一道匀变速直线运动习题的7种解法剖析与思考

徐团芬

(内蒙古集宁一中)

1 问题的提出

物理教学和学习的重要目标就是培养学生的思维能力,培养思维能力的有效方法之一是开展一题多解方法的训练.高中物理匀变速直线运动规律中,通常涉及匀变速直线运动的基本关系,包括速度时间关系vt＝v0＋at,位移时间关系x＝v0t＋,位移速度关系＝2ax,以及中间时刻速度等于平均速度等于初末速度平均值,即,中间位置瞬时速度和位移差公式Δx＝aT2这3个重要推论.对于初速度为零的匀加速直线运动,还有诸如相等时间位移比、相等位移所用时间之比等连比表达式.由于基本规律和推论多而杂,匀变速直线运动问题往往有很多不同的解法,教师教学时要善于引导学生寻找多种不同的解法以拓展学生的视野,从而培养学生的思维能力.下面以笔者教学时遇到的一道匀变速直线运动习题为例,剖析7种解法的思路,供参考.

2 问题和解法

例质点从静止开始做匀加速直线运动,在第3秒内通过的位移为5m,求质点运动的加速度.

分析这是匀变速直线运动中一道常见的习题,从题给条件看,可以从匀变速直线运动的位移时间关系、位移速度关系、平均速度公式、图像法、位移差法及初速度为零的匀加速直线运动的比例式着手分析解答.

思路分析1因题目给出质点在第3秒内的位移是5m,首先易想到运用匀变速直线运动位移时间关系式解答,但第3秒内的初速度(即2s末的瞬时速度)未知,不宜直接套用位移时间关系研究,又因质点从静止开始运动,即计时开始时质点运动的速度为零,因而想到将第3秒内的位移求解转化为前3秒与前2秒内的位移之差.

解法1位移时间关系之转化研究段法

思路分析2若仍考虑运用位移时间关系解答问题,但不想将第3秒这一研究段转化为前3秒和前2秒这两段之差处理,只就第3秒直接运用位移时间关系解答,显然缺少第3秒内的初速度,此时可以考虑先运用速度时间关系表示出第3秒内的初速度,再套用位移时间公式直接研究第3秒这一时间段便可求出加速度.

解法2运用位移时间关系与速度时间关系

设质点在第3秒内的初速度为v0,质点加速度为a,则第2秒末的速度(第3秒的初速度)v0＝at.第3秒内由位移时间关系得

联立各式并将t＝2s,t′＝1s,x第3秒＝5m 代入,得加速度a＝2m·s－2.

思路分析3若考虑在第3秒内运用位移速度公式处理问题,则必定要将第3秒内的初末速度用加速度表示,又已知质点运动至第3秒初末的时间,因而可以运用速度时间关系式得出第3秒内的初末速度,再将此速度代入位移速度公式即可解决问题.

解法3运用位移速度公式与速度时间公式

设质点运动的加速度为a,质点在2秒末、3秒末的速度分别为v2秒末、v3秒末,0～2s时间内由速度时间公式得v2秒末＝at.0～3s时间内由速度时间公式得v3秒末＝at′.

小结以上三种思路和解法是从匀变速直线运动的速度时间关系、位移时间关系和位移速度关系这三种基本关系出发,利用三种基本关系当中的一种或两种组合搭配解决问题.

思路分析4匀变速直线运动中,若给出某段时间内的位移,则在这段时间内中间时刻的瞬时速度便可轻松求出,再运用速度时间公式便可解出质点运动的加速度.

解法4中间时刻速度等于平均速度法

设质点运动的加速度为a,质点在第3秒内的位移为x,质点在2.5秒末的速度为v2.5秒末,由第3秒内的平均速度等于中间时刻瞬时速度得v2.5s末＝＝＝5m·s－1.再由0～2.5s时间内速度时间公式得v2.5秒末＝at′,将v2.5秒末＝5m·s－1,t′＝2.5s代入,解得加速度a＝2m·s－2.

思路分析5匀变速直线运动中,平均速度不仅等于中间时刻瞬时速度,还等于初末速度的平均值,即,因第3秒内的位移已知,故第3秒内的平均速度可以求出,因而只要将第3秒的初末速度表示成加速度代入式子便可求出加速度.

解法5平均速度法

设质点运动的加速度为a,第3秒内的位移为x,第3秒这一时间段内的初末速度分别为v2秒末、v3秒末,由速度时间公式得v2秒末＝at1,v3秒末＝at2.

由平均速度公式得第3秒内位移

联立各式并将t1＝2s,t2＝3s,t3＝1s和x＝5m代入,可得加速度a＝2m·s－2.

思路分析6众所周知,速度—时间图像与时间轴围成的图形面积表示物体运动的位移大小.因而可以在绘制匀变速直线运动的速度—时间图像基础上通过相应面积的大小等于位移大小的方法寻找答案.

解法6图像法

设质点运动的加速度大小为a,因v-t图像的斜率表示加速度的大小,故2秒末、3秒末对应的瞬时速度分别表示成v2、v3,由质点做匀加速直线运动易画出如图1 所示的速度—时间图像.根据图中阴影部分梯形面积等于第3s内位移5 m,可得x＝×1＝5,解得加速度a＝2m·s－2.

图1

小结从形式上看,解法5和解法6分别运用了公式法和图像法,但两种解法的本质非常接近.只不过解法5借助公式得出,解法6借助图像表示,从这个角度看,两种解法是统一的.

思路分析7因质点运动的初速度为零,且题目给出第3s内位移为5m,故可以通过初速度为零的匀加速直线运动的相关比例式得出第1秒内的位移,再结合位移时间关系研究第1秒即可求出加速度.

解法7比例式加位移时间关系

设质点在第1 秒内、第3 秒内的位移分别为x第1秒、x第3秒,质点运动的加速度为a,质点在第1秒内运动的时间为t,则由初速度为零的匀加速直线运动在连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶…,可得x第1秒∶x第3秒＝1∶5.

第1秒内由位移时间关系得x第1秒＝.

由以上两式并将x第3秒＝5 m,t＝1s代入,可得加速度a＝2m·s－2.

3 思考

从上述的解法分析可知,一道简单的匀变速直线运动习题竟然有多种不同的解法,且各有特色,有些偏重于基本关系的应用,有些快捷巧妙.多种解法既较好地巩固了匀变速直线运动基本规律和推论的应用,同时又发展了学生的发散思维能力,开阔了学生的视野.但我们在追求多种解法、巧妙解法的同时,不能忘了根本之法,即匀变速直线运动的基本规律,这些基本规律才是解决匀变速直线运动问题的根本之法.我们要大力提倡这些基本规律的应用,强调通式、通法和通解,那些所谓的推论,只有在一定的条件下方能成立,切不可弄巧成拙,本末倒置.

(完)