多功能电容器教学实验板的设计与实现

项浩原，张兰兰，陈泓宇，张轶炳

(1.宁夏大学 物理与电子电气工程学院，宁夏 银川 750021;2.新乡市第十二中学,河南 新乡 453002)

“观察电容器的充放电”是高中物理课程标准中的必做实验之一[1]. 在以往研究中，可以利用灯泡、传感器或钟表来实现电容器充放电的可视化，从而大致测量出充放电时间和电荷量[2-4]. 在电压不变的情况下，通过时间估算电荷量具有可行性，但在电压改变时，电路中的电流也会发生改变，即使充放电时间相同，电荷量(电流对时间的积分)也不相同. 因此，本文通过对传感器的开发，能够通过对电流积分定量求出电容器充放电时的电荷量，从而总结出电容的相关规律. 另外，还设计了多功能电容器实验板，可以便捷进行多个有关电容器的实验，减少教师在课上的操作时间. 学生能直观地观察到电路的连接方式，通过传感器观察充放电过程中电流与电压的变化，定量测量充放电过程中电荷量的大小，总结出电容和电压、电荷量之间的关系.

1 电容器概述

1.1 电容器简介

电容也称为“电容量”，是指在给定电位差下自由电荷的储存量，是表现电容器容纳电荷本领的物理量. 同为储能元件，电容器和生活中所使用的电池存在较大差异：

1)在本质上，电池的充放电是化学反应，内部储存的是化学能，而电容器充放电是物理反应，内部储存的是电能；

2)在功能上，电池一般只用作电路中的电源，而电容器可用于调谐、滤波、耦合、旁路、能量转换和延时等[5].

在实验过程中，由于采用平行板电容器较难得到明显的实验现象与数据，一般使用铝电解电容器，其特点是容量较大. 电容器的性能指标通常会标注在电容器上，需要中学生了解的2个指标为：

1)标准容量，即电容器储存电荷的能力.

2)额定工作电压，即电容要长期可靠地工作所能承受的最大直流电压.

1.2 电容器的充放电时间

电容器实验的难点在于实验现象的观察与数据的获取. 在一般演示电容器充放电的实验中，会在电路中串联电阻以延长充放电时间.而电阻的阻值直接决定了充放电的时间，因此在实验前要先估计好时间，再进行充放电实验.

设电容器极板在t时刻的电荷量为q，则电容器(C)两端电压为q/C，电源电压为E，电阻R上的电压为IR，I为通过电阻的电流，根据回路电压方程可得：

(1)

如果在时间dt内，流过电路的电荷量为dq，那么电路中电流为

(2)

代入式(1)，整理得到

(3)

根据初始条件：t=0时，q=0，式(3)积分后可得

(4)

当t→∞时，q→CE.设q0=CE，代入式(4)，得到

(5)

当q/q0=0.993时，意味着电容器内的电荷量达到了最大电荷量的99.3%，可以认为电容的充电过程已经完成[6]，解得

t=5RC.

(6)

因此，根据式(6)可以通过估算出电容器充放电时间，然后选择合适的电阻进行相关实验.

1.3 电容器中电荷量的计算

在与电容器相关的实验中，另一难点是电荷量的计算.电流是由大量电荷做定向运动形成的，根据式(2)可得电容器内电荷量为

(7)

要实现电荷量的定量计算，就必须使用采集频率较大的传感器进行辅助实验.通过I-t变化曲线，在充放电过程中对电流求积分，即可得到电荷量.

2 多功能电容器实验的设计思路

2.1 电路设计

实验板的设计电路图如图1所示.为了方便教师在实验阶段的操作，实验板采用拔插式元件进行电路组装.其中,1～3号位是可更换元件的电路位置，通过元件的更换实现多个实验演示.电路中数据采集系统采用电流传感器与电压传感器.传感器采集频率较高，有记录数据的功能，可以实时拟合出电流电压在充放电过程中的关系曲线.通过曲线不仅可以直观看到电流与电压的变化情况，得到充放电时间，还可以对电流进行积分，求出充放电过程电容器的电荷量.

图1 电容器实验板的设计电路图

2.2 实验板的功能

本实验板可以进行4个实验：观察电容器的充放电，探究电阻对电容器充放电的影响，探究电容器两极板间的电势差与所带电荷量的关系，探究不同电容器下电荷量与电势差的关系. 具体操作如下：

1)在观察电容器充放电的实验中，电流方向可以通过观察传感器测量的电流方向进行判断，也可以通过观察2个二极管的发光情况进行判断. 做完该实验后，再进行其他实验前，需要把2号位的二极管换成导线，避免二极管对测量造成影响.

2)在1号位处通过更换不同阻值的电阻，探究电阻对电容器充放电的影响.

3)在3号位处通过更换不同规格的电容器，探究同一电压下电荷量与电容之间的关系.

4)改变电源电压，探究同一电容器两端电势差与电荷量的关系.

制作的实验板实物如图2所示. 在实际教学中，可直接将传感器与电脑连接，在投影仪上进行实验演示，也可以让学生自主进行实验探究.

图2 多功能电容器实验板实物

3 实 验

3.1 探究电容器的充放电

3.1.1 观察电容器的充放电

在观察电容器的充放电实验中，电路中电阻的选取要尽量合适. 若要在课上演示电容器充放电的过程，选取充放电时间8～20 s为宜. 以3 300 μF的电容为例，充电时间4～10 s，根据式(6)，计算可得R=242～606 Ω，因此演示实验时可以选用该范围内的电阻.

选用510 Ω电阻，在6 V电压下对电容器充放电，实验图像如图3所示. 红色曲线Ⅰ为电流变化曲线，蓝色曲线Ⅱ为电压变化曲线，图中的Y最大值表示电流最大值Imax(mA). 从图3中可以观察到：充电过程中，电压逐渐增大，而后趋于稳定，保持不变，电流由11.470 mA逐渐减小至0；放电过程中，电压由最大值逐渐减小至0，电流仍由11.470 mA减小至0，但方向与充电时的电流方向相反.

图3 充放电时电流与电压的变化

另外，在传感器软件中还可以选取充电的起始时刻和结束时刻，计算出充电时间，如图4所示. 本次实验充电时间t=8.24 s，根据式(6)，计算出理论充电时间t=8.40 s，相对偏差Er=1.90%，结果较为相近.

图4 实际充电时间的选取

3.1.2 电路中电阻对于电容器充放电的影响

根据式(6)可知,充放电时间与串联在电路中的电阻有关:阻值越大，充放电时间越长；阻值越小，充放电时间越短. 在电容器充放电的电路中，串联电阻的作用是减缓电容器充放电的速度，从而方便测量出电压与电流值. 下面通过实验来探究电阻对电容器充放电的影响.

根据1.2的分析，可通过式(6)计算出放电时间t的理论值，将t代入式(4)，即可计算出理论电荷量q；通过实验图像，截取放电过程中的起始时刻，可得放电时间的实际值，对放电过程的电流值进行积分，可以得到实际的电荷量. 通过对比实际数据与理论数据，验证实验数据的准确性，并总结出电阻对电容器充放电的影响.

记录6 V电压下，不同电阻的电路中电容器(C=3 300 μF)的放电时间，得到实验数据如表1所示. 根据表1可知，电路中的阻值R越大，Imax越小，但电荷量几乎不变. 另外，放电时间t不同，通过积分得到的电荷量q也几乎不变,且与理论电荷量相差不大，即放电时间的长短或者电路中电流的大小均不会对电容器电容量的大小产生影响.

表1 不同电阻对电容器放电时间的影响

3.2 探究电容、电压及电荷量之间的关系

3.2.1 探究电容器两极板间电势差与所带电荷量的关系

相较于传统用电压表和电流表进行实验，电流传感器最大的优点是可以根据固定的频率记录充放电过程中的电流值，积分后即可定量计算出电荷量. 用4 V的电压，串联510 Ω的定值电阻，以给3 300 μF的电容器充放电为例，得到的图像如图5所示. 选取放电开始和结束的时刻，对电流I(mA)进行积分，得到右上方的数值为13.033 3，进行单位转换后，得到实际电荷量为1.30×10-2C.

图5 放电过程中电荷量的计算

利用相同方法，在不同电势差下测量电容器(3 300 μF)充满电后放电时的电荷量，再通过式(4)～(5)计算出理论值，得到的实验数据如表2所示.

表2 同一电容器电势差与电荷量的关系

实验中实际的放电电荷量与理论计算的电荷量非常接近. 将实验数据录入Excel表格中进行曲线拟合，得到如图6所示的曲线. 从图像中可以看出电势差E与电荷量q呈线性关系. 曲线的斜率为0.003 3，根据q=CE可知，斜率为电容器的电容，即C=0.003 3 F=3 300 μF，与实验中所使用的电容数值一致.

图6 3 300 μF电容器电荷量与两端电势差的关系

通过该实验可以看出，利用传感器进行实验，可以精确计算出电容器所带的电荷量，在此基础上，拟合曲线符合C=q/E.这样，不仅可以加深学生对比值定义法得到电容定义式的理解，学生还可以与教师一同探究电容实验，培养学生的科学素养.

3.2.2 不同电容器下电荷量与电势差的关系

测量电荷量数值的方式与3.2.1一致，通过测量电路中电势差与电荷量的关系(电容器规格分别为1 000,2 200,3 300 μF)，得到如表3所示的数据.

表3 不同电势差下不同电容器所带的电荷量

将以上数据导入Excel表格，拟合曲线如图7所示. 从图中可以得出以下结论:

1)电容器两端的电势差相等时，电容越大的电容器所带的电荷量越多.

2)电容器两端的电势差与电荷量呈线性关系，其斜率为该电容器的电容值，电容值不会随电势差和电荷量的改变而改变，而是与它本身的性质有关. 通过该实验，学生可以定性且定量地得出电容、电荷量与电势差之间的关系.

图7 不同电容器的电势差与电荷量的关系

根据以上分析可知，传感器实验相对于传统实验，其最大的优点是可以通过对电流积分得到充放电过程中的电荷量，从而进行数据处理和曲线拟合.

4 结束语

通过设计的电路板和对传感器的开发，自制的多功能电容器实验板操作便捷，可以演示多个电容相关的实验，提高了课堂教学效率.同时，利用传感器进行电流与电压的数据测量，不仅能够得到电流和电压的变化曲线，还可以定量计算出电容器充放电过程中的电荷量，实验数据拟合曲线与理论符合度较高，有利于加深学生对电容的理解，体会到比值定义法在物理学中的应用.不仅如此，通过实验学生还能切实地理解电容在电路中起到的作用，如隔直流、计时和储能等作用，体会科学、技术之间的关系.