在接续研究中发展理性思维——以“复数的乘、除运算”为例

⦿湖南省株洲市五雅中学

阳志长

1 引言

数学学习更多带有研究色彩，是通过获得一个个数学研究对象的学习过程，使个体研究心理、思路、方法、方式、思想等获得持续变化与发展，形成具有个性特征的数学思维的过程.数学思维是一种理性思维，突出表现在思维的连贯性、严谨性、批判性、创新性等品质方面.新课程提出“优化课程结构，突出主线，精选内容”[1]的课程理念，本质是抓住获得各个数学研究对象的过程，采取单元教学方式，发展学生的理性思维.

“复数的乘、除运算”是新课标教材第七章“复数”第二节“复数的四则运算”[2]第二课时的教学内容.“因为高考中的复数题非常简单，所以许多老师对复数的教学也不太上心”[3]，以致于简单了事，在第二节第二课时匆忙落下第七章教学“帷幕”.“复数是一类重要的运算”[1]，学生已经理解引入复数的必要性，如此“谢幕”，他们感受不到复数应用的广泛性；“复数源于纯粹的数学推理，是理性思维的产物”[3]，复数的乘、除运算不仅是研究一类运算对象“思维链”的关键“节点”，而且是认识复数概念、复数的三角表示，以及发展理性思维的重要载体.

2 对接思考，培养思维的连贯性

与复数的加、减运算(简称“一级运算”)类似，教材直接规定复数的乘、除运算(简称“二级运算”)的乘法法则.为什么可以这样规定？基于复数的代数表示，在探索复数一级运算时，类比两个多项式相加、减，学生已经感受到复数加法法则“规则”的合理性，以及研究一个运算对象的“基本套路”.为让学生了解复数“二级运算”产生的背景和学习的必要性，本课时需要突出第一个教学重点，“复制”这个“基本套路”，抽象、推导出复数乘法法则.

(1)PPT呈现问题1：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R).我们知道，z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i,两个复数的和、差是一个确定的复数.那么，接下来应该研究什么？可以怎样研究呢？

(2)学生思考、回答问题.教师引出并板书本节课的研究主题，引导学生回顾第一课时研究的“基本套路”，获得研究复数乘法运算方法：类比两个多项式相乘.

(3)学生演练、推导，教师规划板书位置，让一位学生代表板书、推导.

(4)教师“点击”，同化研究方法，导引学生阅读教材第77页的相关内容，让他们感受研究方向的正确性、“规则”的合理性，得到复数的乘法法则(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，以及两个复数的积是一个确定的复数.

(5)PPT呈现问题2：得到复数的乘法法则后，按照研究复数加、减运算的“基本套路”， 接下来应该研究什么？怎样研究呢？

(6)学生思考、回答问题，教师规划板书位置，让三位学生代表展示推导过程.

(7)教师 “点击”， 再次同化研究方法，得到：复数乘法运算律、对加法的分配律.然后，简单小结一下研究复数乘法运算的“基本套路”，让学生进一步得到各步的意义建构.

以上的对接、思维活动，围绕研究一个运算对象的“基本套路”，通过提供“先行组织者”、激活“情境与问题”的途径，传承复数加法运算的研究方式，并在类比思考、接续研究中，培养学生思维的连贯性，以及数学抽象、数学建模等核心素养，并形成对运算研究对象探索的方向感，以及积极的认知情感、态度与价值观.

3 跟进思考，培育思维的严谨性

得到复数乘法法则及其运算律后，教材通过例3、例4，示范复数乘法运算的“思维与表达”，在此基础上提炼“乘法公式”.同属二级运算，为不割裂研究“链条”，本课时需要突破第一个教学难点，变通“套路”，推导、概括出复数除法的法则.

(1)PPT呈现问题3：类比多项式的乘法运算，我们得到了复数的乘法法则及其运算律.多项式乘法一个显著标志是可以用“乘法公式”简化运算.那么，复数乘法是否有相应的公式呢？

(3)PPT呈现问题4：二级运算还有除法.那么，两个复数能否相除?如何研究复数的除法呢？

(5)教师 “点拨”， 顺应研究方法：遵循“基本套路”，根据运算对象的结构特征，展开联想,变更类比对象，分析、研究问题.简单小结，突出理解与应用特色：复数乘、除运算分别类比多项式乘法、根式除法运算.

以上思考与探索过程，按照一个运算对象的研究过程，通过体现共性、突出个性，延续复数加减运算的研究方式，顺应知识，并在跟进思考、接续研究中，突破教学难点，培养学生思维的严谨性，以及逻辑推理、数学运算等核心素养，建立相关研究的“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”.

4 换位思考，增强思维的批判性

得到法则后，紧接着就是法则的应用，需要突破第二个教学难点：法则的正确理解与灵活应用.

(2)学生独立思考，自主练习.6分钟后，展示多位学生代表的计算过程，学生与教师一道矫正、点评，鼓励其他学生提供不同的计算思路或方法.

(4)PPT呈现例2.在复数范围内解下列方程：①x2+2=0；②ax2+bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，b2-4ac<0.

(5)学生独立思考、提供解题方案后，让学生对照教材第79页例6的“分析”与“解”发表意见或提出问题.然后，教师点评、提炼：例2第②题为一般情形，教材给出的“解”体现了求解实系数一元二次方程的“根本大法”——配方法，转化为特殊情形；虚数与复数的引入缘于解方程时遇到的负数开平方问题，作为复数及其运算应用的一个重要方面，有了“求根公式”，可以直接利用它求实系数一元二次方程在复数范围内的根，或将实系数二次三项式在复数范围内分解因式.

以上探讨过程，按照研究一个运算对象的进程，采用提供多样性素材、激发应用情境的方法，使研究复数加减运算的方式得以改造，并在换位思考、接续研究中，突破教学难点，增强学生思维的批判性，完善一个运算对象的研究过程，解决数系扩充后复数运算的封闭性、应用性等问题，使一个运算对象的研究“套路”找到比较稳定的“固着点”.

5 接续研究，发展思维的创新性

数学研究，不止于解决问题，还要回归研究历程，获得 “再出发”的能量.课堂最后环节，还需要上升到数学思想高度，突出第二个教学重点：完善研究一类运算对象乃至一类数学对象的“基本套路”、行动方案.

(1)学生小结.可以使学生明晰：复数的乘、除运算，类似于整式的乘法、根式的除法运算，乘法满足交换律、结合律及对加法的分配律，可以用乘法公式简化运算，结果是一个确定的复数；与实数运算、三角恒等变换一样，复数运算常要抓住运算对象特点，考虑运算依据，设计运算程序，达到运算目标.

(2)变更情境.让学生浏览教材第75至79页的内容，结合黑板板书，回顾课堂学习、研究历程，谈学习体会，或提交问题.

(3)教师凝练.在肯定学生的突出表现、所作小结的基础上，凝练出研究复数乘除运算的思想方法——类比迁移法，以及研究一个运算对象的“基本套路”：“背景—概念—基本性质—运算及其几何意义、运算律—联系与应用”[3].引导学生发现尚没有研究的问题：复数乘、除运算的几何意义，以及复数乘方、开方运算及其几何意义.凸显研究一类运算对象的思维轨迹，鼓励学生接续研究教材第81页“代数基本定理”及选学内容“复数的三角表示”，为后续课时的研究性学习作好准备.

上述梳理与凝练过程，采取参与小结、多向对话的策略，将“小结权”还给学生，引导学生自主梳理一节课的知识，重视阅读教材和学习小结，开展与教材、自己对话.更好地发挥教师的引领作用、开拓视野，指导学生开展与同学、老师对话，系统认识运算对象研究的过程和数学学习本身，重视研究数学对象的思想方法、绘制思维蓝图，将数据分析、数学建模等核心素养的培养落实到课堂； 再现复数研究的“情境与问题”“思维与表达”“交流与反思”，让学生明白为什么虚数以及复数概念的引入会经历一个曲折的过程，领悟其中蕴涵的数学家的想象力、创造力，使研究复数“二级运算”的流程得以“再造”，发展思维的创新性.

6 结束语

复数的乘、除运算是复数运算“思维链”的关键“节点”，主张按照研究一个运算对象的“基本套路”，优化设计，通过对接思考、跟进思考、换位思考、接续研究的方式方法，使研究复数一级运算的“基本套路”得以“传承、延续、改造、发展”.在接续研究中重构研究一类运算对象的“基本套路”，培养思维的连贯性、严谨性，增强思维的批判性，发展思维的创新性.新课程改革正在如火如荼地进行，广大教师要认真钻研课程标准和教材，立足各个课时、各个单元、各条主线，以及各个、各类研究对象，优化设计，课时落实，单元突破，主线推进，合力锻造学生数学思维的必备品格和关键能力，让他们在接续学习、研究中发展理性思维，赓续数学家不屈不挠、精益求精的精神血脉, 落实“学生发展为本，立德树人，提升素养”[1]的根本任务.