对称性在积分计算中的应用

姚晓闺 陈俊霞 丁小婷 （陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽 合肥 230031）

一、定积分的对称性及其应用

若f（x）在［-a，a］上可积，则

二、重积分的对称性及其应用

1.二重积分的对称性原理

二重积分具有以下对称性：

设二元函数f（x，y）在平面区域D 内连续，且D关于x 轴对称，则

当D 关于y 轴对称时，也有类似结论.

设二元函数f（x，y）在平面区域D 内连续，且D关于x 轴和y 轴都对称，则

设二元函数f（x，y）在平面区域D 内连续，D＝D∪D，且D，D关于原点对称，则

设二元函数f（x，y）在平面区域D 内连续，D ＝D∪D，且D，D关于直线y＝x 对称，则

当D，D关于直线y＝-x 对称时，也有类似结论.

易知题中被积函数｜x｜+｜y ｜为x，y 的偶函数，且D区域具有对称性.

2.三重积分的对称性原理

设f（x，y，z）在区域Ω 上可积，Ω 关于xOy 面对称，Ω是Ω 在xOy 面上方部分，则有

当Ω 关于其他坐标面对称时，也有类似结论.

设f（x，y，z）在区域Ω 上可积，Ω 关于原点对称，Ω是Ω 位于过原点O 的平面一侧的部分.则有

注意到Ω 关于yOz 面对称，而Ω关于三个坐标面都是对称的，所以

三、对弧长的曲线积分的对称性及其应用

设L 是平面上分段光滑的曲线，且P（x，y）在L上连续.

1）若L 关于x 轴对称，则

其中L是L 在上半平面的部分.

当L 关于y 轴对称时，也有类似结论.

2）若L 关于原点对称，则

四、对面积的曲面积分的对称性及其应用

设有界光滑或分片光滑曲面∑关于xOy 平面对称，f（x，y，z）为曲面∑上的连续函数，则

当∑关于yOz 面、zOx 面对称时，也有类似结论.

五、积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分

设Ω∈R，如果（x，y，z）∈Ω 时，都有（z，x，y），（y，z，x）∈Ω，，则称区域Ω 关于变量x，y，z 具有轮换对称性.

定理1设积分区域Ω 关于变量x，y，z 具有轮换对称性，则有

设积分区域Ω 关于变量x，y，z 具有轮换对称性，则有

设积分区域D 关于变量x，y 具有轮换对称性，则有

对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：

设曲线Γ 关于变量x，y，z 具有轮换对称性，则有

设曲面∑关于变量x，y，z 具有轮换对称性，则有

易知积分区域D 关于变量x，y 具有轮换对称性，由定理2，得

因为积分区域Γ 关于变量x，y，z 具有轮换对称性，由定理3，得

六、结束语

本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的.通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用.与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能.