不同加劲梁重量下的悬索非线性振动特性

赵碧航， 杨汝东， 孙测世

(重庆交通大学土木工程学院， 重庆 400074)

悬索结构是一类典型的非线性结构，具有复杂的动力学特性[1-3]。对索结构的研究最早可追溯至Irvine建立相关理论[4]。其后，Rega等[5]研究了悬索非线性自由振动的正对称模态和反对称模态，并对在一定垂跨比范围内幅频响应进行数值模拟。Perkins[6]引入哈密顿原理并运用多尺度方法求解分析了悬索的面内和面外振动响应特性。Zhao等[7]研究了弹性索在简谐激励下的非线性行为，用数值方法分析了悬索面内与面外振动的耦合特性。Nayfeh等[8]研究了悬索在外激励作用下的三维非线性响应，具体分析了面内外一阶模态的内共振问题。赵跃宇等[9]为了探讨直接法和离散法在结构非线性动力学上的差异性，分析出离散法在非对称结构中可能出现的缺陷。杨汝东等[10]在小垂度条件下，研究了不同索力下内共振对拉索面内响应与激励的瞬时相位差的影响。Irvine等[11]只考虑在垂跨比约为1∶8以下的悬索自由振动。Srinil等[12]研究不限于较小垂跨比，并考虑轴向变形，研究了斜垂垂索大振幅三维自由振动的非线性特性。陈皓等[13]考虑悬索垂度和几何非线性，研究垂跨比改变对悬索1/3次谐波共振瞬时相频特性的影响。

以上对索结构非线性振动的大量研究成果可为悬索桥的设计提供理论参考依据。但是，悬索的非线性动力学特性与其初始构型密切相关。而初始构型又决定于加劲梁的重量。目前国内外悬索桥加劲梁类型主要有钢箱梁和钢桁梁两种[14]，据统计满足不同荷载等级、跨径要求的加劲梁重量差异较大，其中最小为6.15 t/m (美国麦基纳克桥，钢桁桥)，最大可达到29.24 t/m(日本彩虹大桥，钢桁梁)。从施工过程来看[15]，悬索桥经历了空缆状态、架设加劲梁、施加二期荷载等关键阶段。这些阶段的加劲梁重量差异显著。可见，不同悬索桥及不同施工阶段由于加劲梁的重量差异可能导致截然不同的非线性动力学特性[16-17]。

但是，目前就不同加劲肋重量下的非线性动力学特性尚缺乏深入研究。现通过建立非线性动力学模型，对不同加劲梁重量下悬索的固有特性和面内1∶1内共振、面内非线性响应及其瞬时相频特性等非线性动力学特性开展深入的研究。

1 力学模型与多尺度分析

1.1 基本假定

如图1所示为两端固定且受面内分布外激励的悬索简化模型。两端点分别为O和B，跨度为l，跨中垂度为d。以O为坐标原点，OB连线的方向为x方向，重力加速度g的方向为y方向，垂直于xy面向外的方向为z方向，建立O-xyz坐标轴。x、y、z方向对应位移分别用u、w、v表示。并假设：①悬索的扭转及剪切刚度足够地小以至于可以忽略不计；②悬索只承受拉力；③悬索在振动过程中的轴向应变足够小；④只考虑几何非线性，而不考虑其他非线性。

图1 悬索构形Fig.1 Configuration of suspended cables

1.2 振动方程建立

基于Hamilton变分原理可以得到悬索的非线性运动方程，设拉索以拟静态方式进行轴向振动，并结合边界条件，略去高阶无穷小量，可得悬索无量纲控制方程[18]为

(1)

式(1)中：y′、w′、v′、y″、w″、v″均表示对x求导；w″、v″、w′、v′均表示对t求导；F为激励幅值；Ω为外激励频率；θ为相位；x和t分别为空间、时间坐标。

式(1)中采用的无量纲变换如下。

式中:m为悬索单位长度质量；cu、cw和cv分别为u、w和v方向的阻尼系数；H为悬索索力水平分力；E为悬索弹性模量；A为悬索截面面积；y为拉索在两端支座等高。

在式(1)基础上，进一步考虑将加劲梁重量简化为均布荷载下的静态构型，即

(2)

式(2)中：g0为悬索沿x轴无量纲单位长度质量；g1为加劲梁沿梁长的无量纲自重荷载集度；H1为悬索在均布荷载和自重共同作用下任意点的张力的水平分量。

1.3 离散化模型

在分布外激励作用下，悬索振动位移被认为是由纯模态振动产生，利用分离变量法，令

(3)

式(3)中：Φwi、Φυi分别为悬索面内、外振动模态；qwi、qυi分别为悬索面内、外振动的广义时间坐标。

一般情况下，悬索高阶频率出现较少。为方便分析只截取面内外1阶，并仅计入面内激励。利用Galerkin方法离散化可得在分布面内外激励下悬索的无量纲控制方程[19]为

(4)

式(4)中：

1.4 摄动分析

引入无量纲小参数ε，设qw=εqw，qυ=εqυ，A1=ε3A1，A2=ε3A2。并取阻尼系数项和面内激励项为O(ε2)阶，采用多尺度法设解的形式为

(5)

同样将式(4)代入式(3)中，并按照ε的幂次进行整理，可以得到下列方程。

ε0：

(6)

ε1：

(7)

ε2：

(8)

在分析响应时，引入无量纲调谐参数σ1和ρ1，设Ω=ωw+ε2σ1，ωv=ωw+ε2ρ1，消去长期项，再设A1=(a1eiβ1)/2，A2=(a2eiβ2)/2，其中，a1、β1、a2、β2均为时间T2的函数，得到常微分方程组，然后该方程组分离实部与虚部可得

(9)

式(9)中：γ3=-β1+σ1T2+ϑ;γ4=β2+ρ1T2-σ1T2-ϑ;Δ=γ4+γ3;

(10)

将极坐标系转化到直角坐标系后，对应的悬索面内外振动近似解为

(11)

2 不同加劲梁重量下的固有特性

为研究不同加劲梁重量下悬索的固有特性，将式(1)退化，仅保留其线性项，可得面内线性自由振动方程[20]为

(12)

考虑加劲梁重量状态下的面内正对称频率，设w(x，t)=φ(x)eiωw1t，代入式(12)可得

(13)

根据边界条件可求得正对称频率方程为

(14)

反对称频率为

ωw1=nπ，n=2，4，6，…

(15)

由于面内的反对频率与悬索的加筋梁重量变化无关，但面内正对称频率会与其有关。为此后续只考虑悬索在不同加劲梁重量状态下对Irvine参数与正对称频率关系的影响变化。

如图2所示为不同加劲梁重量下悬索无量纲频率与Irvine参数的关系。可以看出，面内正对称频率的变化与加劲梁重量变化呈反比关系，且两者反比关系与Irvine参数呈强相关，在Irvine参数值较小时，面内正对称频率随着加劲梁重量增大而减小且减少数值较大；在Irvine参数值较大时，面内正对称频率随着加劲梁重量增大而减小且减少数值较小，后期都将趋于稳定值；但加劲梁重量的变化对频率和Irvine参数关系影响趋势一致。

由图2可知，随着加劲梁重量的增大，各阶面内正对称频率与各阶反对称频率的交叉点的位置会往右移动，尤其对高阶频率的影响较大。面内正对称频率与反对称频率交叉点附近被认为是内共振产生的区域，由此可以推断悬索的内共振将受悬索的加劲梁重量的影响。

图2 不同加劲梁重量下的固有频率Fig.2 Natural frequencies under different stiffening girder weight

进一步，响应幅值及相位也可能有较显著的改变，因此，着重以案例分析的方式研究不同加劲肋重量下的内共振、面内响应及其瞬时相频特性。

3 案例分析

选取悬索桥的基本参数如下:单位长度质量m=4 052.4 kg/m，跨径l=1 490 m，悬索截面积A=0.515 5 m2，弹性模量E=2.0×1011Pa，空缆状态下水平索力H=8.353 435×107N，空缆状态下垂度为d=135.362 m，考虑加劲梁重量状态下水平索力H1=2.737 433×108N，取面内外阻尼系数c=0.001，面内分布外激励的幅值F=0.001。

为了分析悬索面内主共振引起面外1∶1内共振特性，并比较不同加劲梁重量对悬索主共振响应的影响。采用MATLAB编制计算程序，同时为验证上述近似解的正确性，利用Runge-Kutta法对运动微分方程直接进行数值积分求解。

3.1 对内共振幅频响应曲线的影响

为研究悬索在分布面内外激励下产生面内主共振引起面外1∶1的内共振，引入小摄动量的无量纲调频参数σ1和ρ1。通过调节σ1可对悬索所受面内分布外激励的频率Ω进行调频处理，绘制了空缆状态下悬索因面内分布外激励产生面内主共振引起面外1∶1内共振的幅频响应曲线，如图3所示为悬索在面内分布外激励下，面内主共振引起面外1∶1内共振幅频响应曲线受加劲梁重量变化的影响，为研究简便，响应仅考虑了面内外的一阶对称模态幅值。

由图3可知，随着加劲梁重量的增加系统会明显表现出从硬弹簧特性转变为软弹簧特性。当悬索呈现硬弹簧特性时，面内1阶振动响应幅值随着加劲梁重量的增大而增大，同时面内1阶振动响应的跳跃点的位置向面内分布外激励频率减小的方向移动；当悬索呈现软弹簧特性时，面内1阶振动响应幅值随着加劲梁重量的增大而减小，同时面内1阶振动响应的跳跃点的位置仍然向面内分布外激励频率减小的方向移动；从图3还可知，无论系统处于硬弹簧特性还是软弹簧特性，加劲梁重量的变化对面外1阶振动响应影响较小。

综上，处于硬弹簧特性时面内1阶振动幅值与加劲梁重量的大小呈正相关，当系统处于软弹簧特性时面内1阶振动幅值与加劲梁重量的大小呈负相关，而面内1阶振动的跳跃点的位置与加劲梁重量的大小呈负相关。

图3 不同加劲梁重量下悬索的幅频曲线Fig.3 Amplitude-frequency curves of suspended cable under different stiffening girder weight

3.2 对面内响应时程曲线的影响

由式(10)、式(11)可知，悬索面内外响应的幅值和面内分布外激励频率有关，同时面内外响应幅值也与激励频率有关，为此研究同一激励频率下加劲梁重量变化对悬索响应幅值的影响。主要采用多尺度法进行摄动求解，为分析因加劲肋重量改变幅频曲线跳跃点对后续悬索响应幅值的影响，通过调谐参数σ在-1.45～-1.35范围内循环，选定幅频曲线图中产生跳跃点时所需激励频率来进行分析，因此分别取激励频率Ω为2.55和2.89对比其结果精确性，在后续的响应时程曲线分析中其激励频率同上述取值。

图4所示为四阶龙格库塔法求解的面内响应时程曲线与多尺度法求解的面内响应时程曲线在不同加劲梁重量下的对比图，由于作为验证对比，工况一只取加劲肋重量g1为0 t/m，Ω为2.89；工况二取g1为25 t/m，Ω为2.55。对比可知，两种方式求解下的面内响应时程曲线在周期性和振动幅值上吻合良好。

如图5所示为悬索在不同加劲梁重量下的面内响应曲线。其中图5(a)表明，当激励频率在Ω=2.55时，面内响应时程曲线的线形无较大变化，悬索的加劲梁重量发生改变对面内响应时程曲线振动幅值有较大的影响，当加劲梁重量g1为30 t/m时面内振动幅值最大为0.006 9；而当不考虑加劲梁重量时，面内振动幅值为0.000 5，加劲梁重量g1为10 t/m时面内振动幅值为0.000 8，加劲梁重量g1为25 t/m时面内振动幅值为0.001 8。

再结合图3(a)和图3(b)可知，当加劲梁重量g1在0～10 t/m范围内变化时，悬索幅频曲线系统呈硬弹簧特性，且硬弹簧特性随着加劲梁重量的增大而减弱，从而导致面内振动幅值增大，最后结合图3(c)和图3(d)得出，当加劲梁重量g1在25～30 t/m范围内变化时，悬索幅频曲线系统呈现软弹簧特性，且软弹簧特性随着加劲梁重量的增大而增大，这样原本会导致面内振动幅值随着加劲梁重量的增大而减小，但从图5(a)可以看出，加劲梁重量g1为25 t/m时，面内振动幅值要比加劲梁重量g1为30 t/m时小，再一次结合图3(c)和图3(d)可知，当加劲梁重量g1为25 t/m时，在激励频率Ω=2.55下，面内响应发生了向下跳跃现象，从响应幅值较大处跳跃到了响应幅值较小处，但未越过向上的跳跃点，而加劲梁重量g1为30 t/m时，在激励频率Ω=2.55下不但越过了向下的跳跃点，还越过了向上的跳跃点从而导致面内振动幅值处于较大处。

图4 龙格库塔法和多尺度法对比图Fig.4 Comparison between Runge-Kutta method and the method of multiple scales

图5 悬索面内响应时程曲线随加劲梁重量变化图Fig.5 Time-history curves of in-plane response of suspended cable versus weight of stiffening girder

从图5(a)中还可以发现，面内响应时程曲线也发生了漂移，其漂移程度受加劲梁重量的影响较大。由图5(b)可知，在激励频率Ω=2.89时，当悬索系统处于硬弹簧性质时，面内响应时程的幅值随加劲梁重量的增大而增大，而悬索系统处于软弹簧性质时，面内响应时程的幅值随加劲梁重量的增大而减小，结合图3可知，在此激励下悬索的面内响应都未越过跳跃点，同时发现此激励下面内响应时程曲线的上下漂移值受不同加劲梁重量的影响较大。由图5(a)和图5(b)两图相比之下，面内响应时程曲线受面内响应跳跃点的位置影响较大，而由幅频曲线图可知跳跃点的位置受悬索的加劲梁重量影响较大。

综上，面内响应时程曲线受加劲梁重量的影响较大，不仅影响响应时程曲线的振动幅值的大小，还会影响到面内响应时程曲线的漂移程度。为了进一步研究加劲梁重量变化对悬索非线性振动特性的影响，考虑取不同的激励频率会产生跳跃点，从而对悬索加劲梁重量变化影响较大，为此需要研究其对响应与激励的瞬时相位差的影响。

3.3 对瞬时相频特性的影响

考虑不同加劲梁重量下初始构型的面内响应时程曲线进行Hilbert变换得到其瞬时相位，再把不同构型下产生的响应瞬时相位分别与相应的激励瞬时相位做差，得到响应与激励的瞬时相位差值ΔP。考虑差值在[-π， π]变化，为便于分析和比较，并体现其一般性，故定义相位差的归一化参数为

(16)

如图6所示为当激励频率Ω=2.55时P的时程曲线及响应复平面投影曲线图，其中图6(a)描述的是当激励频率Ω=2.55时，悬索不同加劲梁重量对面内响应与激励的瞬时相位差的影响。结合图5可知，当激励频率Ω=2.55，此时面内响应幅值较大，因此在激励频率Ω=2.55时只考虑了加劲梁重量g1为25 t/m和30 t/m时对面内响应与激励的瞬时相位差P。

从图6(a)可知，通过改变加载加劲梁重量大小从而改变悬索的初始构型对P影响较大，不仅仅影响了P时程曲线的线形，还影响了P幅值的大小。当g1=25 t/m时，悬索面内响应与激励的瞬时相位差的时程曲线线形发生了较大变化，同时发现其P基本上是在-1～1附近波动，且P出现了跳跃性。结合图3(c)和图3(d)可知，当g1=25 t/m时面内响应还没有越过上的跳跃点，但已越过向下的跳跃点，而一阶解中响应与激励的初始相位差γ3其跳跃性与幅频曲线跳跃性相反，在此激励下γ3已经越过向上跳跃点但未越过向下跳跃点，故此时γ3的数值将会大于π/2处于一个很大的数值处，从而影响P在-1～1附近波动，同时P会出现跳跃性。

P0为响应与激励的初始瞬时相位差图6 P的时程曲线及响应复平面投影曲线图 (Ω=2.55)Fig.6 Time history curves of P and complex plane projection curve of response (Ω=2.55)

从图6(b)和图6(c)还展示出了在此激励频率下不同加劲梁重量影响了面内响应复平面投影曲线轨迹值的大小，其主要原因结合图3可知，在此激励频率下当g1=25 t/m时悬索的面内响应已越过向下的跳跃点但未越过向上的跳跃点，故响应幅值较小使得投影曲线的轨迹值较小，而当g1=30 t/m时悬索的面内响应不仅越过了向下跳跃点还越过了向上跳跃点，故响应幅值较大使得投影曲线的轨迹值较大；从图6(b)和图6(c)中可以看到不同加劲梁重量下悬索面内响应与激励初始相位差相差较大，导致产生的原因主要是一阶解中响应与激励的初始相位差γ3的数值大小不同，数值不同的原因是γ3随激励频率变化的跳跃性与响应随激励变化的跳跃性相反，当响应幅值向下跳跃时，其γ3会发生向上的跳跃，反之，当响应幅值向上跳跃时，其γ3会发生向下的跳跃，故在激励频率Ω=2.55下当g1=25 t/m时响应未越过向上的跳跃点，此时γ3也未越过向下跳跃点，使其数值大于π/2，且接近π，从而导致初始瞬时相位差较大。

如图7所示为当激励频率Ω=2.89时P的时程曲线及响应复平面投影曲线图。其中图7(a)描述的是当激励频率Ω=2.89时悬索在不同加劲梁重量下对面内响应与激励的瞬时相位差的影响。从图3可知，当加劲梁重量g1为25 t/m和30 t/m时，结合图5可知当激励频率Ω=2.89，此时面内响应幅值较小；而加劲梁重量g1为0 t/m和10 t/m时，结合图5可知，当激励频率Ω=2.89，此时面内响应幅值较大，因此在激励频率Ω=2.89时只考虑了加劲梁重量g1为0 t/m和10 t/m时对面内响应与激励的瞬时相位差P。对图7(a)定性分析可知，当激励频率Ω=2.89，且加劲梁重量g1在0～10 t/m范围内变化时，P的时程曲线的形状发生轻微的变化向右偏转，同时也会发生整体向下移动现象；从定量方面可知，P的时程曲线的向下漂移程度随着加劲梁重量g1的增大而减小，从而使得g1=0 t/m时的瞬时相位差P的绝对值要大于g1=10 t/m时P的绝对值。

图7 P的时程曲线及响应复平面投影曲线图(Ω=2.89)Fig.7 Time history curves of P and complex plane projection curve of response (Ω=2.89)

同样截取三维曲线中一个振动周期在复平面上的投影曲线对其进一步分析，且复平面投影曲线中曲线上任一点到原点的连线与横坐标正方向的夹角为该点的瞬时相位，如图7(b)和图7(c)中可知，当激励频率为Ω=2.89时，悬索的面内响应复平面投影曲线轨迹值受加劲梁重量变化的影响较大，其复平面投影曲线轨迹值随g1增大而增大，同时侧面验证了当g1在0～10 t/m范围内面内响应幅值随g1增大而增大；同时还表明不同加劲梁重量对悬索面内响应复平面投影曲线图的漂移值的大小有很大的差异，在此激励频率下g1=0 t/m时复平面投影曲线的漂移值更大，结合式(10)可知其漂移程度与系数C1响应幅值a1以及固有频率有关，而三者的数值大小都与悬索的初始构型有关，而通过改变加劲梁重量会改变悬索初始构型。因此，可通过改变悬索加劲梁重量改变三者数值大小影响，从而影响投影曲线的漂移程度。

4 结论

(1)悬索面内正对称频率与加劲梁重量呈反比关系，主要取决于Irvine参数；随着加劲梁重量的增大，各阶面内正对称频率与各阶反对称频率的交叉点的位置会往Irvine参数值变大的方向变化，高阶频率更为显著。

(2)悬索桥加劲肋重量不断增加将使悬索的非线性特性由硬弹簧变为软弹簧。当悬索处于硬弹簧特性时，面内1阶振动幅值与加劲梁重量的大小呈正相关；当系统处于软弹簧特性时，面内1阶振动幅值与加劲梁重量的大小呈负相关。

(3)当激励频率Ω=2.55时，悬索桥的加劲肋重量会影响面内响应复平面投影曲线轨迹值的大小，其投影曲线轨迹值与因加劲梁重量变化的响应幅值的呈正比。此外，瞬时相位差时程曲线向下漂移程度随着加劲梁重量的增大而减小。当Ω=2.89时其投影曲线轨迹值随加劲梁重量的增大而增大。