波形钢腹板PC组合箱梁纯扭全过程分析模型

周 聪 ，李立峰

（1.湖南大学土木工程学院，湖南 长沙 410082；2.湖南科技大学土木工程学院，湖南 湘潭 411201；3.湖南科技大学结构抗风与振动控制湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201）

与普通混凝土箱梁相比，波形钢腹板组合箱梁（composite box girders with corrugated steel webs,CBGCSWs）具有自重轻、预应力导入效率高、完全避免腹板开裂等诸多优势[1-3]，因此在我国得以迅速推广.近十几年来，国内外学者对CBGCSWs的抗弯[4-5]、抗剪[6-7]等方面的受力性能进行了广泛研究.然而，聚焦其纯扭性能方面的研究却较为匮乏.事实上，用轻薄的波形钢腹板取代传统的混凝土腹板后，CBGCSWs的抗扭刚度会被大幅削弱（大约仅为传统混凝土箱梁的30%～40%）[8].因此，在扭转效应突出的情形下（如曲线梁桥、偏心荷载等），该结构的抗扭问题值得重点关注和深入研究.

针对波形钢腹板PC组合箱梁（prestressed concrete composite box girders with corrugated steel webs, PCCBGCSWs）纯扭作用下的受力问题，诸多学者均提出过相应的分析模型.Mo等[9]将变角软化桁架理论（rotating angle softened truss model for torsion,RA-STMT）应用于PCCBGCSWs，提出了一种预测该结构纯扭作用下力学性能的理论分析模型.基于RA-STMT，同时考虑结构的受力特点，聂建国等[10]建立了PCCBGCSWs在纯扭作用下的非线性分析模型.丁勇等[11]以扭转理论及固角软化桁架模型为基础，建立了PCCBGCSWs 在纯扭作用下的抗扭承载力计算模型.Ko等[12]提出了预测PCCBGCSWs纯扭受力行为的改进分析模型，该模型考虑了混凝土抗拉钢化效应，并对混凝土翼缘板内的剪力流有效厚度进行了修正.但作者仅将该模型用于混凝土开裂后阶段的分析，而针对开裂前阶段的预测则基于Bredt薄壁构件扭转理论[13].沈孔健等[14]将PCCBGCSWs的全过程扭矩-扭率曲线分成混凝土开裂前及开裂后两个阶段，并针对上述两个阶段分别采用扭转刚度修正和RA-STMT进行分析.基于RA-STMT，同时将混凝土抗拉强度考虑在内，Shen等[15]提出了针对单箱多室PCCBGCSWs纯扭全过程的分析模型.Shen等[16]以软化薄膜元模型（softened membrane model for torsion, SMMT）[17]及RA-STMT为基础，建立了PCCBGCSWs纯扭全过程分析模型.之后，Shen等[16]对该模型进行了改进，在模型中考虑了预应力效应对初始应力及应变的影响[18].

从以上文献可以看出：已有的PCCBGCSWs纯扭分析模型大都基于RA-STMT.然而，由于RASTMT忽略了混凝土的抗拉强度和抗拉刚化效应，也不能考虑开裂混凝土提供的抗剪强度，因此基于该理论提出的分析模型无法预测结构在混凝土开裂前的扭矩-扭率曲线，对混凝土开裂后纯扭力学行为的预测也不够精确.另外，有部分模型（如Ko模型[12]和沈模型[14]）分别采用不同的计算理论对PCCBGCSWs开裂前、后两个阶段进行分析，这样的处理方式显然不具有理论一致性.除此之外，已有理论模型的求解程序均包含多个迭代循环，因此导致这些模型的求解效率比较低.

本文基于SMMT提出了用于分析PCCBGCSWs纯扭全过程受力行为的改进软化薄膜元模型（improved softened membrane model for torsion，ISMMT）[19-20].该分析模型基于单一软化薄膜元理论，考虑了混凝土抗拉强度及开裂混凝土提供的抗剪强度，且对剪力流有效厚度进行了合理修正.文献[19]将国内外8根PCCBGCSWs纯扭试件的扭矩-扭率曲线与ISMMT预测的理论曲线进行了比较，初步验证了ISMMT的适用性.事实上，ISMMT除了能够预测扭矩-扭率曲线，还能对各构件在加载全过程的应变历程进行模拟.因此，该理论模型的准确性尚需进一步的验证.

本文首先对ISMMT的平衡、变形协调、材料本构方程以及通用求解程序进行介绍；之后，针对ISMMT和同类型分析模型中求解程序过于复杂且耗时的问题，提出当波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时的简化求解程序框图；最后，完成1根PCCBGCSWs试件的纯扭模型试验，并将模型试验结果与采用ISMMT计算的理论结果进行对比，来进一步验证该理论模型的适用性与准确性.

1 软化薄膜元模型（SMMT）简介

通过考虑受扭构件中混凝土斜压杆的受压软化效应，Hsu等[13]对空间桁架模型进行了改进，提出了经典的软化桁架模型（softened truss model, STM）.该模型能准确预测纯扭构件在极限状态下的扭矩与扭转角，但由于其未考虑混凝土的抗拉强度，无法对结构在开裂前的扭转性能进行预测，因而具有局限性[21].

为了克服上述不足，Jeng等[17]将用于预测RC受剪构件受力行为的软化薄膜元模型（softened membrane model, SMM）进行了改进，提出了针对RC受扭构件的分析模型（softened membrane model for torsion, SMMT）.该模型的创新点体现在：通过修正混凝土本构关系来考虑斜压杆的应变梯度效应，并首次将混凝土的抗拉强度考虑在内.通过与已有文献中的纯扭试验数据进行对比，表明SMMT能对RC实心纯扭构件的全过程受力行为作出精准预测.

2 改进软化薄膜元模型（ISMMT）

ISMMT是以软化薄膜元理论为基础，并将PCCBGCSWs的结构和力学特点考虑在内，进而得出的一种预测该结构纯扭全过程受力行为的理论分析模型.以下对ISMMT的平衡、变形协调及材料本构方程以及通用求解程序进行简要介绍，其详细推导过程参见文献[19-20].

2.1 平衡、变形协调及材料本构方程

2.1.1 平衡方程

对于承受外扭矩的PCCBGCSWs，其截面内会形成连续闭合的剪力流q来平衡外部扭矩，如图1所示.图中：A0为组合箱梁中剪力流中心线所包含的截面面积，A0=b(h-td) ，b、h分别为组合箱梁梁宽和梁高；td为剪力流有效厚度；T为箱梁承受的扭矩； τlt为l-t坐标系中的平均剪应力；s为箍筋间距.

图1 纯扭作用下波形钢腹板PC组合箱梁Fig.1 Prestressed concrete composite box girder with corrugated steel webs subjected to pure torsion

根据组合箱梁截面平衡状态可得

式中：As为在混凝土翼缘板内单独闭合的剪力流q2所包含的截面面积； τw、 τwy分别为钢腹板的剪应力和剪切屈服强度；tw为钢腹板的厚度.

在混凝土翼缘板内剪力流区域取微元A，该微元受纯剪作用.根据微元A面内平衡状态可得

式中： σ1c、 σ2c分别为1与2方向的混凝土平均正应力； σ21c为 1-2 坐标系中混凝土的平均剪应力；fl、ft、fp分别为纵筋、箍筋及预应力筋的应力； ρl、 ρt、 ρp分别为纵筋、箍筋及预应力筋的含筋率，如式（5）；σci、fli、fpi分别为由预应力引起的混凝土（式（6））、纵筋（式（7））及预应力筋的初应力； ρli、 ρpi分别为扭转前纵筋及预应力筋的含筋率，如式（8）.

式（5）～（8）中：Al、Ap分别为剪力流区间内的纵筋和预应力筋面积（单块混凝土翼缘板内）；At为单根箍筋面积；Ec、Es分别为混凝土和钢筋的弹性模量；ε¯li为预应力引起的l方向初应变；Acc=Ac-Alw-Apw，Ac为混凝土翼缘板截面面积，Alw、Apw分别为全部纵筋和预应力筋的面积.

2.1.2 变形协调方程

根据Bredt薄壁构件扭转理论[13]，可得组合箱梁截面变形协调方程为

式中： γlt为l-t坐标系中的平均剪应变； γw、hw分别为钢腹板的剪应变和高度； θ 为组合箱梁扭率.

基于莫尔应变圆相关理论，可推导出微元A的3个变形协调方程为

式中： εl、 εt分别为沿l、t方向钢筋的双轴应变； ε1、ε2分别为1、2方向的混凝土平均双轴正应变；γ21为1-2坐标系中混凝土的平均剪应变.

假定混凝土薄膜元中应变是线性分布的，可得变形协调方程为

式中： ϕ 为混凝土薄膜元应变梯度曲率； α2为混凝土主压应力方向与纵筋的夹角，取45°；为2方向的混凝土表面单轴正应变.

微元A处于双向受力状态，双轴应变与单轴应变之间的关系为

式中： εsf为纵筋与箍筋中先屈服者的应变； εy为钢筋屈服应变.

2.1.3 材料本构方程

受压混凝土的本构方程如下：

式（14）～（17）中： η 为修正系数，按式（19）计算；k1c为平均压应力系数： ζ 为软化系数；fc为混凝土轴心抗压强度标准值； σ2c按文献[19]分段选取；=0.625，为预应力引起的1方向混凝土初应变；β为裂缝旋转角度.

受拉混凝土的本构方程如下：

普通钢筋的本构方程如下：

预应力钢筋的本构方程如下：

式中：fp为预应力筋的应力；Ep、 εp、 εpro、fpu分别为预应力筋的弹性模量、应变、比例极限应变和极限强度，

波形钢腹板的本构方程如下：

式中：Ge为波形钢腹板的有效剪切模量；Gs为钢材的剪切模量；aw、bw和cw分别为波形钢腹板的直腹板段、斜腹板段投影和斜腹板段长度.

混凝土剪应力与剪应变之间的关系为

需要指出的是，一些已有的PCCBGCSWs纯扭分析模型（如文献[9-10]）忽略了混凝土的抗拉强度，因此仅能预测结构在混凝土开裂后的抗扭行为.而ISMMT成功地将混凝土抗拉强度考虑在内，从而能够预测PCCBGCSWs包括开裂前上升段在内的整个扭矩-扭率曲线.

2.2 求解程序框图

2.2.1 通用求解程序

联立式（9）、（11）可求得td的表达式，但可能出现计算所得td大于混凝土翼缘板厚度tc的不实际情况.因此，对td进行判定并修正，如式（25）.

式（25）的推导是为了避免采用“试错法”迭代计算td，从而提高求解效率.ISMMT的通用求解程序见图2（a），式（26）～（28）为迭代计算的 3 个收敛判别准则.

2.2.2 简化求解程序

Jeng等[17]给出的SMMT求解程序适用于PC构件的纯扭全过程分析，但其中包含2层嵌套迭代循环，较为复杂，求解耗时也较长.为提高求解效率，Jeng等在此基础上提出了当普通钢筋处于弹性阶段时的简化求解程序，该简化程序仅包含1层迭代循环[22].同样地，图2（a）所示的通用求解程序适用于PCCBGCSWs纯扭全过程分析，但包含3层嵌套迭代循环，求解更为复杂与耗时.因此，本文在充分考虑PCCBGCSWs结构特点的基础上，参考Jeng等[17]提出的简化模型，提出了当波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时的简化程序框图（图2（b））.当纵筋、箍筋及预应力钢筋均处于弹性阶段时，其本构关系可分别表示为

将式（12c）、（12b）、（24）、（29）代入式（26）和式（27），可得

显然， γ21可通过求解式（30）、（31）得出，求解γ21的目的是为了消除与 γ21相关联的迭代循环.此外，由于波形钢腹板也处于弹性阶段，与 γw相关联的迭代循环可通过代入 γw= τlttd/Gestw（根据式（23）和q= τlttd= τwtw求出）予以消除.至此，通过上述简化，求解程序仅包含1层迭代循环，如图2（b）所示.需要注意的是，图2（a）所示的通用求解程序适用于纯扭全过程分析，而图2（b）所示的简化求解程序仅适用于当波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时的纯扭分析.

图2 ISMMT的求解程序框图Fig.2 Program block diagram for solution algorithm of the ISMMT

与通用求解程序相比，该简化求解程序的计算效率有显著提高，主要原因为：1） 通用求解程序与简化求解程序分别包含3层嵌套迭代循环和1层迭代循环，其计算复杂度可分别用O(n3)和O(n)来表示（n为问题的维度）.因此，后者的求解效率要显著高于前者；2） 通用求解程序采用“试错法”来假定未知变量 γ21、 ε1和 γw的值，具有盲目性，求解效率低.而在简化求解程序中，当收敛判别式不满足后，程序可自动生成下一个迭代循环所需的初始值 ε¯2，从而避免采用“试错法”盲目寻找，可有效提高求解效率.同时，与本文通用求解程序类似，已有的同类型分析模型（文献[9-12、14-16、18]中模型）均包含3层嵌套迭代循环.因此，本文简化求解程序的求解效率同样远高于已有同类型分析模型.

根据图2所示求解程序框图，本文采用MATLAB编制了PCCBGCSWs纯扭全过程分析模型，运行程序可得到一组扭矩与扭率的离散点，最终绘成扭矩-扭率图.

2.3 ISMMT与已有分析模型比较

与文献中已有的同类型分析模型相比，ISMMT有着较为显著的优势.首先，由于ISMMT基于单一软化薄膜元理论提出，因而具有理论一致性.同时，SMMT成功地将混凝土抗拉强度、抗拉刚化效应以及开裂混凝土提供的抗剪强度考虑在内.本文ISMMT基于SMMT提出，同样能够考虑上述效应，因而能准确模拟结构包括开裂前阶段在内的全过程扭转行为.此外，与已有分析模型[9-12,14-16,18]的求解程序相比，本文提出的简化求解程序效率更高、求解耗时更少.因此，ISMMT为纯扭作用下PCCBGCSWs的受力分析提供了有效途径.

3 模型试验

3.1 试件概况

设计并制造了一根等截面PCCBGCSWs试件，如图3所示.图3（a）为试件的立面图，梁的长度及高度分别为2.8 m和0.55 m， 为方便固定与加载，在梁的两端各布置一道0.4 m厚的横隔板.图3（b）为组合箱梁横截面尺寸和预应力及普通钢筋布置示意图，普通钢筋型号均为HRB335，规格均为Φ10.0，箍筋间距为100 mm，混凝土保护层厚度均为20 mm.预应力钢束采用单根直径15.2 mm、抗拉强度标准值1 860 MPa的低松弛钢绞线，在加载前施加初应力.波形钢腹板采用Q235钢材，图3（c）为其尺寸示意图.为了确保波形钢腹板与混凝土顶、底板连接处在加载过程中不提前发生破坏，剪力连接件采用刚度较大的双PBL形式.此外，模型试件的材料特性列于表1.

图3 试件尺寸Fig.3 Size of the specimen

表1 试件材料参数Tab.1 Material properties of the test beam

3.2 加载装置

自行设计了一套纯扭加载装置，如图4所示.试件的一端通过千斤顶进行固定，另一端通过加载梁夹紧后作为转动端，在转动端底部放置铰支座.在压力传感器与反力梁之间放置球铰，采用液压千斤顶在加载梁上施加竖向偏心荷载，可使得试件在加载过程中处于近乎纯扭的受力状态.加载梁的悬臂段长1.65 m，通过压力传感器对竖向荷载的大小进行控制.由于加载梁自重较大，考虑加载梁偏心对试件产生的初始扭矩.

3.3 测试方案

3.3.1 扭矩与扭转角

扭矩可近似按竖向偏心荷载与加载梁力臂的乘积计算，该近似值与考虑扭转角的精确值相比相差较小[23].此外，在试件的1/2及3/4截面分别布置位移千分表来测量试件在加载过程中的扭转竖向位移.按式（32）换算得到该截面的扭转角，图5为计算示意图.

图5 扭转角计算示意Fig.5 Calculation diagram of torsional angle

式中：Lc为梁中心至千分表的距离； δc为千分表测得的扭转竖向位移； αc为试件的扭转角度.

3.3.2 测点布置

试件的测点布置情况为：在跨中截面左、右两侧波形钢腹板上各布置6组（共12组）应变花，编号分别为 LW-1～LW-6（左侧）和 RW-1～RW-6（右侧）；跨中截面混凝土顶、底板沿横向分别均匀布置5组（共10组）应变花，编号分别为TC-1～TC-5（顶板）和BC-1～BC-5（底板）；预应力钢束采用后张法进行张拉（未灌浆，属无黏结预应力），沿对角选取2根钢束在其张拉端布置预应力传感器，编号分别为PZS及P-YX（如图4所示）；在混凝土顶、底板内各选取8个普通钢筋（包括纵筋和箍筋）测点（共16个）布置应变片，编号分别为TG-1～TG-8（顶板）及BG-1～BG-8（底板）.上述主要测点的详细布置情况如图6所示.

图4 纯扭加载装置Fig.4 Loading equipment for pure torsion test

图6 应变测点布置Fig.6 Arrangement of strain measuring points

4 结果对比

为验证ISMMT能否准确预测PCCBGCSWs中各构件在纯扭作用下的应变历程，将ISMMT预测的各项理论结果与对应的试验结果进行对比，如图7所示.

4.1 扭矩-扭率曲线

将扭矩-扭率曲线的理论和试验结果列于图7（a），其中，扭率的试验结果取所有4个竖向位移测点按式（27）换算得到扭率值的平均值.从图7（a）可以看出：当试件处于弹性阶段时，扭率试验结果要略大于对应的理论结果，造成该现象的原因可能是该阶段扭率值相对较小，千分表读数易受周围环境的干扰.但由于本文仅完成了1根模型梁的纯扭试验，扭率的试验与理论结果存在偏差的原因还有待进一步研究.在混凝土开裂后，理论与试验曲线遵循着相同的发展趋势，且吻合良好.此外，将理论和试验曲线在纯扭加载过程中关键节点处的对应结果列于表2～4.表中：T和θ分别为扭矩和扭率，下标第 1 个数（1、2、3）代表状态（开裂状态、屈服状态和极限状态），下标第2个数1、2分别代表理论值与试验值.表中结果表明：除开裂状态下的扭率试验值与对应的理论结果相差较大外，其他结果均十分接近.由此可知：ISMMT能准确预测PCCBGCSWs在纯扭状态下的全过程扭矩-扭率曲线.

表2 ISMMT预测结果与试验结果对比（开裂状态）Tab.2 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (cracking state)

4.2 波形钢腹板剪应变

图7（b）为由ISMMT和试验给出的波形钢腹板剪应变结果（绝对值）.从图中可以看出：理论与试验曲线吻合良好，且由分析模型给出波形钢腹板平均剪应变位于各分散试验曲线的区间内；左侧与右侧波形钢腹板对应位置处的剪应变值很接近，且在凹进（LW-1～LW4、RW-1～RW4）与凸出（LW-5～LW6、RW-5～RW6）直钢板处的剪应变值也相差很小.在钢腹板屈服前，波形钢腹板上的剪应变随着外扭矩的增加而近乎线性增加.而当钢腹板达到其屈服强度时，由于模型梁已基本达到其抗扭极限承载力，因此尽管波形钢腹板上的剪应变迅速增加，施加在试件上的外扭矩仍基本保持不变.

4.3 混凝土翼缘板剪应变

图7（c）给出了混凝土翼缘板剪应变（绝对值）的理论和试验结果对比情况.图中结果表明：当模型梁处于弹性阶段时，混凝土翼缘板上的剪应变随着外扭矩的增加而近乎线性增加，但增长幅度很小；在该阶段内，理论结果与试验结果高度吻合；在混凝土开裂后，混凝土顶、底板上的剪应变迅速增加，尽管此时试验曲线较为分散，但由ISMMT给出混凝土翼缘板平均剪应变仍处于各分散试验曲线的区间内，且二者遵循着同样的变化趋势.造成精度下降的主要原因在于混凝土裂缝出现位置及开裂角度的不确定性.

图7 ISMMT预测结果与试验结果对比Fig.7 Comparison of the results obtained from the ISMMT and experiment

表3 ISMMT预测结果与试验结果对比（屈服状态）Tab.3 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (yield state)

表4 ISMMT预测结果与试验结果对比（极限状态）Tab.4 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (limit state)

4.4 预应力钢束应变

将由ISMMT和试验给出的预应力钢束应变结果列于图7（d）.图中结果表明：理论与试验曲线吻合较好且遵循着同样的发展规律，在混凝土开裂前，预应力钢束的应变基本保持不变；当所施加的外扭矩达到开裂扭矩后，混凝土顶底板上斜裂缝的数量和宽度随着外扭矩的增加而不断扩张，从而导致预应力钢束应变迅速增加.

4.5 纵筋及箍筋应变

图7（e）、（f）分别给出了纵筋和箍筋应变的理论和试验结果对比.从图中可以看出：由于试验误差等原因，纵、箍筋各测点的应变试验结果较为离散，但总体保持着一致的发展趋势，且理论与试验结果也较为吻合；预应力的存在会使得模型梁沿桥轴向产生初始应变.因此，在正式施加纯扭荷载前，纵筋处于受压状态（如图7（e））；图7（d） 中预应力钢束应变的变化趋势和幅值与图7（e）中纵筋应变一致，该试验现象与理论模型中的假设吻合，从而进一步证明了理论模型的准确性.

4.6 求解效率

当采用ISMMT预测试件的纯扭全过程受力行为时，在波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时分别采用简化求解程序和通用求解程序进行计算，并对二者的求解耗时进行对比.其中，两种求解程序的收敛误差均控制在0.1%以内.结果表明，对于某指定的 ε2，采用通用求解程序求得 γ21、 ε1和γw真实值所需的总迭代次数最少为4.9 × 105次，最多达7.9 × 106次（需要说明的是，该迭代次数与 γ21、ε1和 γw所假定的迭代步长有关）.而采用简化求解程序进行计算时，对于某指定的 ε¯1，求得所有未知变量的最少迭代次数为5次，最多也仅为193次.由此可见，采用本文提出的简化求解程序可以极大地提高求解效率.

5 结 论

在软化薄膜元理论的基础上提出了改进软化薄膜元模型（ISMMT）来预测PCCBGCSWs在纯扭作用下的全过程受力行为.针对ISMMT以及已有同类型理论模型中求解程序所存在的迭代循环多、求解效率低等问题，提出了当波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时的简化求解程序框图.此外，还完成了纯扭模型试验对ISMMT的适用性与准确性进行验证.主要结论如下：

1） 本文所提出的简化求解程序框图仅有一层迭代循环，其求解效率要远高于国内外已有同类型分析模型.

2） 由模型试验得到的试件扭矩-扭率曲线、波形钢腹板和混凝土翼缘板剪应变、预应力及普通钢筋应变与ISMMT预测的理论结果吻合良好，表明ISMMT除了能准确预测PCCBGCSWs的全过程扭矩-扭率曲线外，还能模拟混凝土翼缘板、波形钢腹板、预应力和普通钢筋等构件的整个应变发展历程.该理论模型为更全面地了解PCCBGCSWs的纯扭力学性能提供了有效途径.