文/ 东莞市南城中学 罗爱华
许多中考几何题一眼看去图形复杂,但仔细分析便会发现,里面其实是隐藏着“一线三等角”“一点四线两等角”等常见的几何模型。本文精选了一道中考试题,引导学生从图形特征入手,按照“缺什么作什么”的辅助线原则,巧妙构建出上述两种几何模型,最终实现了一图两模型、一题五解法。
几经周折,笔者终于找到了符合上述要求的题目,即武汉市2014年中考试卷的第16 题。
如图1,在四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD 的长为 .
图1
此题分值虽不高,但难度颇大,如果对几何模型缺乏深入的研究,是很难找到头绪的。
1.模型特征
“一线三等角”是指图中三个相等的角的顶点恰好在同一条直线上。
2.解法展示
首先要弄清下面的三个问题:
(1)为什么会想到用“一线三等角”?
因为题目给出了∠ACB=∠ADC=45°,它们的顶点C、D 恰好在直线DC 上。
(2)如何构造“一线三等角”?
本着“缺什么作什么”的辅助线原则,要构造“一线三等角”,必须在直线DC 上再找一个点,使其成为45°的角的顶点。直接的作法是:延长DC 到点E,使∠CEB=45°,但由于点E 尚未确定,无法作出∠CEB=45°。那就采用间接的办法,作∠CBE=∠ACD 交DC 的延长线于E,这就相当于∠CEB=45°,如图2。
图2
(3)构造“一线三等角”有什么用?
证明两个三角形相似,如果这两个三角形有一组对应边相等,则这两个三角形全等。
说到“一线三等角”,绝对不能忽略∠CAB 这个直角,因为“一线三等角”是经常跟直角打交道的,经过顶点A 的直线除了构成直角的AC 和AB 外,只剩下DA 了,也就是说,要想构造“一线三等角”,另外两个直角的顶点必须在直线DA上,辅助线作法:作CF⊥DA 于F,BE⊥DA 交DA 的延长线于E,如图3。
图3
1.模型特征
“一点四线两等角”具有以下的特征:由某一点发出四条线段,这四条线段恰好是分别相等的两组线段,而且这四条线段所构成的诸多夹角中有两个角相等(不属于对顶角)。
2.解法展示
说句实话,笔者也不是刚开始就想到用“一点四线两等角”进行求解的,后来发挥了已知条件∠ABC=∠ACB=45°的作用,得到AC=AB 之后才恍然大悟。
(1)为什么选点A 作为“一点四线两等角”的一点?
图1上的A、B、C、D 四个点均发出了三条线段,之所以选点A,是因为只有以点A 为端点的线段出现了相等的情形(AC=AB)。
(2)为什么针对AD 来添加辅助线?
图1中以点A 为顶点的三个角中,∠CAB=90°最为特别,而AD并没有参与。
(3)怎样作辅助线?
对照“一点四线两等角”的特征,缺什么就作什么。少了一个90°的角,那就作∠DAE=90°;少了一组相等的边,那就再要求AE=AD,然后连接DE,如图4。
图4
【解法4】整个解答过程与解法3 大同小异,只有两处不同:①辅助线AE 的作法一样,但位置不同,如图5;②用“SAS”证明两个三角形全等时,证明夹角相等所用的方法不同,解法3 用的是90°与公共角∠CAE 的差,而解法4 用的则是90°与公共角∠DAC 的和。
图5
【解法5】作AE⊥DC 于E 之后,再作∠EAF=∠CAB=90°,且AF=AE,延长DC 交直线BF 于G,如图6。
图6
当然,此题还有其它的解法,比如根据∠CAB=90°构造ΔCAB 的外接圆,但鉴于本文只探究与上述两种几何模型相关的解法,故其它的解法不作展示。