从“中点的联想”入手 培养学生问题解决能力——初中数学课堂中解构复杂图形的尝试

201100 上海市莘松中学 杨玲慧

一、 背景分析

问题是数学的心脏.初中数学教育的本质，从某方面而言，是为了培养和提高学生问题解决的能力.国际学生评估项目PISA自开展以来一直注重测评数学核心素养中的学生问题解决能力.PISA评价委员会认为，数学问题解决能力的培养，不只是看学生掌握的数学知识水平的高低，还要关注学生的思维能力和逻辑推理能力，更应该关注学生数学问题解决的过程.也就是说，问题解决能力是一种思维习惯或者思维范式，它是一种能够科学地解决问题的有效方法，这种能力应当成为现代人的一种必备的科学素养和基础能力，是学生能力培养的核心，为学生的可持续发展服务.笔者所在的学校是一所公办初中，学生的数学基础参差不齐，差异性较大.究其原因，主要有以下几个方面.

第一，部分学生的学习习惯较差，不会及时梳理学过的知识.

第二，部分学生对数学学习的兴趣不大，课堂上不能认真、积极地思考.

第三，部分学生遇到问题时不会积极寻找解决路径，而是经常选择放弃.

这些原因实际体现了学生问题解决能力的匮乏.因为没有找到行之有效的问题解决的一系列思维方式，学生才会没有学习的内驱力，不得不选择放弃.数学课堂是数学教学的主阵地，在平时的课堂教学中，笔者一直致力于研究如何通过解构复杂的几何图形，提高学生的问题解决能力.笔者以“线段的中点”为抓手，阐述如何引导学生从“中点的联想”切入，恰当地利用中点和处理与中点有关的问题.

二、 中点的联想

(一)建立中点模型

中点是将一条线段等分成两部分的特殊点，要想利用好中点解决有关几何图形问题，首先必须掌握中点的性质及与中点相关的几个常用模型.

1.八字全等模型

当已知条件中出现三角形的中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题.

模型解读：如图1，在△ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，联结BE，则有△ADC≌△EDB.

图1

作用：可以利用全等三角形的性质转化相等的线段和相等的角.

2.“三线合一”模型

当图形中出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角的顶点联结，可构成等腰三角形的三线合一.

模型解读：如图2，在△ABC中，①AB=AC；②AD平分∠BAC；③BD=CD，④AD⊥BC.

图2

“知二得二”：例如由①②作为条件可得结论③④，又如将②③作为条件，就可利用构造“八字全等模型”证明得出结论①④.也就是说，以上四条语句中，任意选择两条作为条件，就可以推出其余两条结论.

作用：可以利用“三线合一”模型证明相等的线段或相等的角、半角倍角以及两条直线的垂直关系.

3.斜边中线模型

当中点出现在直角三角形的斜边上时，就可以利用直角三角形斜边中线定理(直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半).

图3

此定理的证明也是利用了倍长中线构造“八字全等模型”完成的.

作用：可以利用“斜边中线模型”证明相等的线段或求解线段的长，还可以构建等角关系，实现等角转换.

4.中位线定理模型

当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或当出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线.

图4

此定理也是利用了中点构造“八字全等模型”后构建了平行四边形完成证明.

作用：可以利用“中位线定理模型”证明平行线段或线段倍分关系，还可以构建相似三角形获得相关线段长的比例关系.

(二)学生问题梳理

单有这些数学模型并不能达到真正问题解决的目的.由于每一位学生都有各不相同的知识体验和生活积累，在解决问题的过程中，他们会有自己对问题的理解，所以学生在思考问题时所遇到的困难并不是单一的，而会出现各种不同的情况.

1.目标指向单一

学生学习几何的现状是能做几何单一图形题(例如已知线段AB的中点为C，求证AC=BC；当AB=5时，求AC；已知中位线求其第三边等)，在图形给出、线条单一的情况下，基本能够独立解决问题.但是随着几何学习的不断深入，图形的复杂度也会不断增加，这使学生的问题解决更显困难.即使题设中有中点的条件，但不同的中点模型可以解决不同类型的问题，几种模型之间又可以相互关联应用.事实上，“三线合一”模型、“斜边中点”模型、“中位线定理”模型都是由“八字全等”模型转化证明而得，但是很多学生却只会单一知识点的应用，不会灵活合理地关联知识点，无法将相关知识点运用到当前的问题情境中，这体现出学生知识结构的缺失或者杂乱无章.

2.不会关联条件

中点的条件常常隐含在一定的情境中，需要学生自行挖掘后表征出来，才能转化为合理的模型进行应用.

例如，如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,点D为边AB上一点.将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE.如果AE∥CD，那么BE=________.

图5

此题的关键就是要利用翻折的性质发现线段BE被CD垂直平分，即BE与CD的交点是线段BE的中点，根据平行线得到点D是边AB的中点(中位线模型)，再由直角三角形斜边中线模型完成等角的转化，进而实现锐角三角比的转化来求解.然而在实际操作中，学生不会将翻折得到的中点与已知的平行线关联，也就无法利用中位线定理模型表征出点D是斜边AB的中点，解决问题的关键戛然而止.

3.不会还原模型

有些情况下，需要添加一条或几条辅助线才能还原几何图形中蕴含的基本模型，进而解决问题，而模型只是给出了几何图形的基本框架，这就需要学生对自己的数学问题解决过程有一定的反思和调控.根据现有的条件，这样添加辅助线行不行？那样连线又会得到哪些结论？对目标问题解决有没有帮助？如果学生平时数学元认知水平低下，就不会根据条件分析问题，从而联想出问题解决所需的几何模型.

三、 以学生视角入手，培养问题解决能力

(一)完善认知结构

所谓认知结构是指人关于现实世界的内在的编码系统，是一系列相互关联的、非具体性的类目，它是人用以感知、加工外界信息以及进行推理活动的参照框架.学生的认知结构，简单来说就是学生头脑中已有的知识结构.德国拓扑心理学家K.勒温指出：学习是认知结构的变化，这个变化表现为分化、概括化与再组织三种方式.学生掌握的知识点单一，不会灵活应用数学模型，不会关联知识点，其重要的原因就是缺乏对知识点的深刻理解，没有把几何模型与问题关联起来进行重新组织，也就找不到问题的突破口.怎样才能让学生深刻理解知识点？可以从不断完善学生的认知结构做起.要让学生经历知识框架的形成过程.例如，对于中点模型的构建，可以通过设置问题情境的形式，以中点条件为起点引导学生不断累加其他条件进行适切的联想.而学生也会根据原有的认知结构中不同类别的几何图形进行联想，由中点加等腰联想到“等腰三角形的三线合一”，由中点加直角三角形联想到“直角三角形斜边上的中线定理”，由中点加中点联想到“三角形或梯形的中位线定理”，由中点加平行四边形联想到“中心对称的全等三角形”.整个学习活动是一个“顺应”的过程，它不是知识的简单积累，而是学生在联想的过程中通过对原先头脑中的点状知识进行分化、概括、梳理、重新组织构建的过程，是认知结构在不断发生变化的过程.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出：“数学教学活动中，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者，引导者.”只有让学生在课堂中主动经历了新旧知识变化和关联的形成过程，才能让学生完善自己的认知结构，真正理解数学知识点不是单一的，而是可以指向不同路径，不同的路径也是可以关联的，学生才愿意由单点指向多点地发展自己的思维过程，多角度寻求问题解决的突破口.

(二)引导问题表征

问题表征是指问题状态在问题解决者的头脑中是如何呈现的.它反映了学生对问题的理解程度，涉及在问题情境中如何提取有关信息，包括目标是什么，目标和当前状态的关系等.问题表征方式不同，就会产生不同的解决方案.如果不能恰当地进行问题表征，在一个错误的问题空间搜索，就无法解决问题.上述例子中，学生不能很好地关联问题中的条件，不能把图形中隐藏的中点D挖掘出来，就是因为学生在问题表征时没有沿着合理的表征方式进行说明，导致问题无法继续进行.所以，课堂上引导学生正确问题表征是问题解决的关键.教师可以通过小组讨论交流、设问解惑的过程循序渐进地达到问题解决的目的.针对上述例子，笔者在课堂上给予学生足够的时间读题和思考后，抛出了以下问题链.

问题1你目前读题读到了怎样的信息？

问题2这些信息让你联想到了什么？

问题3你对这个发现如何处理？

问题4这样处理能解决问题吗？

带着这些问题，让学生在小组内交流自己的想法，逐步让问题表征走向明朗化、合理化，具体如下.

表征方式1(如图6所示)

图6

问题1你目前读题读到了怎样的信息？→我读到了“△BCD沿直线CD翻折，点B和点E是对称点”.

问题2这些信息让你联想到了什么？→联想到了“线段BE被CD垂直平分，即BE与CD的交点H是线段BE的中点”.

问题3你对这个发现如何处理？→我准备将这个中点与另一个条件“AE∥CD”相结合，利用比例线段得到点D是斜边AB的中点.

问题4这样处理能解决问题吗？→这样可以利用“斜边中线模型”实现等角转化，即∠DBC=∠DCB,再利用锐角三角比可求出BE长的一半.

表征方式2(如图7所示)

图7

问题1你目前读题读到了怎样的信息？→我读到了“△BCD沿直线CD翻折，点B和点E是对称点”.

问题2这些信息让你联想到了什么？→联想到了“△BCD≌△ECD”.

问题3你对这个发现如何处理？→我准备根据全等三角形性质得到DE=DB,∠EDC=∠BDC,再由另一个条件“AE∥CD”得内错角相等，同位角相等，实现等角转化，即∠AED=∠EAD,再得DE=DA,于是可转化为DB=DA,也就是说点D是斜边AB的中点.

问题4这样处理能解决问题吗？→这样可以利用“斜边中线模型”实现等角转化，即∠DBC=∠DCB,再利用锐角三角比可求出BE长的一半.

爱因斯坦说，“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”；“只有善于发现问题和提出问题的人，才能产生创新的冲动”.在一个个引导进一步思维的问题的指引下，学生利用头脑中的数学认知结构，把分散的条件逐渐关联起来，逐步走向正确的问题表征，为问题的成功解决打好了基础.如果学生长期经历这样以问题链促问题表征的训练，自然而然会构建一个良好的问题结构，不仅可以减少问题解决的盲目性，而且有助于培养克服困难的品质，发展探索精神，形成数学思维方式，提高问题解决能力.

(三)提升元认知力

什么是元认知？元认知就是认知主体对其认知活动的自我意识、自我监控和自我调节.传统的教学模式提倡“题海战术”“熟能生巧”，导致学生在尝试一种解决策略进入死胡同时，不能及时反思、及时自我调控而陷入不知所措的局面，于是也无法再对问题进行重新表征，无法解决问题.复杂的几何图形往往需要添加一条甚至几条辅助线，才能从中解构出图形中蕴含的基本的几何模型.这些问题难就难在要添加怎样的辅助线.众所周知，辅助线添加得巧妙与否，直接决定了问题解决的可能性、时效性、便捷性.添加不当的辅助线有可能使问题解决的策略复杂化，甚至陷入僵局而无法自拔.所以，需要提升学生的元认知能力，做到边思考方法，边反思调整.

以如下题目为例进行阐释.

如图8，已知在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB交AB于M，AD⊥BC于D,ME⊥BC于E，MF⊥CM于M且交BC于F.CF=10，求DE的长.

图8

显然，此问题的题干中条件比较多，需要关联条件去沟通DE与CF的关系，依照问题链的思维方式鼓励学生列出问题表征.

表征1AB=AC，AD⊥BC⟹BD=CD，AD平分∠BAC.

表征2AD⊥BC，ME⊥BC⟹ME∥AD.

表征3MF⊥CM，CM平分∠ACB⟹.

……

学生边自问“这样关联条件可行吗？”“这样做的目的是什么？”“还有其他方式考虑吗？”边进行问题表征，一连串的反思自问实际上就是开发元认知的过程.通过反思与监控发现，表征1与表征2是单一的知识点，很容易得到，但是还无法沟通DE与CF的关系，表征3有一条角平分线CM，且CM还是垂线，根据学生的认知结构立刻能联想到“三线合一模型”，于是延长FM和CA交于点G(如图9所示)，等腰△CFG就诞生了，点M是FG的中点.继续联想，反思，发现再取CG的中点N构建“中位线模型”(如图10所示)，就可以在DE与CF之间搭建一座沟通的桥梁，DE的长度也就不难求得了.问题的思维过程是一个有机整体，在对复杂问题进行表征的同时，必须要对整个思维过程反复监控，不断反思，才能让问题表征更加合理化，让问题解决过程从模糊变得清晰.让反思成为学生的一种学习习惯，有助于培养学生的自主意识和反思能力，提升元认知水平.

图9

图10

四、 反思与感悟

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.让学生亲历和完善自己的数学认知结构，培养以问题链促问题表征的思维方式，养成在问题解决过程中不断自我监控和反思的习惯，在问题解决过程中形成一些基本的策略和路径，学生解构复杂图形的能力提高了，成功体验到了通过自己主动研究学习后解决问题的快乐，学习数学的兴趣自然就提高了，数学课堂教学会变得更加轻松.当然，数学活动的主体是学生，教师必须从学生的视角入手，分析学生问题解决困难背后的各种原因，才能“对症下药”，找到能够有效帮助学生解决问题的不同策略.