BCH代数的拟结合Ω-犹豫模糊理想

姜 曼，黄军峰，常在斌

(西安交通工程学院公共课部，陕西 西安 710300)

0 引 言

自从模糊集[1]的概念被提出后，对模糊集的理论研究和应用研究都取得了很大进展.在模糊集概念的基础上，由于考虑到元素之间非此即彼的关系，K.ATANASSOTV[2]提出了直觉模糊集的概念；由于要解决两级问题中遇到的不确定性问题，W R ZHANG[3]提出了双极值模糊集的概念；为了在模糊研究中找到最优方案，彭家寅[4]推广经典凸集，提出了Ω-模糊集的概念；为了能够更全面、更精确地了解决策者对信息的判断，TORRA[5]提出了犹豫模糊集的概念.近些年，一些学者推广了直觉模糊集和双极值模糊集理论，这些模糊化思想也被应用到其他代数结构中，出现了一系列的研究成果.例如，刘春辉[6]研究了负非对合剩余格中的双极模糊理想并讨论了它们的性质，H R ZHANG等[7]介绍了代数结构中的直觉模糊滤子理论，更多的研究结果可参见文献[8-9].犹豫模糊集是人们在现实决策中实际表达模糊问题的有用工具，它能够解决很多不确定性问题.犹豫模糊集的基本组成为犹豫模糊元素，每个犹豫模糊元素是由若干个可能的数值构成的集合，因此，犹豫模糊集比其他模糊集的拓展形式能够更全面、细致地刻画决策者的犹豫信息，在许多数学模型中都有关于犹豫模糊集的应用[10-12].

2007年，彭家寅[13]提出了BCH代数，并在BCH代数中引入了Ω-模糊理想的概念.理想是研究逻辑代数的重要准则，BCH代数作为一种重要的逻辑代数，研究BCH代数上的拟结合Ω-犹豫模糊理想具有重要意义，这对研究其他代数结构，如R0代数、布尔代数和坡代数等代数结构都有指导作用.Ω-犹豫模糊集在信息融合及决策中也有一定的实际指导意义，利用信息的不确定性，可以提高决策的技术性和科学性.本文主要研究BCH代数中的拟结合Ω-犹豫模糊理想，得到了一些有意义的结果，相关结论丰富和拓展了BCH代数和Ω-犹豫模糊集理论.

1 预备知识

首先介绍BCH-代数、模糊理想以及Ω-模糊理想等的基本概念和性质.

定义1[13]一个(2，0)型代数(X，*，0)，如果它满足下列条件：对∀x、y、z∈X，

(ⅰ)x*y=0；

(ⅱ)x*y=y*x=0⟹x=y；

(ⅲ)(x*y)*z=x*(z*y).

则称(X，*，0)是一个BCH-代数.

在本文中，均用X表示BCH-代数.

在BCH-代数X中，规定偏序关系≤：∀x、y∈X，x≤y⟺x*y=0.

BCH-代数称为非负的，如果X满足x∈X，0*x=0.

性质1[13]X是一个BCH-代数，则以下结论成立：

(ⅰ)x*0=x；

(ⅱ)0*(0*(x*y))=(0*y)*(0*x)；

(ⅲ)(0*y)*(0*x)=0*(y*x)；

(ⅳ)0*(0*(0*x))=(0*x).

性质2[13]I是BCH-代数的非空子集，如果I满足下列条件：

(ⅰ)0∈I；

(ⅱ)∀x、y∈X，如果x*y∈I和y∈I，则x∈I.

则称I为X的理想.

定义2[14]μ是X上的模糊集，如果∀x、y∈X，μ满足下列条件：

(ⅰ)μ(0)≥μ(x)；

(ⅱ)μ(x)≥μ(x*y)∧μ(y).

则称μ是X上的模糊理想.

定义3[15]μ是X上的模糊集，如果∀x、y∈X，μ是X上的模糊理想，且满足μ(0*x)≥μ(x)，则称μ是X上的闭模糊理想.

定义4[16]μ是X上的模糊集，如果∀x、y∈X，μ是X上的模糊理想，如果μ(x*y)*z≥μ(x*(y*z))，则称μ是X上的拟结合模糊理想.

定义5[4]设X为论域，Ω为非空给定集合，则称映射δ：X×Ω→[0，1]为X的Ω-模糊集.

定义6[17]δ是X上的Ω-模糊集，如果∀x、y∈X，q∈Ω，δ满足下列条件：

(ⅰ)δ(0，q)≥δ(x，q)；

(ⅱ)δ(x，q)≥δ(x*y，q)∧δ(y，q).

则称δ是X上的Ω-模糊理想.

下面介绍犹豫模糊集、犹豫水平集，并给出犹豫模糊集的基本运算和性质.

定义7[5]设X是一个非空经典集合，一个X上的犹豫模糊集A的定义如下：

其中hA(x)是由区间[0，1]上若干个不同值构成的集合，表示X中的元素x属于集合A的若干种可能隶属度.记X上的全体犹豫模糊集为HF(X).

设A为X中的犹豫模糊集，P([0，1])为区间[0，1]的幂集.称集合

为A的犹豫水平集，其中γ∈P([0，1]).

定义8[5]对于F∈HF[X]，犹豫模糊元hF(x)的下界和上界分别定义如下：

犹豫模糊集的三个基本运算补、并和交分别定义如下：

(1)补：对于F∈HF(X)，它的补元Fc定义为：

补运算满足对合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F、G∈HF(X)，F和G的并F∪G定义为：∀x∈X，

(3)交：F和G的交F∩G定义为：∀x∈X，

2 拟结合Ω-犹豫模糊理想

定义9设X是一个非空经典集合，一个X上的Ω-犹豫模糊集A的定义如下：

记X上的全体Ω-犹豫模糊集为Ω-HF(X).

定义10设δ∈Ω-HF(X)，如果∀x、y∈X，q∈Ω，δ满足下列条件：

(ⅰ)hδ(0，q)⊇hδ(x，q)；

(ⅱ)hδ(x，q)⊇hδ(x*y，q)∩hδ(y，q).

则称δ是X上的Ω-犹豫模糊理想.

记X上的全体Ω-犹豫模糊理想为Ω-HFI(X).

定理1令δ∈Ω-HFI(X)，如果∀x、y∈X，q∈Ω，以下结论等价：

(ⅰ)hδ(0*x，q)⊇hδ(0*(0*x)，q)；

(ⅱ)hδ(0*x，q)⊇hδ(x，q)；

(ⅲ)hδ(0*(x*y)，q)⊇hδ(0*(y*x)，q).

证明：因为0*(0*x)≤x，则hδ(0*(0*x)，q)⊇hδ(x，q).因此，hδ(0*x，q)⊇hδ(0*(0*x)，q)⊇hδ(x，q)，即(ⅱ)成立.在(ⅱ)中，用0*(0*x)代替x，得到(ⅰ).即说明(ⅰ)与(ⅱ)等价.

由(ⅰ)，我们有

hδ(0*(x*y)，q)⊇hδ(0*(0*(x*y))，q)=hδ((0*y)*(0*x)，q)=hδ(0*(y*x)，q)

或者

hδ(0*(x*y)，q)⊇hδ(0*(y*x)，q)，

即可得(ⅲ).在(ⅲ)中令y=0可得(ⅰ).证毕.

定义11设δ∈HF(X)，如果∀x、y∈X，δ满足下列条件：

(ⅰ)hδ(0)⊇hδ(x)；

(ⅱ)hδ(x)⊇hδ(x*y)∩hδ(y).

则称δ是X上的犹豫模糊理想.

记X上的全体犹豫模糊理想为HFI(X).

定义12δ是X上的犹豫模糊集，如果∀x、y∈X，δ是X上的犹豫模糊理想，且δ满足hδ((x*y)*z)⊇hδ(x*(y*z))，则称δ是X上的拟结合犹豫模糊理想.

记X上的全体拟结合犹豫模糊理想为Q-HFI(X).

定义13设δ∈Ω-HFI(X)，则对∀x、y、z∈X，q∈Ω，如果有

hδ((x*y)*z，q)⊇hδ(x*(y*z)，q)，

则称δ是X上的拟结合Ω-犹豫模糊理想.

记X上的全体拟结合Ω-犹豫模糊集为Q-Ω-HFI(X).

显然，如果X是拟结合的，则X上的每一个Ω-犹豫模糊理想都是拟结合的.

证明：因为σ∈Ω-HF(X)，对∀x、y∈X，q∈Ω，则

因此，σ∈Ω-HFI(X).

又对∀x、y、z∈X，q∈Ω，则

因此，σ∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

定理3设δ∈Ω-HF(X)，则δ∈Q-Ω-HFI(X)当且仅当对∀γ∈[0，1]，非空集合R(δ，γ)是X的拟结合理想，其中

证明：假设δ∉Q-Ω-HFI(X)，则考虑以下3点：

1)存在x0∈X，q∈Ω，hδ(x0，q)⊃hδ(0，q).

2)存在x0、y0∈X，q∈Ω，hδ(x0，q)⊂hδ(x0*y0，q)∩hδ(y0，q).

3) 存在x0、y0、z0∈X，q∈Ω，hδ((x0*y0)*z0，q)⊂hδ(x0*(y0*z0)，q).

z0)，q)⊃γ0，即有x0*(y0*z0)∈R(δ，γ0).因为R(δ，γ0)是拟结合的，则有(x0*y0)*z0)≤x0*(y0*

z0)，即(x0*y0)*z0∈R(δ，γ0).因此可得hδ((x0*y0)*z0，q)⊇γ0，这与hδ((x0*y0)*z0，q)⊂γ0和hδ(x0*(y0*z0)，q)⊃γ0矛盾.证毕.

证明：因为对∀x0∈X，I是X的拟结合理想，则有∀x∈X，q∈Ω，hδ(0，q)⊇hδ(x，q).对∀x、y∈X，q∈Ω，令hδ(x*y，q)∩hδ(y，q)=hδ(x0，q)，则有hδ(x*y，q)⊇hδ(x0，q)，hδ(y，q)⊇hδ(x0，q)，即x*y∈I，y∈I.因为I是X的拟结合理想，即x∈I，所以hδ(x，q)⊇hδ(x0，q)=hδ(x*y，q)∩hδ(y，q).

对∀x、y、z∈X，q∈Ω，令hδ(x*(y*z)，q)=hδ(x0，q).由于I是X的拟结合理想，因此，(x*y)*z≤x*(y*z)，即(x*y)*z∈I.所以hδ((x*y)*z，q)⊇hδ(x0，q)=hδ(x*(y*z)，q)，即δ∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

定理5若δ、σ∈Ω-HF(X) ，δ、σ∈Q-Ω-HFI(X)，则δ∩σ∈Q-Ω-HFI(X).

证明：由于δ、σ∈Q-Ω-HFI(X)，因此，对∀x∈X，∀q∈Ω，有

hδ∩σ(0，q)=hδ(0，q)∩hσ(0，q)⊇hδ(x，q)∩hσ(x，q)=hδ∩σ(x，q).

令∀x、y、z∈X，q∈Ω，则有

hδ∩σ(x，q)=hδ(x，q)∩hσ(x，q)⊇

(hδ(x*y，q)∩hσ(x*y，q))∩(hδ(y，q)∩hσ(y，q))=

(hδ(x*y，q)∩hδ(y，q))∩(hσ(x*y，q)∩hσ(y，q))=

hδ∩σ(x*y，q)∩hδ∩σ(y，q)，

hδ∩σ((x*y)*z，q)=hδ((x*y)*z，q)∩hσ((x*y)*z，q)⊇

hδ(x*(y*z)，q)∩hσ(x*(y*z)，q)=

hδ∩σ(x*(y*z)，q).

因此，δ∩σ∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

接下来，我们在BCH代数同态前提下，讨论拟结合Ω-犹豫模糊理想的像与原像的关系.

定理6设(X；*；0)、(X′；*；0)是两个BCH代数，f：X→X′是同态满射，如果σ∈Q-Ω-HFI[X′]，则f-1(σ)∈Q-Ω-HFI[X].其中定义

hf-1(σ)(y，δ)=hσ(f(y)，q)，q∈Ω.

证明：对∀x∈X，q∈Ω，有

hf-1(σ)(0，q)=hσ(f(0)，q)=hσ(0′，q)⊇hσ(f(x)，q)=hf-1(σ)(x，q).

对∀y∈X′，q∈Ω，有

hf-1(σ)(x，q)=hσ(f(x)，q)⊇hσ(f(x)*′y，q)∩hσ(y，q).

设a是f下y的任意原像.因为y是X′的任意数，则对∀a∈X，q∈Ω，有

hf-1(σ)(x，q)⊇hσ(f(x)*′f(a)，q)∩hσ(f(a)，q)=

hσ(f(x*a)，q)∩hσ(f(a)，q) =

hf-1(σ)(x*a，q)∩hf-1(σ)(a，q).

因此，f-1(σ)∈Ω-HFI[X].

对∀x、y、z∈X，q∈Ω，我们有

hf-1(σ)((x*y)*z，q)=hσ(f((x*y)*z)，q)=hσ((f(x)*′f(y))*′f(z)，q)⊇

hσ(f(x)*′(f(y)*′f(z))，q)=hσ(f(x*(y*z))，q)=

hf-1(σ)(x*(y*z)，q)，

因此，f-1(σ)∈Q-Ω-HFI[X].

定理7设(X；*；0)、(X′；*；0)是两个BCH代数，f：X→X′是同态满射，若δ具有上确界且δ∈Q-Ω-HFI[X]，则f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].其中定义

证明：注意 0∈f-1(0′)，因此对∀x∈X，q∈Ω，有

即

所以

因此，f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].

对∀x′、y′、z′∈X′，q∈Ω，令x0、y0、z0∈X，则有

即

因此，f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].证毕.

现在，我们研究如何用一个拟结合犹豫模糊理想构造一个拟结合Ω-犹豫模糊理想.

证明：对∀x∈X，令μ∈Ω，有

hδ(0，μ)=hμ(0)⊇hμ(x)=hδ(x，μ).

令∀x、y∈X，令μ∈Ω，则有

hδ(x，μ)=hμ(δ)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)=hδ(x*y，μ)∩hδ(y，μ)，

因此，δ∈Ω-HFI(X).

又对 ∀x、y、z∈X，令μ∈Ω，有

hδ((x*y)*z，μ)=hμ((x*y)*z)⊇hμ(x*(y*z))=hδ(x*(y*z)，μ)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

定义XΩ：Ω→X，在XΩ上定义二元运算⊗：(α⊗β)(q)=α(q)*β(q)，α、β∈XΩ，q∈Ω，则(XΩ，⊗，θ)是一个BCH代数，其中θ是XΩ上的零映射，即对q∈Ω，θ(q)=0.

定理9设μ∈Q-HFI(X)，δ：XΩ×Ω→[0，1]，其中hδ(α，q)=hμ(α(q))，α∈XΩ，q∈Ω，则δ∈Q-Ω-HFI(XΩ).

证明：对α、β∈XΩ，q∈Ω，我们有

hδ(α，q)=hμ(α(q))⊇hμ(0)=hμ(θ(q))=hμ(θ，q)，

hδ(α，q)=hμ(α(q))⊇hμ(α(q)*β(q)∩hμ(β(q))⊇hμ(α⊗β)(q)∩hμ(β(q))=

hδ((α⊗β)，q)∩hδ(β，q)，

因此，δ∈Ω-HFI(XΩ).

又对α、β、γ∈XΩ，q∈Ω，我们有

hδ((α⊗β)⊗γ，q)=hμ(((α⊗β)⊗γ)(q))=hμ((α(q)*β(q))*γ(q))⊇

hμ((α(q)*(β(q)*γ(q)))=hμ((α⊗(β⊗γ))(q))=

hδ(α⊗(β⊗γ)，q)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(XΩ).证毕.

定理10令δ∈Q-Ω-HFI(XΩ)，对∀q∈Ω，定义δq：X→[0，1]，其中对∀x∈X，hδq(x)=hδ(x，q)，则δq∈Q-Ω-HFI(X).

证明：对∀x∈X，q∈Ω，我们有

hδq(0)=hδ(0，q)⊇hδ(x，q)=hδq(x).

令∀x、y∈X，q∈Ω，则

hδq(x)=hδ(x，q)⊇hδ(x*y，q)∩hδ(y，q)=hδq(x*y)∩hδq(x)，

因此，δq∈HFI(X).

又对x、y、z∈X，q∈Ω，我们有

hδq((x*y)*z)=hδ((x*y)*z，q)⊇hδ(x*(y*z)，q)=hδq(x*(y*z))，

因此，δq∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

定理11如果δ∈Ω-HF(X)，定义τδ∈Ω-HF(X×X)，其中对∀x、y∈X，q∈Ω，有hτδ((x，y)，q)=hδ(x，q)∩hδ(y，q)，则δ∈Q-Ω-HFI(X)当且仅当τδ∈Q-Ω-HFI(X×X).

证明：假设δ∈Q-Ω-HFI(X)，对∀x、y∈X，q∈Ω，我们有

hτδ((0，0)，q)=hδ(0，q)∩hδ(0，q)⊇hδ(x，q)∩hδ(y，q)=hτδ((x，y)，q).

令x、x′、y、y′∈X，q∈Ω，则有

hτδ((x，x′)*(y，y′)，q)∩hτδ((y，y′)，q)=hτδ((x*y，x′*y′)，q)∩hτδ((y，y′)，q)=

(hδ(x*y，q)∩hδ(x′*y′，q))∩(hδ(y，q)∩hδ(y′，q))=

(hδ(x*y，q)∩hδ(y，q))∩(hδ(x′*y′，q)∩hδ(y′，q))⊆

hδ(x，q)∩hδ(x′，q)=hτδ((x，x′)，q).

又令x、x′、y、y′、z、z′∈X，q∈Ω，则有

hτδ(((x，x′)*(y，y′))*(z，z′)，q)=hτδ(((x*y)*z，(x′*y′)*z′)，q)=

hδ((x*y)*z)，q)∩hδ((x′*y′)*z′)，q)⊇

hδ(x*(y*z)，q)∩hδ(x′*(y′*z′)，q)=

hτδ((x*(y*z)，x′*(y′*z′))，q)=hτδ((x，x′)*((y，y′)*(z，z′))，q)，

因此，τδ∈Q-Ω-HFI(X×X).

反之，假设τδ∈Q-Ω-HFI(X×X)，则对∀x∈X，q∈Ω，我们有

hδ(0，q)=hτδ((0，0)，q)⊇hτδ((x，x)，q)=hδ(x，q)，

又有

hδ(x，q)=hτδ((x，x)，q)⊇hτδ((x，x)*(y，y)，q)∩hτδ((y，y)，q)=

hτδ((x*y，x*y)，q)∩hτδ((y，y)，q)=hδ((x*y，q)∩hδ(y，q)，

即δ∈Ω-HFI(X).

又对∀x、y、z∈X，q∈Ω，我们有

hδ(((x*y)*z)，q)=hτδ(((x*y)*z，(x*y)*z)，q)⊇

hτδ((x*(y*z)，x*(y*z))，q)=hδ(x*(y*z)，q)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(X).证毕.

定理12设X是一个非空的BCH代数，令τ∈Ω-HFI(X×X).则

(ⅰ)∀x、y∈X，q∈Ω，则hτ((x，0)，q)⊇hτ((x，y)，q)或hτ((0，y)，q)⊇hτ((x，y)，q)成立.

(ⅱ)∀x、y、z∈X，q∈Ω，如果x≤y，则hτ((x，0)，q)⊇hτ((y，z)，q).

证明：(ⅰ)∀x、y∈X，q∈Ω，我们有

hτ((x，0)，q)⊇hτ((x，0)*(x，y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((x*x，0*y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((x，y)，q)=hτ((x，y)，q)

和

hτ((0，y)，q)⊇hτ((0，y)*(x，y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0*x，y*y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((x，y)，q)=hτ((x，y)，q).

(ⅱ)假设x≤y，∀x、y、z∈X，q∈Ω，则有

hτ((x，0)，q)⊇hτ((x，0)*(y，z)，q)∩hτ((y，z)，q)=

hτ((x*y，0*z)，q)∩hτ((y，z)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((y，z)，q)=hτ((y，z)，q).

证毕.

证明：对∀y∈X，q∈Ω，有

令∀x、y∈X，q∈Ω，则有

hτ((x，y)*(0，z)，q)∩hτ((x，z)，q)=hτ((x*0，y*z)，q)∩hτ((x，z)，q)=

又令y、z、w∈X，q∈Ω，则有

hτ(((x，y)*(0，z))*(0，w)，q)⊇hτ((x，y)*((0，z)*(0，w))，q)=

3 结 论

作为模糊集一个重要的分支，犹豫模糊集对研究BCH代数有非常重要的理论意义. 许多文献研究了BCH代数的模糊理论，主要讨论BCH代数上的模糊子代数和模糊理想等相关性质.本文在相关概念的基础上研究了BCH代数的拟结合Ω-犹豫模糊理想，讨论了它的一些性质，丰富了BCH代数和犹豫模糊集的理论.