密度梯度柱壳链的弹性波传播特性研究1)

彭克锋 郑志军 ,2) 周风华 虞吉林

* (中国科学技术大学近代力学系,中国科学院材料力学行为和设计重点实验室,合肥 230027)

† (宁波大学机械工程与力学学院,冲击与安全工程教育部重点实验室,浙江宁波 315211)

引言

多胞结构具备调控波形的潜力,在冲击缓冲、脉冲传输和信号屏蔽等领域存在广泛的应用[1-10].多胞结构中的波传播行为受其胞元形状和基体材料属性的影响,可能呈现孤立波、稀疏波或冲击波的特征[11].因此,通过对单个胞元的几何构形和材料性能进行设计,有望发展出新型波传输结构,以实现对载荷和波形的调控.

不同于密实材料,多胞结构中含有大量空穴,为微结构设计提供了充足的空间.通过控制多胞结构的相对密度ρ可以改变多胞结构的等效弹性模量E[12],其中ρ定义为多胞结构质量与同体积的实心材料质量之比[12-16].对于不同类型的多胞结构,其等效弹性模量与相对密度通常呈幂律关系[14]

式中,E0和n是材料参数.幂指数n依赖于多胞结构的微结构类型和基体材料性质.例如,对于热丝熔融沉积制造的闭孔聚乳酸(PLA)泡沫,幂指数为1.5[13];对于开孔泡沫,幂指数为2[14-15].这些研究揭示了基体材料和微结构类型对均匀多胞结构弹性力学行为的影响,为波形调控设计提供了基础性认识.一些研究通过改变多胞结构的相对密度进行波形调控,例如,对于均匀圆柱壳链结构,通过改变壁厚(相对密度)可以控制链结构中的稀疏波传播,径厚比越大,冲击缓冲效果越好[11];对于复合球壳链结构,其材料密度和壁厚越小,链中球壳之间的动态接触力越小[17].这些研究表明多胞结构具有一定的波形调控能力.

通过引入密度梯度有望进一步提高多胞结构的载荷调控能力.例如,对于线性密度分布的梯度蜂窝结构,动态冲击下正梯度结构可以降低冲击端载荷,负梯度结构可以降低支撑端载荷[18];通过设计梯度泡沫的密度分布可以保护冲击物体,使其维持恒定冲击力[19-20].这些研究中多胞结构主要基于材料大变形和塑性耗散吸收能量从而衰减载荷.实际上,弹性多胞结构也能呈现出较好的载荷调控性能,不同于传统的塑性耗散机制,弹性多胞结构的载荷调控机理为能量的再分布[21].例如,3D 打印椭圆柱壳链结构支持稀疏冲击波的传播,在质量块冲击下,链中应变峰值随着波传播有着明显的衰减且不依赖于材料塑性耗能[22];最近,Kim 等[23]实验和数值研究了3D 打印PLA 梯度多胞柱壳结构的冲击缓冲性能,表明负梯度柱壳链结构具有优异的载荷衰减能力,并优于正梯度链结构.然而,梯度多胞结构中波传播行为十分复杂,尚缺乏表征其中弹性波传播的理论模型.近期,基于应力波理论[24],彭克锋等[25]建立了质量块冲击下均匀柱壳链中的弹性波传播等效模型,并采用拉普拉斯积分变换方法获得了该模型的解析解.在均匀柱壳链的基础上,本文进一步研究梯度柱壳链中的弹性波传播行为.但是由于梯度的影响,理论模型的求解可能具有相当难度.

本研究运用密度梯度柱壳链的细观有限元模型研究了三角形应力脉冲激励下链中的弹性波传播行为.通过将密度梯度柱壳链等效为密度梯度杆,建立了密度梯度柱壳链在应力脉冲作用下的控制方程,采用拉普拉斯积分变换方法获得了解析解.将理论计算位移、载荷历史曲线与细观有限元模拟结果比较,以验证理论模型及其解析解的有效性.进一步讨论了线性密度梯度参数对支撑端载荷的影响,分析了密度梯度柱壳链的载荷调控性能.

1 数值模拟

1.1 密度梯度柱壳链的有限元模型

由圆柱壳有序排列组成的柱壳链结构是一种典型的多胞结构,其胞元中空且相对密度可以改变,通过调控单个圆柱壳的相对密度可以方便地构建密度梯度柱壳链结构.单个柱壳的相对密度ρ定义为πh(D-h)/D2,其中D为圆柱壳外径,h为壁厚.本研究中考虑柱壳链的相对密度沿加载方向(X方向)遵循线性分布

式中,ρ0为平均相对密度,γ为密度梯度分布参数并满足-2 ＜γ＜ 2,L为柱壳链长度.本研究中单个柱壳外径D=20 mm,柱壳面外方向厚度W=10 mm,柱壳链长度L=360 mm,每条链中含18 个柱壳.采用ABAQUS/Explicit 进行有限元模拟,通过网格收敛性分析,柱壳的单元尺寸取为0.3 mm,单个柱壳含1920 个六面体单元,单元类型为C3D8.链中相邻柱壳接触部分的节点绑定在一起,并且这些节点的位移被约束在X方向以形成连续稳定的一维堆积结构.模拟中采用硬接触描述所有的面接触行为,摩擦系数设置为0.02[19].柱壳基体材料密度ρs=966 kg/m3,弹性模量Es=1600 MPa,泊松比νs=0.3[25].

三角形应力脉冲仅含有一个峰值,通常被用来分析结构中的波形变化[24,26-27].考虑梯度柱壳链一端受到三角形应力脉冲作用,另一端固定,如图1.三角形应力脉冲斜率为ξ,上升时间为t0,下降时间也为t0,总脉宽为2t0,峰值脉冲为ξt0.本研究中应力脉冲较小,不考虑材料塑性.

图1 密度梯度柱壳链结构的细观有限元模型Fig.1 Meso-scale finite element model of a density gradient cylindrical shell chain

1.2 密度梯度柱壳链中的波传播特征

考虑三种密度梯度分布(γ=-1,0 和1)的柱壳链受到三角形应力脉冲作用,脉冲斜率ξ=0.1 MPa/ms、上升或下降时间t0=1 ms,每条链的平均相对密度ρ0=0.2.以作用时间t=2 ms 时为例,这些柱壳链中的应力分布如图2,结果表明,弹性波在柱壳链中传播具备两个主要特征:(1)沿着柱壳向固定端传播;(2)在相邻柱壳的接触区域呈现应力集中.此时,可以看到负梯度链中应力波传播最远,正梯度链中应力波传播最近.这是由于负梯度链前半部分的柱壳壁厚较厚,柱壳的等效弹性模量较大,所以波速较快.

图2 不同梯度柱壳链结构在t=2.0 ms 时刻的应力云图Fig.2 Von Mises stress distributions of cylindrical shell chains with different density distributions at t=2.0 ms

2 理论分析

2.1 计及密度梯度的波传播模型

采用一维应力波理论分析均匀圆柱壳链中的波传播行为.最近,通过将均匀圆柱壳链等效为均质弹性杆,彭克锋等[25]基于波动方程研究了链中的波传播规律及波形弥散机理.本研究中,采用类似的方法,将密度梯度柱壳链等效为密度梯度连续杆,如图3.等效杆的长度为L,沿X方向的相对密度分布为ρ(X),面内厚度为W,宽度与柱壳的直径D相等,杆的横截面积A0=DW.需要说明的是,文献[25]考虑了柱壳链的横向惯性效应对波传播的影响,结果表明,横向惯性效应使波形振荡,但对于长度较短的均匀圆柱壳链,其对波形峰值的影响不大[25].本研究中柱壳链长度较短,因此,不考虑横向惯性效应.

图3 密度梯度杆受到线性应力脉冲作用Fig.3 A density gradient rod subjected to a linear stress pulse

密度梯度杆的相对密度分布为ρ(X),则杆中运动方程为

式中,σ,v,X,t和ρs分别是应力、粒子速度、拉格朗日位置、时间和基体材料密度.已有研究表明圆柱壳的表观弹性模量与厚径比的关系[28-29]为E～ (t/R)3,由于相对密度ρ正比于t/R,所以有E=E0ρ3.然后结合应变ε与位移u的关系式 ε=-∂u/∂X以及速度与位移的关系式v=∂u/∂t,式(3)可改写为

式(4)为一个线性齐次偏微分方程,满足叠加原理.因此,在理论分析中,先考虑杆端受到线性应力脉冲作用,再采用叠加原理,即可适用于任意可线性分解的应力边界条件,例如,边界受到三角形应力脉冲作用.

考虑杆一端受到斜率为ξ线性应力脉冲激励,另一端固定,杆中的初始条件和边界条件为

将杆长L、密度ρs和基体材料中的纵波波速作为特征参数,引入以下无量纲参数

然后结合式(4)和式(5)给出应力脉冲作用下密度梯度杆中的无量纲控制方程

2.2 拉普拉斯积分变换求解

式中,s是复变量.将式(8)分部积分并应用初始条件,然后代入式(7)可以得到

引入

和

式(9)可以写成刘维尔标准型

于是,式(12)可以写作

式(15) 的第一个方程为二阶常微分方程,其解为

式(17)给出

将式(18)代入式(16),得

将式(19)代入式(11),可以得到

进一步考虑U的拉普拉斯逆变换

式中,ω是实变数.将式(20)代入式(21),得到

式(22)可以通过留数定理求解.令式(22)中被积分式的分母为0,即

可见积分式(22)有二重奇点0 和简单奇点sk=iηk(k=± 1,± 2,± 3,···),实数ηk通过下式计算

式(24)有无穷多个实根,并且正根和负根存在一一对应关系.留数定理给出

在0 点处的留数为

在sk处的留数为

考虑正负根的一一对应关系,式(27)可以简化为

式中

所以线性应力脉冲作用下密度梯度杆中的位移解为

对于均匀杆,即γ=0 的情形,此时,T=1/ρ0,ηk=(k-1/2)π/T,k=1,2,3,···位移解退化为

进一步采用叠加原理求解三角形应力脉冲作用下密度梯度杆中的位移解.文献[30]中基于叠加原理,获得了梯形应力脉冲在考虑横向惯性的均匀弹性杆中产生的位移、应力和应变的解析解.类似地,对于三角形应力脉冲,其上升时间为下降时间为总脉宽为脉冲峰值为其位移解为

3 结果与讨论

3.1 柱壳等效材料参数的确定

通过对不同相对密度的单个柱壳进行单轴准静态压缩的数值模拟,可以获得柱壳的等效材料参数.在准静态压缩试验中,圆柱壳位于两块刚性板之间,其中一块刚性板以V=5 mm/s 的恒定速度压缩圆柱壳,另一块刚性板固定.不同相对密度(0.05～0.30)圆柱壳的名义应力-应变曲线如图4.当其名义应变较大时,图中出现了较明显的应变软化现象.但在某一应变之前,其名义应力-应变曲线近似满足线弹性关系.在控制线性相关系数不小于0.995 的情况下,通过线性拟合获得线弹性段的表观弹性模量E和最大有效应变ε0.不同相对密度圆柱壳的线弹性段的最大有效应变与相对密度的关系如图4(b),它们近似遵循线性关系 ε0=-0.52ρ+0.26.圆柱壳的表观弹性模量与相对密度的关系如图4(c)所示.利用E=E0ρ3式子[29]拟合图4(c)中的数据,拟合结果给出E0为418.6 MPa.

图4 不同初始相对密度柱壳的材料参数Fig.4 The apparent material parameters of cylindrical shells with different initial relative densities

3.2 理论与数值结果的比较

首先比较理论与细观有限元模拟的不同密度梯度柱壳链在三角形应力脉冲作用下的加载端位移.式(33) 结合圆柱壳的材料参数(n=3,E0=418.6 MPa),可以预测不同密度分布柱壳链加载端的位移历史曲线.图5 展示了理论与模拟计算的三种密度梯度柱壳链(γ=-1,0,1)在三角形应力脉冲作用下的加载端位移.结果表明,理论预测与细观有限元模拟的加载端位移有着相同的演化趋势,但也存在一些差异,这说明离散的柱壳链结构难以完全等效成连续介质.尽管如此,连续介质模型仍可以表征其位移演化的主要特征.三角形应力脉冲作用下,不同密度梯度链加载端位移均随着时间的增加而增加,当位移达到最大值时,链开始回弹,其中正梯度链最早回弹,负梯度链回弹时间最晚,均匀链加载端在其位移达到最大值后并未立刻回弹,而在一定时间内维持静止.此外,正梯度链加载端的最大位移比负梯度链和均匀链都大,这是由于正梯度链前半部分的平均等效弹性模量较小,因此抵抗变形的能力较弱.相反地,负梯度链前半部分的平均等效弹性模量较大,这使得负梯度链加载端位移在初始阶段比正梯度和均匀链都小.进一步将理论计算和细观有限元模拟的柱壳链支撑端的载荷历史曲线进行比较.理论分析中载荷由式F=计算,模拟中载荷可从有限元结果直接提取.结果表明,对于三种梯度分布的柱壳链(γ=-1,0,1),理论模型可以很好地表征其支撑端载荷演化的主要特征,如图6.当应力波传到支撑端时,支撑端载荷先增大至最大值,然后逐渐减小.通过比较有限元模拟计算得到的支撑端的峰值载荷,可以发现这三种梯度柱壳链支撑端载荷的最大峰值存在明显区别,其中均匀链中支撑端峰值载荷为37.29 N,负梯度链的支撑端峰值载荷最小(13.84 N),为均匀链的0.37 倍,正梯度链的支撑端峰值载荷最大(80.90 N),是均匀链的2.17 倍.理论分析得到了与有限元模拟相似的结果,这表明负梯度柱壳链表现出载荷衰减特征,而正梯度柱壳链表现出载荷增强特征.值得注意的是,数值模拟获得的峰值载荷略低于理论预测的结果,数值结果中载荷峰值附近曲线光滑不尖锐,这是因为理论分析中忽略了泊松比的影响[25].尽管如此,理论模型仍能捕捉加载过程中载荷演化的主要趋势.

图5 理论和有限元模拟的不同密度梯度链中加载端位移历史曲线Fig.5 Theoretical and FE simulated displacement histories of the loading end in the chains with different density distributions

图6 理论和有限元模拟的不同密度梯度链中支撑端的载荷历史曲线Fig.6 Theoretical and FE simulated forces at the support end in the chains with different density distributions

3.3 密度梯度柱壳链中载荷演化过程

基于理论模型可以分析三角形应力脉冲作用下密度梯度柱壳链中的载荷演化过程.图7 给出了正梯度和负梯度链中不同时刻的载荷变化曲线.观察发现,正梯度链中载荷峰值随着波传播逐渐增大,负梯度链中载荷峰值随着波传播逐渐减小.对于初始对称的三角形应力脉冲,其在梯度柱壳链中呈现不对称传输的特征.在正梯度链中,三角波形下降沿宽度大于上升沿宽度,这是由于正梯度链沿着加载方向等效弹性模量逐渐增大、波速越来越快造成的.与正梯度链相反,负梯度链中的三角波形下降沿宽度小于上升沿宽度.此外,边界对波形有着明显的影响,当波传到支撑端时,由于固支边界的反射,载荷被放大,波形不再维持三角形.还可以发现,梯度柱壳链受到三角形应力脉冲压缩时,链中不仅有压力也有拉力,且随着波传播,拉力逐渐增大,正梯度链中的拉力大于负梯度链.

图7 密度梯度柱壳链中的载荷演化Fig.7 Force evolutions in the density gradient cylindrical shell chains

利用有限元模拟结果计算了正负梯度柱壳链在冲击过程中的应变分布,其中应变定义为 ε=Δx/D,Δx为胞元沿加载方向的变形量,D为胞元直径.基于理论模型也可以获得柱壳链结构中的应变分布,即 ε=-∂u/∂x.通过比较发现,数值模拟结果与理论结果吻合较好,如图8.此外,在冲击过程中正/负梯度柱壳链中圆柱壳的最大应变均小于其线弹性段最大有效应变.

图8 密度梯度柱壳链中的应变分布Fig.8 Strain distributions in the density gradient cylindrical shell chains

3.4 密度梯度柱壳链的波形调控性能

传递到支撑端的峰值载荷通常被用来评估结构的载荷调控能力.基于理论模型,计算出了三角形应力脉冲作用下不同梯度分布柱壳链支撑端的峰值载荷.为了方便比较,将支撑端峰值载荷进行归一化处理.归一化的峰值载荷由式计算,其中F0为模拟得到的均匀链中传递到支撑端的峰值载荷.结果表明,当梯度分布参数小于0 时,并随着梯度分布参数的减小而减小;当梯度分布参数大于0 时,且随着梯度分布参数的增大而增大,如图9 所示.因此,针对三角形应力脉冲波形,线性密度分布的柱壳链可以在大范围内对其进行调控.

图9 密度梯度参数γ 对支撑端载荷的影响Fig.9 Effects of density gradient parameter γ on the peak force at the support end

4 结论

本文通过理论分析和数值模拟研究了应力脉冲激励下梯度柱壳链中的弹性波传播行为,建立了密度梯度杆在应力脉冲作用下的弹性波传播模型,并基于细观有限元模型对理论模型进行了验证,主要结论如下.

(1) 通过简化,将密度梯度柱壳链等效为变密度连续杆,给出了应力脉冲作用下密度梯度柱壳链中弹性波传播的简化分析模型.采用拉普拉斯积分变换方法,获得了应力脉冲作用下线性密度梯度杆中波传播模型的级数形式的解.

(2) 梯度柱壳链结构中应力波由加载端向支撑端沿着柱壳向前传播.与均匀链相比,负梯度链的支撑端峰值载荷较小,正梯度链支撑端峰值载荷较大.以三角形应力脉冲作用为例,理论模型的解析解可以较好地预测梯度柱壳链支撑端载荷的演化趋势.

(3) 线性密度梯度参数对梯度柱壳链的载荷调控性能有较大的影响.对于正梯度链,密度梯度参数越大,传递到支撑端的峰值载荷越大;对于负梯度链,密度梯度参数越小,传递到支撑端的峰值载荷越小.

本文建立的理论模型及其解析解为研究梯度柱壳链中波传播规律及揭示波形调控机理提供了理论基础,对新型载荷控制器的优化设计具有指导意义.值得注意的是,圆柱壳在应变较大时会出现明显的非线性行为,而本研究中的理论分析以线弹性假设为基础,因此所考虑的情况要求外载引起的圆柱壳应变应小于其线弹性段最大有效应变.此外,本文建立的密度梯度杆中弹性波传播简化分析模型忽略了横向惯性的影响,尽管可以较好表征梯度柱壳链的载荷演化,但预测的峰值载荷略低于模拟结果,进一步的工作可以考虑横向惯性效应以对模型进行改进.