基于国际视角的数学史与数学教育研究现状分析——ICME-14之HPM专题综述

刘思璐，汪晓勤

基于国际视角的数学史与数学教育研究现状分析——ICME-14之HPM专题综述

刘思璐，汪晓勤

（华东师范大学 教师教育学院，上海 200062）

HPM研究是21世纪数学教育研究的一个重要领域．以2021年7月在中国上海举办的第14届国际数学教育大会中相关的HPM会议报告为综述对象，通过对其进行概述和特点总结，可知，此次ICME-14的HPM会议报告的特点包括：注重HPM理论的发展，关注数学史融入数学课堂的评价，重视教育取向的数学史．

HPM；ICME-14；国际数学教育

1 问题提出

1972年第二届国际数学教育大会（简称ICME-2）上成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM小组），ICME-3上HPM小组主持了“数学史作为课程设计的关键工具”会议主题，ICME-4上HPM小组致力于“如何在中小学数学教学中使用数学史”和“数学教育中哲学、科学史和数学的关系”两个会议主题．到了ICME-8，HPM小组的秘书长宣布将于1997年着手“数学史在数学教学中的作用”研究[1]．自2004年ICME-10开始，“数学史在数学教育中的作用”成了ICME大会中固定TSG之一[2]，HPM逐渐成为21世纪国际数学教育研究持续关注的主题之一．

第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年7月11—18日（原定于2020年，因疫情推迟一年）在中国上海的华东师范大学举行．此次会议包含了极其丰富的研究主题，其中一个重要的研究主题是数学史与数学教育（简称HPM）．此次会议和HPM相关的学术活动主要有3个部分，包括和HPM相关的邀请报告（invited lectures，简称IL），国际教育委员会（简称ICMI）附属组织（Affiliate Organiza- tion，简称AO）的HPM研究小组报告，专题研究组27（简称TSG27）“数学史在数学教育中的作用”的报告．

自2005年第一届全国数学史与数学教育研讨会召开后，国内HPM研究已受到越来越多研究者的关注．相比于国际HPM近50年的研究，中国HPM研究仍有许多需要借鉴和发展之处，研究者需要及时关注HPM最新的国际视野和研究动态．因此，这里对ICME-14中有关HPM会议报告进行综述和分析，从中总结现阶段国际HPM研究的若干特点，以此为HPM的理论与实践研究提供新的启示．

2 HPM专题报告概述

ICME-14会议的HPM相关报告中，来自8个国家的学者共作了19个报告，其中两个为IL报告（邀请报告）、4个为AO报告（HPM小组报告），13个为TSG报告（专题研究小组报告）．每个IL报告时间为40分钟，讨论时间为20分钟．每个AO报告时间为15分钟，交流讨论的时间共60分钟．TSG报告中，长的口头报告时间为15分钟，讨论12分钟，短的口头报告为10分钟，讨论10分钟．

此次会议中有关HPM报告的报告者分布来自于中国、德国、丹麦、加拿大、美国、荷兰、墨西哥和智利，具体的分布情况见表1．

表1 报告者国家的分布情况

注：*表示该国家有1个报告者同时有AO报告和TSG报告．

从表1可知，ICME-14的HPM相关报告的报告者中，中国学者占比最多．对比ICME-12和ICME-13的HPM相关报告中东方学者比例不足30%[3–4]，此次会议中HPM相关报告的东方学者已近一半．这和疫情时代、中国举办等原因有很大关系，也从一定角度反映了中国HPM研究者在增多，中国HPM研究在发展．

19个报告根据已有研究[4–5]可分为HPM理论探讨、HPM教学实践、数学文化与数学教育、数学教育史、HPM与教师专业发展、HPM的历史和教材中的数学史7个主题．其中HPM教学实践和HPM理论探讨的报告占比较多．

2.1 HPM理论探讨

HPM理论探讨是为了发展该领域的理论和概念框架，解决“为何”和“如何”的问题．这方面的报告包括两个AO报告和3个TSG报告．

加拿大的David Guillemette有两个探讨理论的报告．他的AO报告总结了当前HPM研究的理论发展和研究问题，指出研究者面临着教师教育研究、数学史作为教学资源的研究、数学史融入课堂有效性的实证研究以及HPM理论研究等核心问题，并介绍了发生视角、人文主义视角、诠释学视角、话语与实用主义视角、对话与伦理视角等HPM研究视角．他的TSG报告总结了HPM领域质性研究的路径，包括诠释学方法、学会倾听[6]等，以及该领域参与性研究的路径，包括对话方式[7]、欣赏和解释参与者和数学史之间对话互动的方式等．

荷兰的Desiree van den Bogaart-Agterberg在其AO报告中基于数学史价值的“二元”说指出，数学史既是学习数学和引发学习动机的工具，又有着让学生了解数学作为一门学科的本质和获得科学史知识的目标[8]．她提出数学教材呈现数学史的“4S”模式[9]，详见表2，并介绍了原始资源的复制式（facsimile）、改编式（edited）和注释式（annotated）用法．这些对教师和教师教育有着一定影响．

表2 教材中数学史的形式

墨西哥的Erika Zublillaga Guerrero的TSG报告介绍了报告人及其团队所构建的用来分析数学史原始资料的方法论框架，包括“文本的参考卡片”“文本与作者的背景和目的”“对具体数学概念的介绍和处理”3个水平，并通过具体的例子加以说明．该框架提供了一种概念建构的路径来帮助学生理解不同概念之间的关联．

中国的李卓忱在其TSG报告中指出，小学HPM微视频的制作流程包括设计、制作、应用、评价和反馈环节，类型包括创设情境类、重现历史类、介绍思想类和展示方法类，内容包括一个人物、一个问题、一个故事和一种思想．

这5个报告分别探讨了HPM的发展趋势、数学史的使用形式、数学史作为教学资源的概念框架、数学史与教育技术的结合方式．

2.2 HPM教学实践

HPM教学实践是指将数学史融入数学课堂教学的实践研究，包括HPM课堂教学的设计、实施、评价与反馈等方面．这个主题的报告包括一个IL报告和5个TSG报告．

丹麦的Tinne Hoff Kjeldsen在其IL报告中探讨了数学史对数学建模教学的帮助．报告呈现了20世纪的3个数学建模案例：John von Neuman的经济学模型、Vito Volterra的捕食—猎物模型和Nicolas Rashevsky的细胞分裂模型，并让学生根据图1所示的数学建模过程，对Rashevsky的建模过程进行研究，从而揭示了数学建模教学中培养学生数学历史意识的重要性．

图1 数学建模周期的6个子过程[10]

荷兰的Desiree van den Bogaart-Agterberg的TSG报告对认知需求（LCD）和数学史（HoM）之间的联系进行了分析．报告指出，教师通过再现、改编和注释历史材料，将其显性或隐性地用于教学之中，可以更好地满足学生的认知需求，提升学生的认知水平．报告还提到呈现数学史料的“4S”模式．

中国的韩嘉业在TSG报告中介绍了开方作法本原图、赌金分配问题等与二项式定理相关的历史材料，接着展示了该课例的实施过程，包括讲解二项式定理历史的微视频，通过分析学生问卷和访谈，得到HPM微视频对学生产生的影响．

中国的刘思璐在其TSG报告中建立了基于数学史的函数概念理解水平的分析框架，通过该框架来分析课前、课后学生调查问卷得到HPM视角下的函数概念教学效果，根据学生和授课教师的访谈以及课堂教学视频等数据探索其影响因素．

德国的Silvia Schöneburg-Lehnert在其TSG报告中呈现了一项研究，研究者将基尔歇（A. Kircher，1602—1680）对于工具的概念、数学风琴（organum mathematicum）、几何室等数学史内容呈现给学生，通过调查问卷、教师观察和学生写作等数据，分析学生对于数学史融入数学教学以及在课堂上使用原始史料的评价．

智利的Jorge Soto-Andrade在其TSG报告中指出，数学、历史和教学法是互相联系的．他介绍了中国古代的《易经》、邵雍（1011—1077）的工作（如伏羲六十四卦次序图，见图2）、莱布尼茨的二进制和达尔文的生命树等内容，并展示了学生改造的一些先天图．

图2 伏羲六十四卦次序[11]

这6个报告分别关注了数学史在数学建模中的应用、数学史与认知需求的联系、数学史与教育技术的结合、数学史对学生认知的影响和数学史作为教学资源及其教学效果．

2.3 数学文化与数学教育

有一个IL报告和一个TSG报告从数学史角度论述数学文化与数学教育的关系．

中国的刘柏宏在他的IL报告中讨论了教师对数学和教学的信念之间的关系，接着介绍了古代不同文明所具有的不同数学特征．报告人从数学的宏观视角和微观视角提出数学文化是由文化中的数学（MiC）和数学的文化（CoM）组成，并指出，通过CAP（猜想、论证和证明）加TAMES（以数学为中心的跨学科教育，涉及技术、美学、工程和科学）的方式，可创造学生数学行为的文化发展．

中国的余庆纯在其TSG报告中介绍了她通过德尔菲法修订的“基于数学史的数学文化”内涵分析框架，根据该框架对20个高中HPM课例进行文本分析，得到高中HPM课例在数学文化不同维度上的表现和特点．

这两个报告，前者从历史角度和多元文化的角度探讨数学教育，后者研究了HPM课例中的数学文化内涵．

2.4 数学教育史

有一个AO报告和一个TSG报告属于数学教育史研究．

美国的Alexander Karp的AO报告介绍了数学教育史方面的研究进展．Karp先介绍了数学教育史方面的文献，包括Stamper的《初等几何教学的历史》（1906）等书籍和《国际数学教育史期刊》（）等期刊．接着，他介绍了近几年数学教育史的研究成果，包括《数学教育历史手册》《数学教学和学习的历史》和《数学教育史研究》等书．

德国的Ysette Weiss在其TSG报告中追溯了19世纪德国的几何教学情况．以圆锥曲线为例，19世纪的数学活动将其作为一门学科和工具，帮助数学家、教师、工程师等不同学术团体之间交流，同时，报告还介绍了希腊数学家们对圆锥曲线的研究，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等数学家也曾将圆锥曲线作为一种工具去解决问题．她还介绍了19世纪几何学教学的改革者为实践共同体做的一些发展．

教育中的数学史和数学教育的历史，两者是相互借鉴又是相互联系的，数学教育史研究为HPM研究提供了启示．

2.5 HPM与教师专业发展

HPM与教师专业发展是研究数学史对数学教师专业发展影响的研究．有两个TSG报告属于该主题．

中国的沈中宇介绍了一个HPM专业学习共同体中教师专业知识发展的案例．他以某HPM工作室的两位教师为例，通过MKT理论和活动系统模型，分析和解释教师的各版教学设计、反思单、调查问卷和访谈等数据，得到教师专业知识的变化及其影响因素．

中国的姜浩哲通过主题分析法，研究了6位职前教师在某个HPM教师发展项目中教师教学效能感的变化及其影响因素．其中教师专业发展项目包括文献阅读、案例学习、微格教学、微课程开发和课堂教学5个阶段．

两个报告分别从教师专业知识和教学效能感方面关注了在职教师和职前教师在教师专业发展项目中的变化及其影响因素．

2.6 HPM的历史

德国的Ysette Weiss在其AO报告中追溯了HPM的历史及其相关活动．早在1897年的苏黎世国际数学家大会上，数学史与数学文献学已经被列为会议的主题之一．1976，ICMI正式成立“数学史与数学教学关系国际研究小组”．报告追溯了HPM的历任主席，包括罗杰斯（Leo Rogers）、琼斯（P. S. Jones）、福韦尔（J. Fauvel）等人，介绍了HPM的官方刊物《HPM通讯》以及HPM的定期学术活动，包括ICME的HPM卫星会议（4年一次）、数学教育中的历史与认识论欧洲暑期大学（简称ESU，2010年起改为每4年一次[12]）等．

该报告总结了国际HPM组织的发展历程，但未能涉及HPM学术研究本身．

2.7 教材中的数学史

仅有一个TSG报告比较了不同版本数学教材中的数学史．中国的雷沛瑶从内容分布、栏目分布、数学史表现形式3个方面，比较了中国大陆人教A版的5本高中数学必修教材和中国台湾翰林乙版的4本高中必修教材中的数学史，为教科书的编写者提供启示．

在教材中如何融入数学史一直是HPM研究的重要话题，往届会议中的教材研究主要是对某个版本教材中数学史的内容进行分析，此次会议的报告则从比较的角度考察了不同版本教材中数学史的内容和呈现方式．

3 HPM研究特点

根据ICME-14中有关HPM的会议报告，当前的国际HPM研究具有以下特点．

（1）注重HPM理论的发展．

HPM理论研究可为该领域的研究提供新视角、新框架和新路径．HPM理论框架至少要能解决这样几个问题，包括为什么应该学习数学史即数学史的教育价值，在教学中选择哪些数学史即数学史的选取原则，怎样在数学教育（课程、教材、教学等）中融入数学史即数学史的融入方式和以某种方式学习数学史的价值即评估数学史融入数学课堂的教学效果[13]等．此次会议的相关报告，无论是基于研究探索出的理论框架，还是为了研究建立的分析框架，都至少回答了上述问题中的一个．

同时，此次会议的相关报告为HPM理论研究的发展提供了两种思路：一种是基于数学史自身特点发展理论框架，如Guerrero介绍了分析原始数学史资料的3个水平；另一种是将数学史与其它理论框架进行联结，如Agterberg将认知需求框架和数学史进行融合建立“4S”模型．另外，Guillemette的AO报告总结了当前HPM研究的5种理论视角，包括发生视角、人文主义视角、诠释学视角、论述与实用视角、对话与伦理视角．HPM研究者可在此次国际会议的基础上进一步发展HPM理论，如将数学史与问题提出、核心素养等其它主题的分析框架进行融合．同时也可使用此次会议介绍的理论框架进行实证研究，如基于“4S”模型分析中国新一轮课改下教材中数学史与认知水平之间的关系．

（2）关注数学史融入数学课堂的评价．

在教学实践方面，ICME-12的HPM研究关注如何在课堂教学中融入数学史[3]，ICME-13的HPM研究中部分中外学者们侧重介绍HPM方面的教学实践和课例开发[4]，而ICME-14的HPM研究则更加关注数学史融入数学课堂的教学效果，关注数学史融入教学后对学生的认知和情感方面的影响．通过测试、访谈、课堂观察、任务单等数据探索数学史融入课堂有效性的实证研究增多．

从历届国际数学教育大会来看，HPM视角下的课堂教学研究已涉及相关的理论探讨、历史研究、教学设计和课例实施等方面，但对于数学史融入课堂教学评价方面的研究尚不多见．未来，基于HPM视角下的课堂教学特点和课堂教学评价理念，建立和应用HPM视角下课堂教学的评价框架方面的研究，必将成为HPM研究的重点．

（3）重视教育取向的数学史研究．

教师在数学课堂中融入数学史可以帮助学生意识到，数学不仅仅是一种语言，更是一种人类活动和社会文化的产物．同时数学史提醒教师，要让学生主动去“做数学”，而不是被动地“学数学”．教师可以以史为鉴为数学探究活动创造一种可能，让学生顺着数学概念的发展足迹去探索数学，而不是去复制数学结果[13]．然而没有厘清某个数学主题的历史脉络，一切都无从谈起．

可以看到，历届国际数学教育大会HPM研究一直都注重对数学史的研究，此次会议依然如此．无论是哪种主题的HPM研究，学者们都或多或少地介绍了相关的数学史或者数学教育史内容．在他们的报告中，数学史上璀璨的古人智慧和精彩的数学证明再次出现，而且体现了中西文化交流的趋势．如智利的Soto-Andrade介绍中国古代邵雍的工作和二进制的联系，又如韩嘉业介绍中国古代的开方作法本原图和西方的赌金分配问题等二项式定理方面的相关史料．这些史料研究的介绍，从研究取向上强调了数学史对于HPM研究的重要性，又为HPM研究增添了源头活水，为HPM视角下的课堂教学提供启示．

4 结语

综上所述，ICME-14的HPM相关报告具有注重HPM理论的发展，关注数学史融入数学课堂的评价，重视教育取向的数学史等特点．从中可以得到一些启示．

（1）注重数学史融入课堂教学的评价研究．数学史融入课堂教学在国际和国内都已有一定的理论基础和实施框架，但其有效性的评价仍是HPM研究者目前正在解决的重要课题．不同路径下、不同视角下，将数学史融入课堂教学对学生数学学习影响的实证研究，是未来研究的重要方向之一．

（2）深延HPM对教师专业发展影响的研究．HPM对教师专业发展的影响已有一些案例研究进行论证，研究对象包括职前教师和在职教师，研究内容包括知识[14–15]、能力[16]、信念[17]等3个方面．未来，HPM课例研究对教师所在学校的备课组所产生的影响或可成为一个研究主题，即研究通过以个体带动群体的方式下HPM工作室教师的辐射作用．

（3）加强指向核心素养的HPM理论与实践研究．数学史融入数学教学，对于数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等素养的培养具有独特的作用．迄今为止，这方面的理论和实践研究尚不多见．HPM与核心素养之间的关系必将成为未来HPM领域的重要课题．

（4）探索跨学科视角下的HPM研究．从数学史上看，数学并非孤岛，它与人类其它知识领域有着密切的联系，在STEAM教育受到广泛关注的今天，从HPM的视角开发跨学科教学案例，并探讨其教学的成效，也将成为未来HPM的热门课题之一．

第15届国际数学教育大会将于2024年7月7—14日在澳大利亚悉尼举行，期待更多的中国学者在ICME-15上展示中国数学教育的研究成果．

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Analysis of the Research Status of History and Pedagogy of Mathematics from an International Perspective——Research Summary of HPM in ICME-14

LIU Si-lu, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

HPM research is an essential field of mathematics education research in the 21st century. Taking the relevant HPM reports, in the 14th International Congress on Mathematics Education held in Shanghai, China, in July 2021, as the summary object, through summarizing its overview and characteristics, it can be seen that the features of the reports include: focusing on the development of HPM theories, paying attention to the evaluation of integrating the history of mathematics into the mathematics classroom, and highlighting the history of mathematics with educational orientation.

HPM; ICME-14; international mathematics education

G40–03

A

1004–9894（2022）04–0098–05

刘思璐，汪晓勤．基于国际视角的数学史与数学教育研究现状分析——ICME-14之HPM专题综述[J]．数学教育学报，2022，31（4）：98-102．

2022–02–10

上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）

刘思璐（1995—），女，陕西咸阳人，博士生，主要从事数学史与数学教育研究．

[责任编校：周学智、陈隽]