基于Caputo-Fabrizio导数的金融系统解的存在唯一性研究

高忠社

(天水师范学院 数学与统计学院， 甘肃 天水 741001)

金融系统是国家经济体系中的重要组成部分，其稳定的运行对国家经济发展起到至关重要的作用.由于金融系统的复杂性和多边性，传统的线性方法对于金融系统的预测与控制存在一定的局限性.分数阶微积分作为数学学科的一个重要分支，是传统整数阶微积分的发展.近年来，分数阶微积分引起了很多科学领域学者的关注和研究，同时，分数阶微积分在人文社科领域和社会金融领域都有重要的应用[1].金融与金融活动是包含所需主体因素的复杂非线性系统[2]，存在整数阶微积分理论不能描述的一些特性，因此，需要使用分数阶非线性系统的混沌、分岔理论来研究金融系统的内在复杂性，该方面的研究已经得到了一些非常重要的成果[3].

近年来很多学者对该系统的相关性质进行了深入研究，使用利率、投资需要和价格指数建立的一类非线性金融模型的动力学系统受到了诸多学者的关注，即含有三个变量的模型

(1)

其中x表示利率，y表示投资需要，z表示价格指数，a≥0为储蓄量，b≥0为投资成本，c≥0为需求弹性.

对于模型(1)，诸多学者进行了深入的研究[3-8].分数阶模型与整数阶模型的主要区别之一就是分数阶模型具有记忆功能，也就是说，分数阶模型取决于系统的记忆.金融变量的大小，如外汇汇率、国内生产总值、利率、产量和股票市场价格都可以有非常长的记忆，及相关性与金融市场中最长的时间尺度重叠.文中主要使用压缩映像原理分析系统的存在唯一性.

1 预备知识

文中采用如下Caputo-Fabrizio 微分形式[7-8].

定义1 (Caputo-Fabrizio)[7]设f∈H1(a,b),b>a,σ∈[0,1]，则任意阶CF导数σ可以定义为

其中M(σ)表示标准的函数，M(0)=M(1)=1.因此，对于f∉H1(a,b)导数可以重新定义为

定义2 设0<σ<1，f是可微函数，则可以定义Caputo-Fabrizio积分算子为

则有如下性质

由文献[2]可知，Caputo-Fabrizio分数阶金融系统模型为

(2)

2 主要结果

在本节中用不动点定理来证明系统(2)解的存在唯一性，对方程组(2)作用Caputo-Fabrizio积分算子，则有

根据Caputo-Fabrizio积分算子，有

定理1 如果0≤r2+a+b+c<1，则分数阶系统(2)是满足Lipschitz条件和压缩映射的条件，其中r2是y(t)的上界.

根据三角不等式，则有

其中β1=r2+a，即

这样有，当0≤r2+a+b+c<1时，F1(t,x)=z+x(y-a)满足Lipschitz条件的压缩映射.

类似地有，设F2(t,y)=1-by-x2，F3(t,z)=-x-cz，则有

其中β2=b,β3=c.

根据定义2可知

进一步可得迭代公式

其中

设

根据上面的迭代公式，可得

则有

因此，有

或者

类似有如下结果

定理2 如果存在t0使得

则分数阶系统(2) 具有精确耦合解.

证明由于x(t),y(t),z(t)是有界函数，且满足Lipschitz条件，则由前面的迭代公式有

进一步有

其中

因而有

为了更方便地表示方程组(2),设

则由

迭代后，则有

因为存在t0使得

因此，有

为了证明系统(2)解得唯一性，假设系统(2)还存在其他一组解为x1(t),y1(t),z1(t)，则有

两边取范数，则有

(3)

定理3 如果满足

则分数阶系统(3) 具有唯一解.

证明根据(3)式，可得

从上式及定理条件可得

x(t)=x1(t).

类似可得

y(t)=y1(t),z(t)=z1(t).

这样证得方程组(2)的唯一性.

3 结论

金融系统是一个国家金融体系中的重要部分，它的稳定运行对于一个国家的金融发展起到了至关重要的作用，文中研究了基于Caputo-Fabrizio导数的金融系统，使用Lipschitz条件的压缩原理分析了解的存在唯一性，为定性的研究分数阶金融系统动力学行为提供了一定的理论支持．