可修系统最优维修度及更换式维修决策

冯 泽，张晓红 ，罗元庚 ，胡尚举

(1.太原科技大学 经济管理学院，太原 030024;2.山西太钢不锈钢精密带钢有限公司，太原030032)

维修问题在工业系统的运营中一直扮演一个很重要的角色。系统的故障有可能会造成无法估计的损失。预防维修是改善系统可靠性的有效手段之一，但复杂的系统结构和技术同时也增大了维修的复杂度，使得维修的成本居高不下。最优维修决策问题成为了系统工程师和专家学者们共同关注的焦点问题。

近年来，越来越多的专家和学者关注可修系统的维修决策问题，提出了针对可修系统维修方式以及不同状态下的维修策略。Rosmaini Ahmad[1]等综述了文献中广泛讨论的两种维修技术，分析了TBM和CBM技术在维修决策中的作用，以及进展。祁鑫，左德承[2]、 Horenbeek A V，Bure J，Cattrysse D[3]对可修系统的维修与备件做了一些综述。张晓红[4]研究了基于寿命的多部件维修决策。林琳[5]针对可修系统寿命预测受不确定性因素影响较大的问题，建立了一个基于视情维修的机队多目标维修决策优化模型。

前期的研究中，先后提出了T，N多种不同的维修策略。Barlow和Hunter[6]最早在1960年中提出了年龄更换策略，他认为系统达到年龄T但是没有发生故障时进行更换，或系统未达到T时故障也对其立即更换。Nakagawa[7]中提出故障次数限制策略，也称N策略，他的模型是系统故障后进行维修，当维修次数达到N时进行更换。文献[8-11]对不同系统不同状态的基于寿命的更换策略有不同的描述。文献[12]对故障次数N策略进行过研究。文献[13-15]都对(T，N)策略以及N、T策略进行比较研究，分析了各自的优劣势。近年来，大部分学者运用(T，N)策略以及衍生策略对基于时间和状态的可修系统进行建模研究[16-19]。

以往的研究中，对于可修系统维修问题的策略，无论是T策略、N策略，还是(T，N)策略，均采用在线维修方式，维修期间的系统停机对其生产造成极大的影响。为了减少停机时间，张晓红[20]针对可修系统提出了一种离线式预防维修策略，在原定的预防周期时刻，用一个同型的部件对缺陷部件进行替换，替换后系统继续运行，并对缺陷件进行离线的维修，运行时间与维修时间同步。这种维修方式可大大缩短维修对系统的干预停机时间，提高生产效率，降低生产损失。

维修投入度是对系统维修之前所有需要准备的维修工具、人员、备件等维修资源的总和。对可修系统而言，系统的维修投入度的不同直接招致了不同的维修的成本与维修时间，且不同的维修投入度系统的可靠性恢复程度也不尽相同。较小的维修投入程度，虽然因维修资源的投入较少而节省维修成本，但要达到相同的维修效果，需要的维修时间增多，且因维修不充分而导致系统运行性能下降，进而使得生产质量的下降，招致成本惩罚。相反，较大的投入程度，可以在有限的时间内达到较好的维修效果，但因所需的维修资源较多而成本较高。适度的维修不仅可以节约维修成本，也可以延迟系统的使用寿命。本文引入的维修度的概念对系统维修活动的投入程度进行建模，通过对维修度的最优控制，保证满足系统维修及运行性能需求的同时，降低维修成本。

综上，在以往的研究中很少有把离线更换式维修和维修投入结合起来研究可修系统的最优维修决策。尤其是诸如煤矿通风系统长期在矿井环境中运行，如若长时间停机井下风流压力降低，有可能使采空区瓦斯流出量增加，造成瓦斯浓度过大发生爆炸等安全事故。离线更换式预防维修可以有效的减少停机时间，提高安全性。但同时需要定期预防维修，每次预防维修成本若控制不好，会加大成本浪费，而本文引入维修度，可以更好的控制每次预防维修所需成本以及维修时间。因此离线式预防维修与维修度结合，既可以在有限的时间内达到较好的维修效果，节约维修成本，又可以延迟系统的使用寿命，提高安全性。

本文在离线式预防维修策略的基础上，引入了维修度的概念。以分析维修度对维修效果、维修时间及成本的影响关系，以及离线更换式维修影响下的系统可靠性建模问题。在此基础上，构建系统的最优维修费用率模型，以确定最优的运行间隔T、维修次数N、维修度m，使得更新周期内费用率最小。

1 系统定义

1.1 系统特征

本文关注的是一个可修系统，系统包含一个修理后可以运行的关键部件，该部件的劣化可近似表征整个系统劣化。系统的寿命服从概率密度函数为f(t)的随机分布。

1.2 维修策略

为了节省因维修而导致的系统停机时间，保证系统连续运行，对系统采用离线更换式维修策略。该策略下，除运行部件外，另需库存一件相同的部件，与运行部件进行交替使用和修理。具体策略如下：

(1)当系统运行预定的时间间隔T后，用备用件替换运行件，系统继续运行。相对于较长的运行时间，替换时间可以忽略不计，单次离线更换成本Csr.

(2)替换后立即对替换下来的缺陷部件执行离线式预防维修，维修要考虑修理能力，本文引入维修度m来表示赋予维修活动的投入。离线式预防维修效果、维修成本Cp均与维修度m相关的随机变量。

(3)由于修理时间τ的随机性，可能会导致替换时备件的不可用而停机。若τ≤T，修理活动在间隔T内完成，下一次更换活动可顺利进行，系统可以正常运行；若τ>T，运行一个间隔T系统需要替换时，缺陷件的修理活动仍未结束，无法及时更换，此时系统停机等待修理活动结束后再实施更换，系统的停机时长W=τ-T，单位时间的停机成本为Cw.维修是非完美的，在每一次预防维修后，系统的故障率随维修次数的增加逐渐递增，故障率递增因子b是与维修度m相关的函数b(m).

(4)系统在运行过程中，系统故障随机发生，对更换周期内的故障，需要进行小修恢复系统运行，但故障率不变，小修时间忽略，每次小修费用Cm.

(5)系统在经历过2NT运行后，运行件和缺陷件均被离线更换N次，对其执行报废，两个部件的报废总成本Cdis.由于订购时间较长，为保证备件的可用率。在第(2N-2)T的周期结束后同时订购两个同类型部件，订购时间L服从概率密度函数为S(L)的随机分布。订购时间过长也会造成系统停机。停机时间为W=L-2T，单位停机成本Cw，订购活动结束后系统开始全新的运行周期。

2 费用率模型

为保证系统的经济运行，以系统的平均费用率为目标建立最优决策模型：

(1)

R表示一个更新周期，C(R)表示更新周期内的系统运行成本。由于系统中两部件是交替运行的，当部件1运行(2N-2)T后报废重新订购，订购活动发生在部件1和部件2最后一个运行间隔内。因此对于系统而言，更新周期由2N运行区间T、系统的停机时间组成。

综合整个更新周期内选取更换间隔T、更换次数N，维修度m为决策变量，使之成本最小，最小费用率公式可由决策变量的函数如下表示：

(2)

由所定义的策略可得：

E(C(R))=

(3)

其中，Csr为单次预防更换成本，Cp(m，k)为离线式预防维修成本函数，Pw为因修理时间导致的停机概率；Cw为因修理时间导致的单位时间停机成本，停机时间为变量W1；Pow、Cow、W2在分别为因订购时间导致的停机概率和单位时间成本、停机时间；Cdis在为报废成本，Cmin整个周期内的系统小修费用。k1、k2分别为部件1和部件2的离线式更换次数。

(4)

类似地，部件2的任意更换周期内小修发生的次数

(5)

(6)

(7)

设F(x)为系统的寿命分布函数，f(x)为工作时间概率密度函数，G(τ)为维修时间的分布函数；g(τ)为维修时间的概率密度函数；S(L)为订购时间的分布函数，s(L)为订购时间的概率密度函数。两个部件的维修时间服从相同的概率密度函数，两个部件均服从相同分布。

系统在第一个周期由部件1在运行，部件2处于准备状态，第一个周期结束时，部件1被更换进行离线维修状态，部件2开始运行第二个周期，因为第一个周期结束时，部件2是新的，不会存在停机。第二个周期结束，需要部件1进行替换部件2，此时会出现两种情况，部件1维修完毕可以按时替换；部件1未完成维修，无法准时替换。故在第三个周期开始时系统可能会出现停机等待。部件1的一个完整周期包括一个运行间隔T和维修时间。

总之，系统在一个运行过程中的期望成本可表示为：

(8)

E(R)为该更新周期内的期望长R=2NT+W.

两个部件因为修理导致停机时间和因为订购造成的停机时间的期望长度：

(9)

(10)

(11)

系统的期望停机时间：

策略：平面镜所成像与物体大小相等，关于平面镜对称，利用数学上的“对称法”作图，注意像与辅助线用虚线表示。

(12)

3 维修成本、时间、效果与维修度和维修次数的关系分析

3.1 维修度和维修次数、维修成本的关系建模

通常的研究将预防维修的成本设定为一个常量，与系统的劣化程度和修理程度无关，这样的假设是不合理的。文献[19]将预防维修成本建模为维修效果、维修次数的线性函数。文献[22]中运用二次函数建模了预防维修与役龄回退量之间的关系。

以部件1为例，图1显示了三种关系模型的示意图。从图中可看出，指数函数增长的速率比较快，线性函数稍次之，对数函数最小。具体选取哪一个应该与实际的研究对象有关。本文以指数函数为例进行研究。a=10是边际成本，b=20是每次维修的固定成本。

图1 部件1的维修成本与维修度、维修次数的关系模型比较Fig.1 Comparison of maintenance cost and number of repairs of part 1

3.2 维修时间与维修度的关系建模

仍以部件1为例，假设其维修时间服从的威布尔分布W(β，η)，图2显示了不同维修度下，不同参数对应的维修时间的概率密度函数。

图2 维修度对维修时间的影响关系图Fig.2 The impact diagram of maintenance degree on maintenance time

图2分别显示了维修度为0.5，0.8对于维修时间概率密度的影响，如果投入度变大，维修准备充分，维修时间会相应的缩小，期望停机时间有所减少。

3.3 维修效果与维修度的关系建模

由于部件1和部件2是相同类型部件，设其初始寿命分布为W(β1，η1)，则初始故障率函数为：

(13)

图3 故障率因子与维修度关系图Fig.3 Plot of failure rate factor and maintenance degree

4 数值实验

实验参数设定如表1所示。单位为万元，轧辊的寿命服从分布W(β1，η1)，维修时间服从W(β，η)分布，订购时间服从E(θ)，预防维修固定成本为b，边际成本a，小修成本Cm，报废成本Cdis，更换成本Csr，订购成本Cow，单位停机成本Cw.

表1 实验参数设置

4.1 决策变量对目标函数的影响

图4(a)m，T固定时，在前期，随着维修次数的增加，故障发生趋势较缓，小修次数以及成本少，费用率自然下降，后期随着故障率递增因子的变大，更换成本和维修成本增加，费用率变大；图4(b)N，T固定，前期劣化慢，维修度虽小但是修理合格，维修成本少，费用率下降，之后，随着维修度不断变大，维修成本变大，费用率变大；图4(c)m，N固定时，费用率随着运行间隔T增加，出现先降后升趋势。通过对三个变量与费用率目标值关系的研究，发现三个变量单独都会使费用率存在一个最低值，因此验证了模型的正确性。

图4 三个变量对费用率的影响Fig.4 The effect of three variables on expense rates

4.2 联合优化

利用GA寻找最优解，设置种群大小设置为10，最大遗传代数为30，通过轮盘赌的方式进行选择，相应的算子概率为0.8，交叉类型为两点交叉，每次交叉的概率为0.8，同时算术变异的概率为0.2.可以得到近似最优解T=14，N=10，m=0.413 6，成本费用率CR(T，N，m)=800.505 8.

4.3 灵敏度分析

模型的有效性一般取决于该模型对于参数的适应度，分别对模型中的成本参数进行缩小或放大，分析其对决策结果的影响。

表2-表4是对涉及到的成本参数缩小或者变大去分析参数对于总体费用率的影响。该模型中出现的各项费用增加都会导致维修费用增加，费用率也增加，这种情况符合费用率的定义，因此验证了模型的可行性。当调整因子变大时，故障率递增因子反而变小，小修成本变小，费用率自然变小。

表2 小修、报废成本费用率影响

表3 更换成本与订购导致停机成本对费用率影响Tab.3 The impact of replacement cost and ordering cost on cost rate

表4 单位停机成本、故障率调整因子对费用率影响Tab.4 The impact of unit shutdown cost and failure rate adjustment factor on cost rate

5 结论与展望

本文在非完美预防维修的基础上，加入了离线式预防维修方式，减少在线维修不必要的等待时间，分析了维修度对于维修时间，维修效果的影响，分别构建了与维修时间和效果相关的更新函数模型，并以此模型为基石，提出了离线式预防维修策略下的考虑维修度的定周期离线式预防维修决策模型，利用了遗传算法，寻找到一个全局最优解，对相关参数进行灵敏度分析，确定了该模型的正确性。

本文研究的是定周期更换策略，实际生活中，定周期不能适用于所有系统维修，因此，接下来考虑基于几何过程的不定周期的离线式更换策略。若部件的状态可以被检测，则可以更好的把握系统劣化情况及维修时刻，进一步对基于视情维修的离线更换式维修决策进行研究。