在初中数学章前课中让大概念落地的基本策略

周 炼

(泰州市第二中学附属初中， 江苏 泰州 225300)

一、现状分析

(一)章前课教学现状

当下初中数学课堂比较显著的三个问题是：散、低、浅。散是指学生接受的碎片化知识学习较多，少有学生会主动置身于系统、框架中感悟知识；低是指将数学学习定位于知识的记忆与技能的训练，不会用高眼光统摄所学内容，导致知识积累增多后学习负担加重；浅是指很多学生看似会做很多数学题，能记住很多公式，但实质上仅仅将数学学习停留在了形式化、符号化阶段。章前课突破了常规教学在碎片知识链条上爬行，以线性结构推进教学进程，在“分—总”教学结构中逐渐积累整体观念的现状，以关键问题、核心任务为引领，驱动知识背后的框架与意义系统，呈现出“总—分—总”的新教学样态。通过章前课教学，可以对后续章内学习作更加理性、精准的预判，及时根据学生的学情调整教学设计与课程安排，能让单元教学更加科学、有序地推进。

(二)大概念研究现状

2018年颁布普通高中各学科课程标准，其中“重视以学科大概念为核心，使学科内容结构化”的具体要求将以大概念为统领的单元教学推向了教育改革的热潮，为当今时代培养什么样的人，如何落实学生的核心素养指明了方向。很多一线教师在政策解读时容易将大概念与概念相混淆，事实上学科的一般概念有严格的界定方式与相对固定的传递、流动渠道，而大概念则是一个比较模糊的意义系统，是凌驾于普通概念之上的。也正由于这样的模糊性与抽象性让大概念在基础教育中的落实面临着很多困难，如何将其融入日常教学中还有待研究，至今也并未有明确的能一以贯之的设计模式。

二、大概念下设计并开展章前课的价值取向

(一)大概念的内涵

大概念不是看得见、摸得着的事实，是一种基于事实抽象、概括的产物，能深化学科思维、联结多方知识水平，形成让事实更容易被接受与内化的概念锚点。其背后暗藏了一个偌大的意义世界，能对真实世界进行深刻解读，承载了该学科的构建体系以及相应的专家思维。从认识论方面看，学生可以通过大概念寻求世界观，是体悟世界、洞察现象的重要工具；从学习论方面看，有着高度概括性、抽象性的大概念是学生探索真实世界的重要手段，是能搜寻所学知识并完成相应任务的上位准则；从价值论方面看，大概念有着激发思辨意识、塑造价值观、发展核心素养的育人作用。大概念往往能作为一种态度、理解被长久地保存下来，潜移默化地影响着人们的行事风格与认知方式。

(二)大概念的特征及落地困境

1.大概念具有隐蔽性

大概念一般不会表露在知识浅层，往往需要经过一番探究才能逐渐显现，并且这个过程是抽象、缓慢的，在反复中获得的。初中数学教材中很多定理、公理都是经过几十年甚至几百年的艰难发展、推翻重建后才呈现于教材之中，但大部分知识都被教师当成“既定事实”来教。将专家长期探索的结果直接告知学生，学生接收到的仅仅是未经体验的专家结论，而非专家思维，甚至教师在定位大概念时也可能会出现偏差，大概念的落地也就无从谈起。

2.大概念具有抽象性

围绕大概念的讨论是站在宏观层面的，一般来说层次越高的大概念越为抽象，但反之能辐射的面就会越广，能流畅、灵活地迁移到各种符合大概念主旨的未知情境中去。数学本身是一门抽象性强的学科，那么大概念就是建立在抽象之上的抽象，要完全站在概念结构的角度让学生理解数学是较难内化或毫无兴趣的，如果没有足够真实的情景支撑、完整的任务式体验很容易让大概念浮在空中无法落地。

3.大概念具有交叉性

学科性是大概念的一大特征，能反映学科的主要观点与思维方式，并从学科的特有角度、固有模式对事物进行分析、组织与思考，但当知识、观念的积累达到一定程度时，大概念的种类会越来越丰富，学习便自然从主题性理解上升到了架构性迁移，此时若不跨过知识屏障，打破学科壁垒，与其他学科产生意义联结，大概念便很难再成为学生复杂地看待这个世界的中心枢纽。

4.大概念具有开放性

基于大概念的学习是建立在深度理解之上的，这种理解是持久、稳定、有强大结构支撑的，会跨越时间和文化得以长存，但这并不意味着大概念就是一成不变的。对待大概念要时刻保持开放、质疑、反思的态度，以便在找到新证据时随时改变想法。若依旧以教材为权威，以教师为信条，便不具备自我进化的建构能力，此时的大概念如同虚设，是无法被理解、接纳并走进学生内心的。

(三)章前课与大概念特征的一致性分析

1.外通内围的结构一致性

以大概念来组织章前课与其自身的两个维度有关。从横向视角看，章前课的设计与开展能揭示出新旧知识之间的递进关系，引导学生运用已有知识解决未知问题，从而促使章内知识发展进程逐渐清晰、明朗；从纵向视角看，章前课所处的单元视角是高于课时视角的，通过章前课对单元概念进一步提炼、抽象、概括能得到更具普遍意义的理解模式，从而更好地实现知识结构的改造[1]。大概念作为概念系统的中心枢纽与章前课一样处于外通内围的位置，都能够很好地拓展各自领域内的纵横关系。例如，有理数、整式的加减、幂的运算、整式乘法、分式、根式等在初中数学课程体系中是非连续的，而且每一种代数运算都有专属的运算系统，可以作为教学的独立单位。但如果以“运算是通过已知量的可能组合获得新的量，本质上是集合之间的映射”这一大概念为统领，那么无论上述提到哪一种运算都构成了一致性。在章前课中融入这一大概念，既能以算法算理的相似性促使不同种类运算的横向扩展，也可以在不同运算对象的反复研究中加深对这一大概念的理解，在共性与差异的对比中逐步形成纵向延伸。

2.以少御多的观念一致性

常规课教学由于目标明确、教学任务重，很难在一节课内留给学生宽裕的思考时间，而章前课一般没有硬性的知识与技能目标，教学内容看似较少但实质上是把课堂主动权交给学生的一种转型，以此引发对章学习价值与研究背景更“多”的关注。另一方面，章前课能从整体角度化解建构知识的复杂性，在面对庞杂与凌乱的知识体量时可以做必要的“减法”，以少的内容承载多的内涵。这里的减法是指将章内的重要思想提取出来，以精简的结构凸显章研究主题，组织起松散的点状知识，从而形成网状连接以能容纳更多的意义。大概念是处于学科中心的知识聚集点，是能刻画章内容的思维地图，是能辨别重难点的指南针，要能以少而精的观念把握这个世界的运行规律与背后的专家思维方式。如此，章前课与大概念都看起来少却蕴含着多，又都能将烦琐的多炼制为精简的少，这在以少御多的观念上也是不谋而合的。

三、基本策略分析

(一)合理选择大概念

在新进知识日新月异的今天，每天都会有层出不穷、急剧膨胀的信息涌现，大概念作为处理信息的中心枢纽，应该是精心挑选后能与更多事物产生关联的中心概念。由于章前课教学要能统摄整章内容的学习，所以应站在宏观层面，兼顾整体建构与分课时教学的不同需求，以精简的形式提取数量少、概括性强的大概念，让学生在章前课学习中能有所聚焦、有所体验。确定合适的大概念是让大概念落地、从隐蔽走向显著的基本前提，下面结合初中数学的学科特点与相关教学实践阐述选择大概念的四种方法。

1.解读课程标准

数学课程标准是国家制定的关于义务教育阶段的政策性纲领，具有义务性、普遍性和基础性，是面向全体学生的基本要求。无论是哪种大概念的提取都应该遵循课程标准的基本理念，并且课程标准本身就是关于学科知识的高度提炼，很多大概念是可以直接从中摘录过来的，但是要注意相关语句是否具备统领性，能否关联大多数核心知识。

例如在对《代数式》章前课进行教学设计时，查阅课程标准发现本章所属第四学段的数与代数部分共有三个子标题，分别是数与式、方程与不等式、函数，而这三个标题本身就可以作为统摄代数学习的大概念，代数式的章前建构便可以围绕这三个大概念展开。具体的可以设计一个用火柴棒搭小鱼的实验，分别从“数”“式”“方程”“不等式”“函数”五个维度设计对应的探究问题：搭1个小鱼需要火柴棒多少根？搭100个小鱼需要火柴棒多少根，你能用一个式子来描述以上规律吗？用80根火柴棒能搭多少个小鱼？不少于1000根火柴棒至少能搭多少个小鱼？当小鱼的数量增大或减小时，火柴棒的根数是否随之改变？这五个指向大概念的问题不仅便于学生从不同的视角深度理解代数式，而且也自然地将初中阶段“数与代数”体系的大致轮廓勾勒了出来。

2.融入生活视角

怀特海曾经说过：“教育只有一个主题，那就是多姿多彩的生活本身。”[2]选择大概念时应该将章内容与生活情境相结合，找到学科本质与生活实用性之间的平衡点，从而建立数学与生活的联系。当然这需要教师有丰富学科知识的同时还要有足够的生活体验，要能在生活中体悟数学哲学，在数学中反馈生活价值。如果教师在这方面有所匮乏，可以参照教材中的章前图与章引言，其中会提供一些案例以便更好地从生活视角提取大概念。

例如在苏科版八年级下册第8章《认识概率》的章前图中给出钉尖不着地的频率图，足球场上裁判正在判定一场比赛的输赢，从不透明的口袋中进行摸球游戏等情境，在章引言的导读环节还有“事件发生的可能性有大有小，概率度量事件发生可能性的大小”“本章将研究事件发生可能性的大小，并通过大量重复实验，用事件发生的频率来估计概率”等描述。通过这些信息再联系生活实际，可以提取出“性质不同的主体发生某个事件的可能性大小可以通过多次实验进行估计”这一大概念，围绕这一大概念可以设计一些易于课堂操作的概率实验作为章前课的探究环节，如抛硬币、抛尖顶、掷骰子等，并辅以记录数据、团队合作、方案设计等形式让学生获得关于概率的丰富体验。

3.概念相互演变

概念演变可以分为两种类型：一是概念派生[3]，即自上而下地由一个大概念分化出若干个大概念；二是概念升华，即由具体的学科概念出发，通过弱化概念信息逐步向上抽象，自下而上地得到覆盖面更广的大概念，具体的方式可以是从现象到本质、从事实到价值、从特殊到一般、从部分到整体等[4]。

例如，在《轴对称图形》一章中，我们可以依据“很多事物具备对称性的研究价值”这一大概念进行派生，得到“很多几何图形具备对称性的研究价值”，从而将大概念聚焦于几何学的特定视角，当再进一步派生为“几何图形关于点、线、面对称性的研究价值”后，大概念下的章前建构就有了更加明晰的操作路径。反过来，从章内具体小节的知识、技能要求出发，可以得到“探索并证明角平分线的性质定理与判定定理”的学科概念，此时可以将其升华为“探索一个几何图形的对称性可以从性质与判定这两方面入手”的大概念，这样便从“互逆命题”的双向视角进一步增加了章前课的探索维度。事实上，无论是自上而下的派生还是自下而上的升华，两种不同的切入方式都能让提取的大概念更丰满、精准、合理、有效。

4.指向素养发展

当今初中数学教育非常注重核心素养的发展，数学核心素养是指通过数学学习形成的价值观、世界观、关键能力与必备品格，其中蕴意着需要培养怎样的人的基本要求。在最新颁布的2022版义务教育阶段数学课程标准中就给出了抽象能力、推理能力、几何直观等具体核心素养，可以为大概念的提取提供更加精准的理论依据。

例如，在《一元二次方程》一章中数学建模是最能体现章学习价值的核心素养之一，这其中包括对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型，通过结果与条件的相关性对模型进行修正与优化等方面。章前课的设计可以围绕着“数学建模”这一大概念展开，创设一个树枝被风吹断的情景，通过头脑风暴的形式让学生根据情境自己提出问题，以问答形式回顾与该情境的有关的数学知识，如勾股定理、周长与面积公式、完全平方公式、等腰三角形的性质等，随后将其抽象为一个纯数学图形，再让学生自己给出条件、设计问题，建立一元二次方程模型，引导学生在尝试解方程的过程中逐步完善对一元二次方程概念的界定，从而理清本章的研究内容与路径。

(二)建立问题群与任务群

要通过数学学习发展学生的核心素养，形成应对复杂任务的能力，就要从“校内价值”走向“校外体验”，围绕大概念解决真实世界中的机遇和挑战，在实践的境脉中以言行共构知识、以互动改造世界。章前课设计与开展的立意正是为了消除碎片化、浅显化、模式化的教育弊端，希望学生在章前课的学习中获得解决综合问题的能力以及终身学习的意识，而不仅仅是单方面自上而下地传递知识。由此看来，章前课中问题与任务的设计要确保真实、有挑战性、能激发探究欲望，同时还要兼具统领性、聚合性和发散性，有明确的评价方式，致使学生在问题与任务的链条驱动下构建章全局观，下面将从任务清单设计与滚雪球式教学两个方面依次进行阐述。

1.以大概念设计问题群与任务群清单

在选择合适的大概念后，基于大概念的表现性目标、相关素养要求以及现有思维水平设计出能突出章知识内容、章思想方法、章研究价值的主问题与主任务。在此基础上对主问题与主任务做进一步分析，通过关联、综合、具体化、操作化等方式设计出一系列条理清晰、层次分明的支问题与支任务，从而建构起以大概念为中心的问题群与任务群清单。这列清单更像是一条通道，在问题群与任务群的交叉驱动下引发学生对于大概念的持续性关注，整合与章内容相关的情境、策略、资源，以发散状的形式构建可以纵横延伸的知识框架，并通过真实体验将外部行为与信息内化为框架中的关键元素来统领整章的学习。

例如在《三角函数》的章前课中，紧扣“数学建模”与“探索并描述几何元素之间的关系”这两个大概念，设计了如下问题群与任务群清单(见表1)，使章前课的问题与任务目标清晰可见。

表1 围绕大概念设计的《锐角三角函数》章前课问题群与任务群清单

2.指向专家思维的“滚雪球式”教学

专家思维是指跳脱知识、信息本身的限制，以独特的学科视角理解世界，像专家一样思考问题的能力。正如珀金斯所说：“基础教育应该塑造业余的专家，并非必须习得专业知识，只有业余的专家才能随意、灵活地调度并使用知识。”[5]专家系统知识的这种生命力正来源于真实情境，但若问题、任务与真实世界之间缺乏关联，那么专家思维便很难形成，也就无法透过表象深度挖掘章研究价值，理清章知识脉络。脑科学研究表明，专家的知识是靠大概念组织起来的，专家在某一知识领域的钻研越深入，其以大概念为中心的认知网络就越丰富，当专家遇到需要解决的问题时，组织零碎信息的正是大概念。由此看来，在列出清单的基础上需要以大概念为中心继续寻求更多与之相关的关键词，通过“滚雪球”式的教学以螺旋式的组织逻辑贯穿于章学习始末，从而产生持续性的积累效应[6]。

依旧是在《三角函数》的章前课中，在列出清单的基础上可以设计如下的“滚雪球式”的教学图示(见图1)，当然这并不意味着要在章前课中将以上图式完全呈现给学生，而是在教学中或多或少地进行渗透，通过“滚雪球”的方式让大概念逐渐被赋予更多真实世界的内涵。

图1 围绕大概念设计的《锐角三角函数》“滚雪球式”教学图式

(三)融入跨界元素

很多学科之间的大概念是有公共交集的，能反映出共性的思想与过程，例如数学学科中的计算、建模、推理、假设、证明、整体等大概念均能延伸到其他学科领域。那么如何让大概念的交叉性落地使跨界学习变为可能呢？首先，既然能与所跨学科产生融合，那么大概念的层级是相对高的，唯有站在单元教学的高度才能引发同频共振，所以在章前课中尝试这种跨界是合理的；其次，要融入跨界元素就要先探索开发不同学科但大概念导向一致的课程资源，可以通过聚焦国家前沿技术发展的案例，立足学生的知识经验与基础等方式搜集相关材料，在这些过程中教师与学生的眼界都得到了开阔，对章研究价值会形成更加深刻且多样化的理解；最后，在确定课程资源后，要组织好学科与跨学科融合的形式，充分利用大概念在两个领域内的流动性，既可以根据跨学科情境帮助学生形成学科大概念，也可以利用学科大概念解决跨学科问题。

例如在《圆》的章前课中，为了让学生感悟圆的研究价值，可以融合工业设计开发“制作一个车轮”的任务群，学生在探索不同形状车轮对于运行效果影响的过程中便能得到“到顶点距离为定长的点集”这一学科概念，若从跨学科视角看便可以继续上升为“研究有某种性质的点集构成的图形具有实用价值”，而这一大概念有更高的推广价值。再比如设计“探索卫星与最远观察点之间距离”的任务群，以天文知识为载体凸显直线与圆位置关系的研究价值。具体过程为先让学生了解卫星信号发射、接受的相关知识，再通过动画实景模拟、画图操作发现卫星发出信号到地球接受的最远点其实就是信号传播路线与地球抽象几何体的唯一公共点，这不仅为后期学习切点、切线、切线长等概念埋下伏笔，而且可以将其进一步上升为“定量计算”“点与点集之间的位置关系转化”等大概念，在学科融合中发展思维、提升素养、获得技能，同时又引领了后续需要探索的章内容，埋下了要建构的知识主线。

(四)组织挑战与质疑

学习不是一件简单的事情，是一种会引发复杂理解的脑力劳动，这同时需要高度的自我约束、自我导向和延迟满足，若不能让学生在学习中感到新意便很难全程保持专注。教师可以围绕大概念适当选择一些刺激、新颖、冲突、不协调的探索内容置于章前课中，在一开始就抓住学生的眼球，使其对后续的学习投入更多的期待与精力，在观念解构与重构的过程中加深对大概念的理解。在初中数学教材中有很多与数学史、著名数学定理有关的章内容，教师可以引导学生站在巨人的肩膀上深度思考、发表见解、提出质疑。

例如在《有理数》《勾股定理》《平面直角坐标系》这三章中对应的大概念分别是“有理数与无理数的区别在于形式上的划分”“从升维视角出发研究边长的数量关系”“数与形对应关系的刻画与表达”，以此为依据可以设计三个具有一定冲突性、开放性、能引发学生思考与质疑的问题与任务，分别是“你还有不同的以形式特征来对数进行分类的方法吗？现在已有的分类方式一定科学吗？”“你是如何想到研究边的平方的？你准备借助于什么测量工具研究边的平方？”“平面直角坐标系有什么使用的局限性吗？你能对其进行优化吗？”当这些问题提出来后会激发出学生强烈的好奇心，能第一时间吸引学生的注意，并且真实地感受到数学家第一次得出结论时的兴奋、疑惑，体会先驱理解未知事物的过程，使自己也像专家一样提出问题、测试观点，再重建观念。通过这样的学习，学生接受到的便不再是“虚无缥缈”的真理，而是能充分代入的自身情感与体验。

四、结束语

融入大概念的教学聚焦于概括性概念的深度理解与获得，是基于学生的兴趣、需要、经验，当下知识结构与认知水平而设计的，是一种独立、合作、感受的自主建构模式。隶属于单元教学的章前课能与大概念较好地贴和，在过去与未来、新知与旧知之间打开一个生长隧道。大概念在这一隧道中能冲破文化、学科、时间等限制，在学生认知系统的纵横结构中流通起来，继而解决更具挑战性、真实性的复杂问题，以此培养学生的思维发散力、创造想象力与交往适应力，能更好地应对未来世界对个体、社会乃至国家提出的更高挑战。▲