发机制下饱和系统的跟踪问题

李红超，张 楠，邓惠敏

(河北工业大学 人工智能与数据科学学院，天津 300401)

在实际系统中普遍存在非线性特性，饱和是一种常见的非线性特性。饱和会导致系统性能劣化，因此该类特性不可忽视。关于饱和系统的镇定研究已经取得了丰硕的成果，例如全局镇定、半全局镇定和局部镇定问题[1-3]。已有研究结果中有大量不同类型的饱和处理方法。Da Silva等[4]给出了抗积分饱和补偿器增益的设计方法，并采用扇区条件处理饱和约束，引入的抗积分饱和补偿器可以扩大对称饱和系统的吸引域。Ding等[5]研究了对称饱和系统具有延时情况下的输入到状态镇定问题，利用凸包对系统中的对称饱和特性进行处理。此外，不同类型的Lyapunov函数可应用于对称饱和系统分析与综合问题[6-8]。

在分析线性反馈系统的跟踪问题时，快速性与稳定性是一对矛盾体。线性控制律无法同时满足调节时间和超调量的性能指标，因此为了改善系统的暂态性能，Lin等[9]设计了复合非线性反馈控制律，可以同时减少系统的上升时间和超调量。复合非线性反馈控制律由线性部分和非线性部分组成。线性部分可以提供较小的阻尼比，使系统响应迅速；而非线性部分提供较大的阻尼比抑制超调。复合非线性反馈控制在多变量系统、非线性系统、切换系统、时滞系统等系统中也得到广泛运用。针对具有执行器饱和的系统，He等[10]分析状态反馈控制方法和输出反馈控制方法，给出了复合非线性反馈控制律的设计过程，并通过设计的控制器，减少了系统的上升时间。文献[11-12]中针对非线性系统的跟踪问题，设计复合非线性反馈控制律，改善了系统的暂态性能。针对切换系统的跟踪问题，复合非线性反馈控制律可以使系统控制输入渐近地跟踪阶跃信号[13]。Mobayen[14]研究了鲁棒跟踪控制问题，针对多变量时滞系统，应用复合非线性反馈控制律，并采用Lyapunov-Krasovskii函数，得到了保守性更弱的条件。

在实际系统中，传输信号的增多及系统规模的增大加大了系统通信负担。在保障系统性能的前提下，可以运用事件触发机制减少不必要的信息传输。此类机制只有事件触发条件满足时，信息才可以传输。相关事件触发机制可以有效减少事件触发次数，如周期事件触发机制、分布式事件触发机制、动态事件触发机制均可以进一步减少信息传输次数。系统结构或参数有时会因自身或外界因素而发生变化，导致设计的触发机制不匹配变化后的系统，为此可以采用自适应触发机制。自适应事件触发条件的参数可以根据系统信息进行动态调整[15-17]。文献[18]中采用事件触发复合自适应模糊输出反馈控制，实现了自主水面舰艇的路径跟踪。

本文中研究基于自适应触发机制的复合非线性反馈控制器，在改善饱和系统暂态性能的同时，减少事件触发的次数；利用具有更高自由度的自适应触发机制参数，削弱结果的保守性；提出一种新型的基于自适应事件触发机制的复合非线性反馈控制律，实现饱和系统对阶跃信号的跟踪，并改善系统的暂态性能。

1 系统结构

考虑具有以下结构的饱和系统，

(1)

(2)

其中ui(t)为u(t)的第i个元素，σi>0为σ的第i个元素。

引理1[20]死区函数φ[u(t)]满足

φ[u(t)]=satσ[u(t)]-u(t)

。

(3)

对于任意向量v和z，属于集合

Γ(v,z)={v,z∈m||vi-zi|≤σi},i=1, 2, …,m,

则存在任意对角正定矩阵Θ，使不等式关系

φT(v)Θ[φ(v)+z]≤0

(4)

成立，其中vi、zi为v、z的第i个元素。

存在矩阵P>O(O为零矩阵)与ι>0，定义椭球域为

ε(P,ι)={x(t)|xT(t)Px(t)≤ι}

。

(5)

1.1 复合非线性反馈控制律

在系统跟踪问题中，系统输出的快速性和超调量是不可兼得的一对矛盾体。本文中采用的复合非线性反馈控制律可以同时改善系统输出的快速性和平稳性。自适应复合非线性控制律为

u(t)=Fx(t)+Gr-ρ[r,y(t)]BT[x(t)-xe] ,

(6)

其中

ρ[r,y(t)]=βe-α|y(t)-r|，

(7)

式中：F∈m×n为待设计增益矩阵；α>0；β>0；r为需要被跟踪的参考输入，本文中定义r为阶跃信号；矩阵G和平衡点xe满足

G=-[C2(A+BF)-1B]-1

,

(8)

xe=-(A+BF)-1BGr

。

(9)

备注1ρ[r,y(t)]的值与系统测量输出y(t)有关。当系统测量输出接近参考输入r时，复合非线性反馈控制器会提供较大的阻尼减小系统输出的超调量；反之，当系统测量输出与参考输入差值较大时，ρ[r,y(t)]的值很小，以提供较小的阻尼使系统输出快速响应。在控制器的作用下，系统状态最终会收敛到平衡点xe。

1.2 自适应事件触发机制

与传统静态事件触发条件相比，自适应事件触发条件中的参数可以根据系统的状态进行动态调整，进而减少事件触发次数。自适应事件触发机制的条件为

δ(t)[x(t)-xe]TΦ2[x(t)-xe]≥eT(t)Φ1e(t),

(10)

(11)

式中：δ(t)为可变参数，其初值满足0<δ(0)≤1；tk为上一触发时刻，k=0,1,2,…为事件发生的次数；e(t)=x(tk)-x(t)为上一触发时刻的系统状态与当前时刻的误差；φ≥1；Φ1∈n×n、Φ2∈n×n为待设计自由权矩阵。

当触发条件(10)成立时，信号x(tk)、y(tk)不更新。当触发条件不成立时，事件生成器才允许信号传输，此时信号x(tk)、y(tk)更新为当前时刻的x(t)、y(t)。

备注2系统状态x(t)和测量输出y(t)均为可测信号，并且x(t)在y(t)之前传输。

备注3文献[21]中的事件触发条件为

eTΩe(t)≤δ(t)xT(t)Ωx(t)

。

(12)

式中Ω∈n×n为自由权矩阵。与式(12)相比，本文中事件触发条件(10)引入自由权重矩阵Φ1、Φ2，有更高的设计自由度。此外，本文中关于Zeno现象的讨论与文献[21]中的相似，不再赘述。

2 主要结果

根据1.2节中提出的自适应事件触发机制，饱和系统渐近跟踪参考输入的条件如下。

|Hir|≤σi,i=1, 2, …,m

,

(13)

(14)

(15)

证明： 引入自适应触发机制后，复合非线性反馈控制器为

u(t)=[Fx(tk)+Gr]-

ρ[r,y(tk)]BT[x(tk)-xe] ,

(16)

ρ[r,y(tk)]=βe-α|y(tk)-r|

。

(17)

(18)

定义Fxe+Gr为Hr，则

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)+Hr。

(19)

根据死区函数(3)的定义，可以得到

{BF-ρ[r,y(tk)]BBT}e(t)+Ew(t)+

Bφ[u(t)]+Axe+BFxe+BGr,

(20)

其中Axe+BFxe+BGr≡0(详见备注4)。

{BF-ρ[r,y(tk)]BBT}e(t)+Ew(t)+Bφ[u(t)]。

(21)

选取Lyapunov函数

(22)

该函数的导数为

由引理1，设

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)+Hr,

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t) ,

可知扇区条件成立，即

φT[u(t)]Θφ[u(t)]+φT[u(t)]Θ{F-

φT[u(t)]Θ{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)≤0。

(23)

从事件触发机制条件可知，当t∈[tk,tk+1)时，

{F-ρ[r,y(tk)]BT}e(t)}≤

2φT[u(t)]Θφ[u(t)]-2φT[u(t)]{ΘF-

2φT[u(t)]{ΘF-ρ[r,y(tk)]ΘBT}e(t) 。

(24)

其中

Ξ11=He{PA+PBF-ρ[r,y(tk)]PBBT}+Φ2+

Ξ21=FTBTP-ρ[r,y(tk)]BBTP,

Ξ31=BTP-ΘF+ρ[r,y(tk)]ΘBT,

则有

(25)

成立，则系统在干扰信号w(t)下是L2稳定的，即满足L2性能。

(26)

利用Schur补引理，式(26)可变换得到条件(14)。

根据L2性能要求可知，

。

(27)

。

(28)

(29)

定理1证毕。

备注4Axe+BFxe+BGr≡0，证明过程如下：

Axe+BFxe+BGr=-A(A+BF)-1BGr+

B[I-F(A+BF)-1B]Gr=-A(A+BF)-1BGr+

[I-BF(A+BF)-1]BGr≡0。

(30)

备注5基于式(17)，ρ[r,y(tk)]是有界的，即0≤ρ[r,y(t)]≤ρ*，ρ*>0为ρ[r,y(tk)]的数值上界，定义ρ*=max{ρ[r,y(tk)]}。如果条件(14)成立，那么所有ρ[r,y(tk)]也可以保证条件(14)成立。

3 仿真算例

通过仿真算例验证定理1中提出的自适应触发机制下复合非线性反馈控制律的有效性。

由定理1，可得

S=2.513 4 ,

通过参数Q、W得到控制器的增益

F=(-2.090 9 -1.856 6) 。

图2所示为控制输入u(t)及饱和控制输入satσ[u(t)]的变化过程。从图中可以看出，发生饱和并不会影响系统的稳定性。给定参考输入r为单位阶跃。系统在复合非线性反馈控制律和线性反馈控制律下，饱和系统的测量输出如图3所示。从图中可以看出，在复合非线性反馈控制器的作用下，系统测量输出的超调量比线性控制器作用下的小，并且响应更快。复合非线性反馈控制和线性反馈控制下系统测量输出的调节时间及超调量如表1所示。

(a)状态量x(t)的轨迹

t—时间；u(t)—控制输入；satσ[u(t)]—饱和控制输入。图2 控制输入及饱和控制输入的变化过程

图4所示为自适应事件触发机制的事件触发时刻。由图可知，在系统输出逐渐稳定到参考输入时，触发频率降低。图5所示为自适应参数δ(t)随时间的变化。从图中可以看出，给定δ(0)=0.01，δ(t)的值会根据系统状态动态调整，自适应参数逐渐稳定到0.194 1。相比给定常量，这种动态变化可以根据实际需求动态调节事件触发频率，减少不必要事件触发的次数。

t—时间；y(t)—测量输出。图3 饱和系统的测量输出

表1 系统测量输出的调节时间及超调量

t—时间；τk—触发时间间隔，τk=tk+1-tk，tk为上一触发时刻，k=0,1,2,…为事件发生的次数。图4 自适应事件机制的事件触发时刻

图5 自适应参数δ(t)随时间t的变化

当δ(t)≡0.194 1时，事件触发条件退化为静态事件触发条件。事件触发间隔时间的平均值为0.490 3 s，小于本文中设计的自适应事件触发条件的事件触发间隔时间平均值0.474 6 s。

综上所述，相较于静态事件触发机制，本文中设计的自适应触发机制可以减少事件发生次数，并且有更好的响应平稳性及快速性。

4 结论

本文中针对饱和系统设计了基于自适应事件触发机制的复合非线性反馈控制器，基于Lyapunov稳定性分析方法，得到以下主要结论：

1)与线性反馈控制器相比，复合非线性反馈控制器可以减少干扰作用下饱和系统的调节时间及超调量。自适应事件触发的自适应参数可以根据系统状态自动调整。

2)通过设计基于自适应事件触发机制的复合非线性反馈控制器，实现了饱和系统对阶跃信号的渐近跟踪。

3)通过仿真算例说明基于自适应事件触发机制的复合非线性反馈控制器可以有效改善饱和系统的暂态性能。通过对比自适应事件触发机制与静态事件触发机制的事件触发间隔时间平均值，说明自适应事件触发机制在节约传输资源方面优于静态事件触发机制。