阵元位置互质的线性阵列：互耦分析和角度估计

何 劲 唐 莽 舒 汀 郁文贤

(上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240)

1 引言

阵列信号处理在雷达、声呐、无线通信等领域有着广泛的应用。信号的角度估计(也称为方向估计、DOA估计)是阵列信号处理的核心问题之一。在过去的几十年里，发展了大量有效的角度估计方法，形成了相对较为完善的理论体系。有关角度估计的基本方法可参考文献[1–3]。长期以来，在设计角度估计算法时都考虑使用均匀线性阵列(Uniform Linear Array， ULA)。这是因为ULA具有便于算法设计的一些特性，如范德蒙结构、平移不变性等，同时也便于对算法进行理论和统计性能分析。根据奈奎斯特空间采样定理，为了保证无模糊的参数估计，ULA的相邻阵元间距不能超过半波长。这将限制整个阵列的有效孔径，从而限制阵列的空间分辨率和对参数估计的精度。此外，如果考虑天线间的电磁行为，相邻较近的阵元间会受到显著的互耦影响，这也将会造成阵列参数估计性能的下降。稀疏阵列的提出，为解决以上问题提供了有效的途径。典型的稀疏阵列结构包括嵌套阵列和互质阵列等。

嵌套阵列的概念在文献[4]中提出。嵌套阵列由两个或多个紧密相连的均匀线阵组成，其中每个均匀线阵都可以“嵌入”在和其串联的均匀线阵的两个相邻阵元中。经过近十年的发展，嵌套阵列已被广泛应用于实现对各类信号的角度估计，如窄带信号[4]、宽带信号[5]、分布式信号[6]、完全极化信号[7]、部分极化信号[8]、混合源信号[9]、非圆信号[10]等。同时，将嵌套阵列扩展到2维可实现对信号的2维角度估计[11–13]。互质阵列的概念在文献[14]中提出。互质阵列是由两个阵元个数和间距均满足互质条件的均匀线阵组成的结构化稀疏阵列。与嵌套阵列一样，互质阵列也被广泛应用于解决信号的角度估计问题。有关互质阵列的角度估计算法的发展，可参考文献[15]。

与均匀线阵相比，嵌套阵列和互质阵列由于其固有的稀疏特性增大了有效的阵列孔径，并在一定程度上降低了阵列的互耦效应。尽管如此，嵌套阵列和互质阵列本身还存在影响互耦效应降低的因素。比如：嵌套阵列的第1级ULA阵元间距要求为半波长，互质阵列的阵元间距与阵列规模成正比，当阵列规模较小时阵元间距也较小。这些因素也使得嵌套阵列和互质阵列在使用过程中依然受到互耦效应的影响。近年来，学者们针对降低嵌套阵列和互质阵列的互耦效应，提高阵列的实用性，开展了大量工作[16–20]，这些工作也说明了评估互耦对实际系统测向性能的影响是非常必要的。

为了进一步降低稀疏阵列的互耦效应，提高阵列对角度估计的性能，本文提出一种新的稀疏阵列结构：阵元位置互质的线性阵列(Coprime Linear Arrays， CLA)，并提出一种基于CLA的无模糊角度估计算法。首先，给出了CLA的定义，并证明了其导向矢量对不同信号方向是线性独立的。随后，利用高阶累积量，建立了阵列输出信号的3阶张量模型，并通过张量分解得到导向矢量的估计。最后，利用得到的导向矢量估计，推导了一种求解无模糊信号角度估计的方法。不同于嵌套阵列和互质阵列，CLA可将相邻阵元间的间距设计远大于半波长，从而显著降低阵列互耦效应。在计算机仿真实验中，通过阻抗匹配互耦模型比较了CLA和均匀线阵、嵌套阵列和互质阵列的互耦效应和角度估计性能，证明了CLA的有效性。

2 阵列模型与问题描述

首先，考虑如图1所示的线性阵列。不失一般性，假设阵列由L+1个阵元组成，沿y轴放置。阵元0放置在原点，作为相位参考，其余L个阵元的坐标分别为d1，d2，...，dL， 其中dℓ=mℓD，D=λ/2，λ表示系统波长。定义图1 所示的阵列满足当ℓ1∈[1，L]，ℓ2∈[1，L]，mℓ1和mℓ2互质时，表示阵元位置互质的线性阵列，即CLA。CLA与互质阵列具有明显区别，互质阵列可分解为两个均匀线阵，而CLA 的任意子阵(大于两个阵元)均不是均匀线阵。

图1 阵元位置互质的线性阵列示意图

3 互耦影响分析

事实上，在阵列信号处理文献中广泛使用的接收信号模型式(2)并不是用于表示实际数据测量值的合理模型，因为式(2)中未考虑电磁行为引起的天线/阵元之间的互耦效应。通常，从信号处理的角度处理阵列互耦问题的方法是，首先通过将耦合矩阵M乘以阵列流形矩阵A来建模耦合数据，然后通过估计矩阵M进行解耦合/去耦合。但由于由天线电磁行为较为复杂，实际耦合模型难以用数学方式建模，因此这种解决方案将导致假定的互耦模型与实际耦合模型不匹配，从而导致非随机系统参数估计误差。

互耦矩阵M的非对角元素反映了阵元间互耦的“量”。此外，根据天线和电路理论，M的非对角元素的大小与天线/阵元间的距离成反比。这意味着当阵元间距足够大时，M将成为单位矩阵。只有在这种情况下，系统模型式(2)才是合理的。利用这一见解，可以通过将CLA的阵元间距设计为远大于半波长，从而显著降低互耦的影响，以合理的方式忽略互耦对参数估计性能的影响，提高角度估计精度。

4 角度估计算法

在阵列信号处理中，实现无模糊角度估计的前提是不同角度对应的导向矢量彼此线性独立。因此，在推导角度估计算法之间，首先在定理1中证明对不同信号角度，CLA的导向矢量是线性独立的。

定理1 对图1定义的CLA，对应于不同方向的导向矢量彼此线性独立。

证明 参见附录1。

定理2表明，阵列输出的高阶累积量矩阵可以表示成阵列流形矩阵的3阶张量形式。因此，阵列流形矩阵A可以通过对张量模型式(6)或式(10)进行低秩分解得到。有许多有效的方法可以实现3阶张量模型低秩分解。本文将采用三线性交替二乘(Trilinear Alternating Least Square， TALS)算法[22]进行求解。TALS算法的核心思想概述如下：将待估计参数分为3组(根据式(10)，分别为AΓ，A和AH)，依次对其中一组参数进行最小二乘法求解直到代价函数或参数的变化小于预定义的收敛标准。由于TALS算法的每一步都是基于最小二乘的优化，因此可以确保TALS算法单调收敛。后续仿真中，将使用COMFAC (COMplex parallel FACtor analysis)算法[22]来实现TALS的快速收敛。根据式(10)，利用COMFAC算法得到的是AΓ，A和AH估计值。通过简单的运算即可得到导向矢量矩阵A的3组估计值。对这3组估计值取平均可进一步降低噪声的影响，提高参数估计精度。

5 讨论

通过前面几个小节的分析，提出的CLA可以在降低互耦效应的同时，实现无模糊的角度估计。与文献[16–20]中已有的低互耦效应稀疏线阵相比，CLA具有以下两个特点和优势：一是CLA完全稀疏，即阵列中不包含间距为半波长的阵元，理论上CLA的互耦效应比文献[16–20]中的稀疏阵列更低；二是相同阵元个数时，CLA可具有比文献[16–20]中的稀疏阵列更大的阵列孔径，理论上CLA的角度分辨率和角度估计精度比文献[16–20]中的稀疏阵列更高。上述两点将在计算机仿真分析中进行进一步比较和说明。

根据CLA的定义，对任意给定的阵元数目，CLA的结构并不唯一。从降低互耦和提高测角精度的角度考虑，在满足CLA的条件下，阵列孔径越大，其受到的互耦影响越小，相应的测角精度越高。上述两点将在计算机仿真分析中进行进一步比较和说明。从系统设计的角度考虑，实际阵列的孔径将受到部署阵列的系统负载限制。因此，在使用CLA进行测角时，需要在估计性能和总阵列孔径之间进行折中。

6 计算机仿真分析

本节将通过计算机仿真对CLA的互耦效应和角度估计精度进行分析。为说明CLA的优势，将其与均匀线阵(ULA)、嵌套阵列(NA)、互质阵列(CA)以及具有低互耦效应的超级嵌套阵列(SNA)[16]、扩展嵌套阵列(ANA)[17]、广义嵌套阵列(GNA)[18]和CAP-3互质阵列[20]进行比较。假设所有考虑的阵列均为偶极子天线阵列，阵元个数L为偶数。对嵌套阵列，两级的阵元个数均为L/2。对互质阵列，由于两个ULA具有共同参考阵元，其阵元个数分别为L/2和(L + 2)/2。对其余阵列结构，采用相应文献中的最优方法设置阵元位置。对CLA的设置，文中考虑以下两种情况：相邻两个阵元间距为大于10λ和15λ的最小质数，分别用CLA (1)和CLA (2)表示。为分析互耦效应，考虑偶极子天线应用中广泛使用的互耦模型将互耦矩阵M建模为[23]

图2 互耦泄漏因子随阵元个数的变化关系

根据CLA的理论分析知道其导向矢量是不模糊的，因此可以利用传统的估计算法，如Capon算法和MUSIC算法，进行角度估计。为进一步说明CLA的有效性，比较传统的Capon算法和MUSIC算法与提出的算法之间的性能。仿真条件与前面的仿真相同，使用CLA式 (1)阵列结构。图5给出了3种算法的均方根误差随信噪比的变化关系。通过仿真可以发现，提出的算法的性能与传统的算法相当，但提出的算法无需谱峰搜索运算，因此具有相对较低的计算复杂度。

图3 角度估计的均方根误差随信噪比的变化关系，未考虑互耦

图4 角度估计的均方根误差随信噪比的变化关系，考虑互耦

图5 角度估计的均方根误差随信噪比的变化关系，考虑互耦

7 结束语

针对现有稀疏阵列存在的阵列互耦影响角度测量精度的问题，本文提出了阵元位置互质的线性阵列(Coprime Linear Arrays， CLA)，分析了CLA的互耦影响并提出了一种基于CLA的角度估计方法。论文证明了CLA导向矢量的无模糊性，推导了一种基于阵列输出高阶累积量张量分解的无模糊信号角度估计算法。CLA可将相邻阵元间的间距设计远大于半波长，从而可显著降低阵列互耦效应。通过计算机仿真实验与典型的阵列结构进行比较，证明了CLA在降低阵列互耦和提高角度估计精度方面的优势。CLA也可应用于解决阵列信号处理的其它问题，如阵列校正和波束形成，相应的方法将另文给出。