基于双阶段互信息准则的多目标检测波形设计

肖 宇, 邓正宏, 张 展

(1. 西北工业大学自动化学院, 陕西 西安 710072; 2. 空军工程大学防空反导学院, 陕西 西安 710051)

0 引 言

认知雷达根据目标-环境相互作用信息,调整雷达发射波形或接收处理,将有限资源优化分配,从而提高复杂环境下的雷达系统性能[1]。自Haykin等[2]提出认知雷达系统架构起,结合序贯假设检验方法,已成为目标检测问题的首选框架,与经典假设检验方法相比,序贯假设检验可根据先前的观察调整发射波形,以减少所需的发射脉冲次数,这允许在更短的检测时间,达到设定检测概率,而不会影响雷达检测性能。

在针对多目标检测的雷达波形设计研究中,常用的波形优化准则包括互信息(mutual information, MI)[3-5]、信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)[6]、KL散度(Kullback-Leibler divergence, KLD)[7]、模糊函数[8]等。将序贯检测和波形设计相结合,设计序贯检测波形对多目标场景进行探测,使雷达系统达到参数估计最优,从而大大降低做出目标判决所需的脉冲数量,文献[9]提出了基于序贯假设检验框架的自适应波形设计方法,雷达利用优化波形更新目标假设的概率,通过闭环反馈进行波形迭代设计。Romero等[10]基于SNR和MI准则设计了两种匹配于目标的发射波形,并用于多元假设检验的目标分类,由于波形设计侧重于验证与目标的匹配性能,所以没有进行闭环反馈迭代。文献[11]从信号频域特性验证了基于最优波形的序贯假设检验算法能显著减少发射脉冲次数,并在信杂噪比和检测概率上进行均衡处理,取得较好的性能。在假设检验过程中,KLD准则常用于减小序贯多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)雷达的检测次数。文献[12]分别使用基于MI和KLD准则优化的波形来更新目标假设概率,通过每个假设的最佳波形与概率的加权和进行多目标识别,有效减少了用于多目标识别的发射波形次数。上述文献通过波形优化提升了多目标检测、识别性能,但在实际雷达检测环境中,随着目标运动关系的变化,SNR会随发射脉冲而改变,不同SNR下检测性能会受到一定的限制,要确保高性能检测,必须以SNR为约束,调整优化发射波形。文献[13]从频域角度研究了信杂噪比约束下基于MI的波形设计,结果显示信杂噪比约束下的优化波形能更充分利用发射能量,在有目标且杂波弱的频率点提取目标信号。

在多元假设检验环节,除了降低发射脉冲数量以外,假设判决过程的参数估计是影响多目标检测性能的另一个重要环节,文献[14]将多目标检测问题建模为多元假设检验问题,通过最大似然估计准则确定目标参数,采用最大化KLD准则设计波形来扩大多元假设之间的距离,进而缩减假设判决的时间,但参数估计是假设判决的基础,基于KLD优化的波形无法在发射脉冲数量、参数估计之间进行均衡,会降低多目标检测性能。考虑到在针对参数估计的波形设计准则[15-18]中,基于MI准则设计的波形具有提升参数估计性能的特性,同时如果令多元假设之间的MI最小化,也可使得多元假设之间进行有效分离。基于这一思想及上述分析,本文针对多目标检测问题,分析假设判决与目标参数之间的约束关系,考虑SNR的影响,基于两阶段MI准则优化发射波形,提升多目标检测性能。

1 多元假设检验模型

1.1 雷达信号模型

考虑一个紧凑型MIMO雷达系统,其收发阵列为均匀线阵,阵元间距为d。定义第k次脉冲的传输波形矩阵为Sk,波形矩阵的第l列向量代表第l次采样的数据,波形矩阵的行向量对应于NT个发射单元传输的信号,即Sk∈CNT×L。发射信号通过NT个线阵单元向外辐射,经目标和环境反射后,通过NR个线阵单元接收。当发射第k次脉冲信号时,接收信号Xk∈CNR×L可表示为

Xk=H(Φk)Sk+Nk

(1)

式中:Nk∈CNR×L为加性高斯白噪声,即矩阵每一个元素都是均值为0,方差为σ2的高斯随机变量;H(Φk)∈CNR×NT表示目标响应矩阵,是目标参数Φk的非线性函数,该雷达信号模型沿用了文献[16-17]表示的模型,具有一定的普适性。为使接收信号模型更具通用性,当环境中存在Q个目标时,可将目标响应矩阵表示为

(2)

式中:[αk]q表示为第q个目标的衰减幅度;aT([θk]q)∈CNT×1和aR([θk]q)∈CNR×1分别表示发射阵列和接收阵列的转向矢量;[θk]q表示第q个目标的方向角度。

1.2 多元假设检验模型

目标检测是从雷达视场环境中快速、准确地发掘目标,而多目标检测则要求能够确定目标数量,并估计目标位置[14]。MIMO雷达在对目标进行观测时,当每个脉冲期间每个目标的方向角度θk和衰减幅度αk不同时,能够有效对多目标进行分类。随着认知雷达和波形设计技术的发展,波形设计结合序贯假设检验的方法能够有效提升多目标检测性能[9]。因此,根据目标响应矩阵情况,可将多目标检测描述为一个多元假设检验模型,即：

(3)

(4)

2 检验判决与估计参数的约束关系

在多元假设检验过程中,对假设的确定通常以概率做出判决,序贯概率比检验是常用的方法,本节采用序贯概率比检验给出判决条件。经过k次脉冲信号照射后,假设Hi与假设Hj之间的概率比表示为

(5)

εij=Pd{d=j|Hi},i≠j

(6)

根据序贯概率比检验[9]模型,给出假设判决条件为

(7)

当假设判决条件满足式(7)时,判定正确假设为Hi;否则,需要不断观测新的接收数据,做出再次判决。由于序贯概率比检验是基于贝叶斯方法,因此获得错误概率εij需要准确了解目标的先验概率。对于判决条件式(7)而言,错误概率εij通常是一个给定值,若εij能够进行自适应调整,也能有效提升目标检测性能,但关于εij的设计不在讨论范围。

(8)

(9)

考虑到序贯概率比是概率密度函数的比值,本节对目标参数的估计采用粒子滤波的方式进行估计。对于粒子滤波而言,任意概率分布P(Φk|Xk-1,Sk-1)可采用离散粒子集进行蒙特卡罗近似,即：

(10)

P(Φk|Xk,Sk,Xk-1,Sk-1)=
P(Xk|Φk,Sk)P(Φk|Xk-1,Sk-1)

(11)

所以,目标参数估计值表示为

(12)

(13)

3 提升目标检测性能的波形设计

根据第2节分析,多元假设检验的关键因素是参数估计和波形设计,而通过波形设计又能提升参数估计性能,因此本节将根据多元假设检验判决与估计参数的约束关系,进行自适应波形设计。目前,针对参数估计的波形设计准则有最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)[15]、MI[3-5]、RM界(Reuven-Messer bound,RMB)[17]等,本节以MI作为准则对波形进行设计,根据MIMO雷达信号模型,可得接收信号Xk与目标响应H(Φk)之间的MI表示[4]为

(14)

在多假设检验中,每个假设都有对应的MI(Xk;H(Φk)|Sk),都可以通过最大化MI为准则设计优化波形,然而很难通过某一个假设设计的波形Sk使得所有假设的MI最大,同时,由于每次接收观测信号的不同,使得每个假设的概率均会发生变化。设计波形的最终目标是使得假设检验聚焦于真实假设,并使真实假设的概率最大。若以每个假设的后验概率作为权重,结合以MI最大化为准则优化波形,以所有假设的权重与波形乘积和设计多假设检验发射波形,从理论上而言是一种提升参数估计和目标检测性能的方法。

另外,在多元假设检验中,当以任意两个假设之间的MI最小化设计波形时,此时假设之间能够进行快速分离,缩短假设检验时间,减少发射脉冲数量,进而提升目标检测性能。若以每个假设最大化MI为准则设计波形为库,根据任意两个假设之间的MI最小化为准则选择波形,以假设的权重与波形乘积和设计多假设检验发射波形,是另一种提升多目标检测性能的方法。

基于以上思路,考虑SNR对参数估计性能的影响,本文以SNR作为约束条件,设计两阶段的多目标检测波形。

3.1 基于单假设MI最大化的波形设计

假设雷达的最大发射能量为P0,SNR阈值为SNR0,在SNR和能量约束下,任一假设接收信号与目标响应之间MI最大化的波形设计目标函数可表示为

(15)

(16)

同理,对SNR约束和能量约束进行化简,可表示为

(17)

(18)

因此,波形设计目标函数式(15)可转换为

(19)

(20)

(21)

(22)

因而,波形优化的目标函数式(19)可进一步转化为

(23)

该目标函数的优化变量为σs k,注意到,此时目标函数是一个凸函数,约束条件与σs k线性相关,因此该优化问题为凸优化问题,可通过拉格朗日乘子法进行求解,即:

(24)

式中:λ1≥0和λ2≥0分别对应SNR约束和能量约束的拉格朗日乘子。对L(σs k,λ1,λ2)关于σs k求导数,并令导数为0,可得σs k的方程式解表示为

(25)

(26)

在无SNR约束的情况下,该优化波形表示为

(27)

(28)

(29)

(30)

3.2 基于双假设MI最小化的波形设计

基于双假设MI最小化的波形设计分为两步:第一步,以基于单假设最大化MI为准则设计波形,并建立波形库;第二步,根据两个假设之间的MI最小化为准则从波形库中选择优化波形。根据MI定义,假设Hi与假设Hj输出信号Xik与Xjk之间的MI可表示为

(31)

结合雷达信号模型及熵计算公式,可得

MI(Xik,Xjk)=-Nln[det(IN-D2)]

(32)

式中:IN表示单位矩阵;D矩阵表示协方差矩阵RHi,Hj奇异值分解后的对角矩阵。协方差矩阵RHi,Hj[18]可表示为

(33)

式中：Xik、Xjk分别表示假设Hi与假设Hj时输出信号;RXik、RXjk、RXik,Xjk分别表示为

(34)

(35)

(36)

此时,波形优化准则可表示为

(37)

(38)

4 仿真及结果分析

本节主要以多元假设检验中参数估计精度、发射脉冲数量、检测概率等为检验指标,对基于双阶段MI准则设计的波形进行验证。对基于单假设MI最大化设计(简写为maxMI)、基于双假设MI最小化设计(简写为minMI)的波形进行仿真,考虑到文献[4]设计的波形为无SNR约束的估计波形(简写为maxMI-NoSNR波形),可作为本文参数估计阶段的对比方案,可与maxMI波形进行对比。当以文献[4]设计的波形为波形库,结合基于双假设MI最小化设计的波形为双阶段设计波形(简写为minMI-NoSNR波形),可与minMI波形进行对比,同时加入正交波形这一基准对比方案,对本文设计波形提升检测性能的情况进行验证。

假设雷达探测目标为点目标,MIMO雷达的发射与接收阵元数量一致,且NT=NR=6,阵元间距为波长的1/2,发射能量设置为0.1 J。借鉴文献[16]波形优化特性,本文方法可应用于目标参数Φk随脉冲个数k的变化而变化,但为了验证自适应波形对参数估计性能的提升,本节仿真中设定目标参数Φk保持静止。假设空间中有3个目标,波形信号经目标反射后的衰减幅度一致,均为1,不同之处在于3个目标的角度不同,假设三者偏离波束中心线的角度分别为-33°、0°、30°,设定波形SNR约束阈值SNR0为-3 dB。

4.1 参数估计性能

从图1可知,随着发射脉冲数的增长,目标参数的MMSE在减小,minMI波形能够获得最好的参数估计性能,由于minMI波形是从maxMI波形库中选择发射波形,从理论推导上就具有参数估计的先验优势,在多假设概率迭代的基础上,能够更快地降低目标参数的MMSE,仿真结果验证了理论的可行性。又因为minMI波形是在maxMI波形的基础上乘以各假设的概率权重,使得参数估计MMSE波动更为平缓。而minMI-NoSNR波形的参数估计性能,因为缺乏对SNR阈值的自适应调整,会弱于minMI波形,但时而优于maxMI波形时而弱于maxMI波形,原因在于多假设概率权重迭代带来的波动。同时,maxMI波形设计受到SNR约束,随着脉冲数的增加,SNR发生变化,使得参数估计MMSE出现一定的波动,但参数估计性能会优于maxMI-NoSNR波形。

4.2 目标检测性能

同时,采用正交波形、maxMI波形、maxMI-NoSNR波形、minMI-NoSNR波形进行序贯检测,可得正交波形获得正确判决的脉冲数为34个,maxMI波形获得正确判决的脉冲数为31个,maxMI-NoSNR波形获得正确判决的脉冲数为33个,minMI-NoSNR波形获得正确判决的脉冲数为29个,也就是说minMI波形能够有效缩短目标检测的时间。

在图2中,随着脉冲数的增加,每个假设的概率都在发生波动,这和假设中的目标响应协方差矩阵的变化有关,在每次发射波形后,估计参数都发生变化,进而引起了各假设概率的波动。相应地给出5种波形的目标检测性能,如图3所示。

从图3可知,随着脉冲数的增加,由于参数估计精度的增加,当前脉冲获得的SNR也在增加,使得检测概率在同步增加,minMI波形能够获得最好的目标检测性能,其次是maxMI波形、minMI-NoSNR波形,之后是maxMI-NoSNR波形。在脉冲数积累到一定程度时minMI-NoSNR波形会优于maxMI波形带来的检测性能。据此,给出minMI波形以及对应的角度概率密度与发射脉冲数量的关系如图4所示。

从图4中可知,随着脉冲数的增加,目标在-33°、0°、30° 3个角度上的概率分布更为聚焦,当脉冲数达到25次时,获得最大的概率分布。但在脉冲数为14次时,3个目标的角度概率分布已经出现聚焦的现象,此时假设H7的概率已经领先于其他假设的概率,检测概率也接近于1,在第14个脉冲以前,目标参数MSE变化更陡峭,检测性能也提升较快,可见,自适应波形设计总会超前于目标检测性能和估计性能的变化。

5 结 论

为提升多目标检测性能,本文以假设检验判决与估计参数的约束关系为纽带,提出了以SNR为约束基于单假设MI最大化设计的波形,并以此为基础提出了基于双假设MI最小化的波形设计方法,仿真结果表明,基于双假设MI最小化的波形能够有效提升目标参数估计性能,进而提升多目标检测性能。由于目标信号模型中只考虑了噪声的影响,因此该波形设计方法对环境中出现干扰的情况,需要做出改进。另外,针对假设检验判决阈值自适应变化、设计适用于目标运动的波形为下一步研究波形设计提供了方向。