指向直观想象素养培养的高中数学解题教学策略

石丽敏 （福建幼儿师范高等专科学校，福建 福州 350007）

所谓直观想象素养，依照2017 年新版普通高中数学课程标准的解读，它的含义是指：借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.作为高中阶段学生学习数学所必备的核心素养之一，直观想象素养具有重要的价值，数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的形成过程都需要直观想象素养的辅助.在对数学问题进行求解的过程中，人们往往需要借助直观手段或者运用直观想象来梳理解题的思路，探求解决问题的方向和路径，从而发现结论、做出猜想.因此，教师要充分重视直观想象在解题中的重要作用，从实际出发，引导学生在分析、探究问题的过程中逐步提高直观想象素养.

一、高中数学解题教学实施的原则

（一）主体性原则

传统的解题教学侧重于教师注入式的解释，弱化了学生的主体意识，这不利于学生探究能力、创新意识的培养.随着教育教学改革的不断深入推进，高中教育正在从应试教育向全面育人的教育模式进行转换，而解题教学也应以学生的主体性发展为目的，把学生当作一个有发展、有自己想法、有十足潜力的人，充分发扬教学民主，给予学生自主探究、自主发展的机会.

要在解题教学中更好地贯彻主体性原则，其一，需要教师在进行教学设计时精选数学问题，结合具体的教学内容，选取一些探究性、开放性的问题，有效激发学生参与探讨的欲望，提高其学习的主动性和积极性.其二，教师在讲解问题时要重视学生思维的参与度，尽量避免一味地讲解，着重引导学生亲身经历解题的过程，主动探索问题，主动解决问题，自主得出结论，充分发挥主观能动性，发挥主体的作用.例如，对于某些题目，教师可以预留一些空间给学生发挥，启发学生自主发现解题的关键点，发表自己的个人观点，从而促进主观能动性的发展.

（二）过程性原则

传统的解题教学大多呈现的是一种精心设计的、条理化的、有固定逻辑的静态解题过程，而忽略了在探寻结果的过程中对学生能力的培养和思维的开发，这就容易导致学生过于接受既定的成果，缺乏主动去探索、发现的勇气和信心.其实，在解决一道问题的过程中，需要学生具备一些良好的思维品质，例如思维的广阔性、批判性、求异性等等.如果没有这些良好的思维品质作铺垫，对于一些复杂问题的解决就会显得尤为困难.因此，让学生在积极主动探寻解决问题的过程中提高思维品质，汲取有益的知识，才能有效提升解题的能力.

要在解题教学中更好地贯彻过程性原则，这就要求教师在讲解问题时不能只是就题论题，而是要选择合适的方法，突出解题的思维过程，让学生通过观察与比较、猜想与归纳、分析与综合等方式充分参与到解题中来，突出解题过程的生动性、形象性.例如，对于一道题目的解题思路，教师可以启发学生思考解答者为什么要以某个条件作为突破口？利用其他条件进行推导不行吗？他是怎么发现这样的思路的？等等，通过对这些问题的探讨，可以使得问题的讲解更具有趣味性，也有利于学生思维品质的发展.

（三）示范性原则

解题教学的示范性首先体现在例题的选择上，由于受课堂时间的限制，教师前期在确定授课的案例时，就需要对同类型的题目进行比较，选择其中具有代表性的、能够兼顾解题方法训练以及解题能力培养的题目，这样才能对同类型的题目起到示范作用，揭示解题的通性通法.然后可以对题目进行适当的变式、引申，以取得举一反三、夯实基础的功效.其次，解题教学的示范性还体现在要让学生通过教师的示范，梳理解题的格式，特别是在叙述题证明的过程中，应当做到层次分明、条理清晰、表述规范、详略得当.

除此之外，就解题教学而言，学生思维品质、解题能力的开发关键还是在于教师.当教师在课堂中呈现出自己解决问题时的思路和方法，并用从中透露出的良好的思维品质和创新意识感染学生时，无形之中也为学生思维能力的发展起到了示范性的作用.因此，教师需要多从日常的教学实践中发现自己思维品质形成的规律，并以此指导教学实践，更好地去带动学生，为学生树立榜样.

二、指向直观想象素养培养的高中数学解题教学策略

直观想象素养的培养体现在多个方面，主要表现为建立数形联系、图形描述、几何直观理解以及运用空间想象认识事物.据此，下面将结合相关案例，针对这四个主要表现，谈谈在解题教学中，可以从哪些方面入手，提高学生的直观想象素养.

（一）加强语言互译，学会利用图形描述问题

数学语言可以归结为文字、符号以及图形三种语言，不同的语言具有其独特的作用，但它们之间却又是可以相互转化的.直观想象素养的主要表现之一就是能够利用几何图形去描述抽象的数学问题，实现研究问题的图形化.而强化符号语言和文字语言到图形语言的过渡性教学，可以让学生学会运用图形描述问题，在经历图形化的过程中感受数学语言互译的强大威力，从而有效提升学生的直观想象素养.因此，教师在解题教学中要强化对数学语言互译的指导，引导学生主动观察题目的结构特征，帮助学生建立图形化的意识，在潜移默化中积累语言互译的经验.

案例1 中两个条件蕴含着平方、根号的代数方程，若应用常规的方法对式子进行开方、移项、合并同类项，其复杂性显而易见，因此直接利用代数方法求证比较困难.此时，教师便要着重引导学生观察问题中“数”的结构特征，试着对题目中的条件进行图形化.具体分为以下三个步骤：

3.根据步骤2 分析的结果，我们可以把符号信息图形化，构造出与之相对应的几何图形，如图1 所示.显然，依据面积法易证结论的正确性.

图1

小结：教师通过带领学生分析题目中的符号信息，观察代数式的结构特征，并在此基础上对已知条件进行图形化的处理，使得学生在脑海中建立起两个代数式和勾股定理、射影定理的联系.同时，学生在借助几何图形描述复杂问题的过程中，可以进一步加深对数学语言转化的理解，体会数学语言互译在解决问题中的重要作用，逐步提高直观想象素养.

（二）借助几何直观，学会利用图形理解问题

几何直观在数学中可表现为实物直观、简约符号直观、图形直观以及替代物直观这四种形式，它以“形”的方式形象地展现数学问题的信息，唤醒人们对数量关系和空间形式的直观感知和整体把握，有助于学生直观地理解相对复杂抽象的问题，寻求解决问题的思路.因此，在解题教学中，教师应当教授学生如何选择适合的直观模型，使得问题变得简明、形象，让学生体会到几何直观在解题中的重要作用，提高利用图形理解问题的能力，从而发展直观想象素养.

下列命题中正确的个数是（ ）.

①若直线，分别与平面平行，则

②若直线与平面内的一条直线平行，则

③若直线与平面内的两条直线，都垂直，则⊥

④若平面内的一条直线⊥平面，则⊥

A.0 B.1 C.2 D.3

案例2 属于立体几何中判定线线、线面、面面平行与垂直的内容，其中涉及许多判定定理以及推广的结论，容易混淆.因此，教师可以借助熟悉的长方体模型（如图2）帮助学生判定位置关系，更好地理解问题.具体方法如下：

图2

命题①：棱、所在的直线均平行于平面，但棱所在的直线显然不平行于所在的直线，故错误.

命题②：棱所在的直线平行于棱所在的直线，棱属于平面，但棱不与平面平行，故错误.

命题③：棱、所在的直线均垂直于，棱、属于平面，但不与平面垂直，故错误.

命题④：根据面面垂直的判定定理可以判断此命题正确，同时也可借助长方形模型进行验证.

综上所述，答案选B.

小结：教师通过借助熟悉的长方体模型，引导学生直观感知空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面间的平行和垂直，能够帮助学生更好地理解题目中四个命题所涉及的点线面间的关系，从而顺利筛选出错误选项.在这个过程中，学生能够感受到利用几何直观理解问题的重要性，提高对几何模型的认识，逐步增强直观感知能力.

（三）运用空间想象，把握事物间的联系

运用空间想象认识事物就是能够依据物体的形态特征建立几何图形，或者是能够依据几何图形想象出与之相关的物体大小、形状、结构和相互间的位置关系，这也是直观想象素养的主要表现之一.因此，在解题教学中，教师要帮助学生综合考虑图形与图形、图形与数量的关系，了解数学问题的本质，并借助想象建立几何图形，形成解决问题的思路，逐步提高空间想象能力.

图3 是正方体的展开图之一，若用它折叠成正方体，则哪一边与带★号的边相接呢？

图3

对于案例3 来说，关键是要根据展开图，对各个面拼凑成的正方体形态以及正方体面与面之间的位置关系进行想象，继而深入探索、猜想结果.具体教法如下：

正方体的平面展开图共有11 种，题设中的展开图属于“中间二连方，两侧各有两个”的“二二二”型.教师首先可以借助正方体模型，带领学生对正方体的空间形式进行观察、分析和认识，进而对正方体的点、线、面位置关系进行想象.在此基础上，对于具有一定空间想象能力的学生，便能够在脑海中进行“二二二”型正方体展开图的折叠过程，从而可以得到本题的正确答案.而对于空间想象能力较为薄弱的学生，则可以动手制作正方体，在上方标记字母，以此方式进行解题，进一步熟悉正方体的空间形式.

小结：教师通过带领学生观察分析正方体模型，对其整体结构以及不同的展开、折叠方式有了进一步的认识，从而帮助学生借助想象在脑海中建立题目所属的“二二二”型正方体形态，形成解决问题的思路.在此过程中，逐步锻炼了学生的空间想象能力，培养了直观想象素养.

（四）建立数形联系，学会利用图形解决问题

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数形结合思想的培养有利于发展学生的直观想象素养.利用数形结合的思想方法，以形助数、以数思形，逐步建立起数与形的联系，以此来寻求问题解决的突破口，这是学生在解题过程中不可或缺的一种能力.因此，教师在解题教学中要注重数形结合思想的渗透，加强对数与形转化的指导，使学生逐步建立借助几何图形解决问题的意识，强化解题能力.

对于案例4 来说，关键是要把｜｜+｜｜转化为已知长度的线段之和，这就需要指引学生根据已知条件画出图形（如图4）进行观察，实现由数到形的转化.

通过观察图4，可以发现、恰好是两个三角形的中位线，则此时可以把｜｜+｜｜转化为含｜｜+｜｜的形式，接着只要利用椭圆的定义便可以求出｜｜+｜｜的值，实现由形到数的转化.具体的解题过程如下：

图4

如图4 所示，设的中点为，，为椭圆的焦点，连接、.显然是△的中位线，是△的中位线.所以｜｜+｜｜＝2 ｜｜+2 ｜｜＝2（｜｜+｜｜）＝2×6＝12.

小结：教师启发学生分析题目条件，发现直接采取代数的方法进行求解难度较大，步骤烦琐，因此需要引导学生转变思路，从数与形结合的角度出发，根据已知条件作出相应图形，思考｜｜+｜｜的转化，探求解题的突破口，发现内在规律.在此过程中，可以强化学生的作图、读图和想图能力，感受将数与形进行巧妙结合对问题解决起到的关键作用，逐步提高直观想象素养.

三、总 结

直观想象素养为导向的高中数学解题教学核心是以解题教学为载体，将直观想象素养的培养贯穿于整个解题教学的过程当中，追求数学素养和解题教学质量双方面的有效提升.以往的解题教学侧重于呈现静态的解题过程，加上教师注入式的解释说明，不利于学生数学素养的提升.因此，应当重新思考以数学素养为导向的解题教学培养方式，既在遵循解题教学主体性、过程性以及示范性原则的基础上，通过加强语言互译、借助几何直观、运用空间想象以及建立数形联系的方式，实现直观想象素养的培养.