混合式监督学习的三维模型对应关系计算

杨 军，李金泰

(1.兰州交通大学 电子与信息工程学院，甘肃 兰州 730070；2.兰州交通大学 测绘与地理信息学院，甘肃 兰州 730070)

对应关系计算通常是指根据模型的特征及其语义信息寻找两个或多个模型间相同或相似对应元素的过程。对应关系计算是模型变形、模型插值、模型识别以及模型分割[1]等工作的研究基础，被广泛应用于考古学、医学、游戏动画制作、无人驾驶等领域，因此建立正确的模型间对应关系是相关研究领域中的一个亟待解决的研究难题[2]。

在三维模型对应关系计算的研究中，刚性三维模型对应关系计算的研究发展相对成熟，且能得到准确的对应关系结果，如迭代最近点匹配算法(Iterative Closest Point，ICP)[3]是最常用的刚性三维模型匹配算法。迭代最近点匹配算法将模型表面采样点的空间位置作为模型特征描述符，通过多次迭代使源模型和目标模型采样点之间的空间距离最小化以实现刚性三维模型的对应。然而在现实世界中，人体、动物等三维模型一般都带有形态或姿势的变化，当模型发生非刚性变换后，采用从刚性模型中提取到的特征无法得到准确的对应关系计算结果[4]。已有的一些非刚性模型的对应关系计算方法大多使用模型自身的几何信息，如曲率、法线、热核、波核等局部几何特征以及测地距离、扩散距离等全局几何特征，或使用人工设计的局部特征描述符，如尺度不变特征变换(Scale Invariant Feature Transform，SIFT)特征描述符[5]、方向直方图签名(Signature of Histograms of OrienTations，SHOT)特征描述符[6]来提取模型的局部信息。虽然上述方法取得了一定的研究成果，但仍存在不足之处，如特征提取方法的计算复杂度较高，局部描述符信息单一且鲁棒性差，获得的对应关系计算结果准确率低等问题。

2012年，OVSJANIKOV 等[7]开创先河，创新性地提出函数映射(Functional Maps，FM)方法。该方法将模型间对应关系计算问题转化为求解相应的函数映射矩阵的问题，显著地提高了计算模型间对应关系的效率和准确率，但该方法仅适用于完全等距的模型。由于现实世界中绝大多数的三维模型是近似等距和非等距的，加之在建模过程中存在的技术缺陷和几何计算中存在的离散化误差等因素，即使是针对不同姿态下的同一刚性模型，也不能保证两个采样点之间的距离度量保持完全等距不变。因此，非刚性近似等距三维模型对应关系计算成为近几年的一个研究热点。如今，深度学习技术正如火如荼地发展，尤其在数字图像领域成效卓然。在这一背景下，研究者们开始尝试将深度学习方法迁移到解决对应关系计算的问题上，大多数方法利用卷积神经网络对模型特征描述符进行学习。然而到目前为止，更高效且准确的非刚性近似等距乃至非等距的三维模型对应关系计算方法仍需不断探索。

笔者创新性地提出了混合监督深度函数映射网络(Mixed Supervision Deep Functional Maps Network，MSDFMNet)来计算近似等距非刚性三维模型间的对应关系，旨在探究一种端到端的学习方法，结合三维点云模型所包含的特征信息，优化函数映射矩阵，精细化逐点映射结果，提高近似等距非刚性三维模型间对应关系计算的准确率。主要创新点和贡献有：(1)通过弱监督学习对输入模型进行近似刚性对齐，并直接从原始的三维点云数据中学习特征，在降低人工成本的同时获取了更具鉴别力的特征；(2)在优化函数映射矩阵时，通过添加无监督加权正则化约束项获得更高质量的函数映射矩阵，进而计算出更准确的近似等距非刚性模型对应关系。

1 相关研究现状

模型间对应关系计算是计算机视觉、计算机图形学等领域的一项重要的基础性研究工作。目前，三维模型对应关系计算方法大致分为3类：基于模型特征描述符的方法、函数映射的方法和基于深度学习的方法。

模型特征描述符包含模型几何特征信息和语义特征信息。常用的模型特征描述符一般包括4类[8]：(1) 基于模型表面特征的描述符。该类模型特征描述符致力于描述模型表面的特征及其在全局欧氏变换下的不变性，如SIFT描述符和SHOT描述符等。(2) 基于模型统计特征的描述符。该类模型特征描述符根据统计量的稳定性来描述模型的全局特性，如模型分布(Shape Distribution，SD)描述符[9]和内部距离模型签名(Inner Distance Shape Signature，IDSS)描述符[10]等。(3) 基于模型拓扑结构的描述符。该类特征描述符将三维模型对应关系计算问题转换成其拓扑结构对应问题，具有代表性的两类描述符分别是基于Reeb图理论的描述符[11]和基于模型的骨架线理论的描述符[12]。(4) 基于谱分析的模型特征描述符。该类特征描述符诱导出的谱距离是一种良好的度量结构，具有等距不变性，如热核签名(Heat Kernel Signature，HKS)[13]、波核签名(Wave Kernel Signature，WKS)[14]以及将二者融合的描述符[15]等。虽然选取最优模型特征描述符的对应关系计算方法比直接计算点到点映射方法的效率大幅提高，但该类方法大多存在鲁棒性差、人工设计的描述符良莠不齐、严重依赖专家经验且易受模型自身对称性、拓扑结构改变等影响而导致对应结果准确率低的问题。

函数映射方法[7]由OVSJANIKOV 等首次提出，目的是解决非刚性模型对应关系计算问题。研究者在后续研究中不断拓展与探究[16]，将函数映射方法应用在解决残缺模型对应关系计算[17]、模型簇对应关系计算[18]、切向量场的泛函表示[19]等问题上。相比单纯计算复杂的、非线性的点到点映射，函数映射能获得更准确的对应关系。虽然该方法将点到点的映射简化为线性方程组的求解，但是基于该理论的计算方法过度依赖特征描述符的选择，仅适用于完全等距的三维模型，且产生的映射不具备双射性，无法得到准确的纹理映射结果。REN等[20]提出一种利用函数映射框架计算非刚性模型间对应关系的方法，通过添加连续性和方向性等约束，以获得高质量的函数映射，但该方法优化步骤复杂，计算复杂度高。文献[21]提出了一种校准三维几何模型之间基矩阵的对应关系计算方法，将模型间对应关系的构建转化为由模型特征函数构建的基矩阵之间的校准运算，但当模型产生形变时，将导致模型间的基函数出现不一致的情况，进而无法得到准确的对应关系。WU等[22]针对非刚性三维残缺模型的对应关系问题，提出一种基于全频谱特征值对齐和上采样细化的三维模型部分函数映射新方法，但该方法的定位正则化项需要大量的特征值来参与运算才能获得准确的对应关系，且也不支持非等距残缺模型的对应关系计算。

近年来，随着深度学习技术的发展，研究者开始尝试将其应用在模型间对应关系的计算中，主要通过训练深度学习网络以提取特征描述符和学习构建对应关系。HUANG等[23]采用多视图神经网络来获取模型局部描述符，通过局部描述符构建等距模型间准确的对应关系。然而，对于近似等距和非等距模型，由于几何拓扑结构发生较大变化，经学习后产生的模型间对应关系准确率不高。CHEN等[24]提出一种基于深度三重卷积神经网络联合学习模型特征描述符的方法来计算三维模型对应关系，通过生成局部的、基于点的、更具区分性的模型特征描述符来提高对应关系的准确率，但该方法使用固定大小和数量的局部区域来生成多尺度特征，对于不同的三维模型，局部区域大小和数量的选择需要结合其结构来重新考虑，导致该方法泛化能力不佳。GROUEIX等[25]提出一种基于模板的编-解码器深度网络，编码器模型变形网络生成全局模型描述符，解码器模型变形网络使用全局描述符将模板上的点映射回原始模型。然而，该方法对应关系的结果严重依赖设计模板的质量，对于不同数据集则需要重新设计特定的模板。

为了利用上述3类方法各自计算对应关系的优势，越来越多的研究者致力于探究如何将三者有机地结合在一起。LITANY等[26]将深度学习技术与函数映射理论相结合，提出深度函数映射网络，将对应关系计算直接作为学习过程的一部分，通过任务驱动的特征描述符学习方式得到更为准确、涵盖信息更全面的模型特征描述符，但该方法需要大量的带标签数据进行训练以获得准确的对应关系，而正确的带标签数据的获取需要耗费大量的时间和人力成本。CORMAN等[27]提出在函数映射框架的基础上寻找最优的特征描述符集，但该方法需要真实对应关系进行监督学习，而真实对应关系稀缺且获取代价昂贵。ROUFOSSE等[28]提出一种无监督学习方法计算模型间的对应关系，利用函数映射框架，通过计算给定描述符函数的非线性变换获得函数映射结果，同时优化所得映射的全局结构属性，但当模型受拓扑噪声影响时，模型匹配率将大幅下降。HALIMI等[29]提出一种无监督深度函数映射网络，用模型的几何约束代替模型间真实对应关系，定义无监督损失函数来评估对应关系的准确性，可以减少对带标签数据的依赖，但该方法对模型的局部尺度变化和拓扑变化敏感，对于近似等距和非等距的模型会产生不准确的对应关系。

从广义上来说，现有的深度函数映射方法主要包括特征提取器、基函数的选择以及对函数映射的正则化约束，其存在的主要问题有：(1)需要大量的训练数据或人工制作的特征描述符作为输入，导致时间复杂度和计算复杂度增大，且提取到的模型特征信息有限。(2)无法有效地解决模型因自身对称性影响对应关系计算问题。(3)大多数算法适用于等距模型，对近似等距和非等距模型的对应关系计算效果不佳，算法的泛化能力较差。为解决现有方法所存在的局限，以实现高精度三维模型对应关系计算为主要研究目标，笔者基于深度学习网络，对近似等距非刚性的三维模型对应关系计算方法进行了探索。

2 函数映射及结构正则化约束

2.1 函数映射

(1)

(2)

又根据

(3)

可从式(3)中得以下结论：

(4)

因此可以通过式(4)来求出系数{cij}，而得到由系数{cij}构成的矩阵C就可以求出最终映射TF，也就是说，通过求解矩阵C可以构建两模型的映射关系T。

综上所述，可以将基于函数映射的对应关系计算方法归纳为以下4个步骤：

步骤3 通过计算以下优化问题来得到最终的函数映射矩阵C：

(5)

其中，Edesc(CMN)为描述符保留项，Ereg(CMN)为正则化项，Λm和ΛN分别是源模型M和目标模型N的拉普拉斯-贝尔特拉米特征值的对角矩阵，α是标量权重参数。

步骤4 通过函数映射矩阵C恢复到点到点的映射T，即将映射从谱域转换到空间域。

2.2 深度函数映射

虽然函数映射的方法简单而有效，但它依赖于特征描述符的初始选择。随着数据驱动技术的发展，为了减少这种依赖，研究者们尝试从数据中学习最佳初始特征描述符，如文献[26-29]。这些研究的目的都是学习一组给定特征描述符的非线性变换，使得计算出的最佳映射尽可能地接近在训练期间给出的真实对应关系。这种变换既可以在有监督损失的情况下学习，如文献[26-27]，也可以在无监督损失的情况下学习，如文献[28-29]。

函数映射方法与深度学习的结合源于文献[26]。2017年，LITANY等首次提出了深度函数映射网络(Deep Functional Maps Networks，DFMNet)，专注于解决以下优化问题：

(6)

2.3 结构正则化约束

虽然DFMNet可以构建高度精确的对应关系，但其仅适用于模型存在高质量真实对应关系作为监督的情况，而且计算模糊映射损失需要所有点对的测地距离，这使得它的计算代价昂贵。为解决此问题，研究者们对模型进行结构属性约束来代替计算lF，如双射性约束[30]、正交性约束[31]、拉普拉斯算子的交换性约束[32]等。

双射性约束是给定一对模型，从源模型到目标模型的函数映射矩阵和从目标模型到源模型的函数映射矩阵为互逆矩阵。通过使两者之间的乘积趋于单位矩阵来实现。该约束定义如下：

E1=‖CMNCNM-I‖2+‖CNMCMN-I‖2，

(7)

其中，CMN为从模型M到N的函数映射矩阵，CNM为从模型N到M的函数映射矩阵，I为单位矩阵。

正交性约束是给定一对模型，当且仅当它们之间的函数映射矩阵正交时，点到点的映射结果才能保持局部最优。该约束定义如下：

(8)

拉普拉斯算子的交换性约束是给定一对模型，通过将拉普拉斯算子与函数映射矩阵进行交换，以确保模型之间近似等距。该约束定义如下：

(9)

其中，R(Δγ)表示基于拉普拉斯-贝尔特拉米算子构建的能量约束矩阵；Δγ表示拉普拉斯-贝尔特拉米自伴算子的γ次方，γ取值为0.5，r∈R，s∈R，i为虚数单位。

3 混合监督深度函数映射网络

针对现有三维模型对应关系计算方法的不足，结合经典函数映射理论与数据驱动技术，构建一种混合监督深度函数映射网络。该框架如图1所示，主要由弱监督特征提取模块、无监督函数映射模块、后处理模块组成。

混合监督深度函数映射网络对应关系计算方法的具体实现步骤如下：

(1) 将一对三维点云模型(源模型M和目标模型N)输入到弱监督特征提取模块中，通过弱监督学习后直接从原始三维几何模型中提取特征，获得信息量更丰富的特征。

(3) 计算两个模型间的函数映射关系，即通过最小二乘法计算出函数映射矩阵C，再利用加权结构正则化约束项来获得最优函数映射矩阵Copt。

(4) 将得到的最优函数映射矩阵Copt输入到后处理模块中，使用频谱迭代上采样ZoomOut算法恢复到点到点的映射关系。

3.1 弱监督特征提取模块

本模块主要实现三维模型的特征提取。主要步骤如下：

第1步，采取弱监督的方式来使源模型和目标模型近似刚性对齐，从而规避对代价昂贵的模型间真实对应关系的需求和解决因模型自身对称性影响对应关系计算准确性的问题。具体来讲，通过弱监督学习中的不完全监督学习将点云目标模型的y轴和z轴方向与源模型方向保持一致，对输入的模型进行刚性变，换使得非刚性模型近似刚性对齐，以解决特征提取器无法区分模型左右对称部件而导致不能准确对应的问题。

第2步，通过共享学习参数的孪生神经网络来提取源模型M与目标模型N的特征。由于点云数据能够准确、直观地描述三维模型，笔者提出的算法可直接从原始的点云模型中提取特征。特征提取网络是基于PointNet++[33]中提出的网络模型。首先，利用最远点采样法进行随机采样；其次，从小的邻域中提取带有精细几何结构信息的局部特征，这些局部特征被进一步分组为更大的单元，通过层级迭代的方式不断生成更高级别的特征，最终得到一组全局特征。特征提取网络包含4个采样层和4个特征传播层，其中采样层第一层对每个模型采样1 024个点，特征传播层最后一层为每个模型输出128维特征。

3.2 无监督函数映射模块

L=α1E1+α2E2+α3E3，

(10)

其中，E1为双射性约束，E2为正交性约束，E3为拉普拉斯算子的交换性约束。通过大量实验，得出各约束相应的权重值，分别设置为α1=1，α2=1，α3=0.001。

3.3 后处理模块

函数映射算法的最后一步是将函数映射矩阵C转换为逐点映射。通过迭代谱信息上采样的方式来恢复逐点映射。这种简单而高效的映射精细化过程被称为ZoomOut算法[34]。该算法在初始映射矩阵上引入新的固定数值的模型特征基，从而通过这种在谱域中增加采样的方式，逐步获得更大的函数映射矩阵。具体来说，对于输入大小为kM×kN的函数映射矩阵C，将其扩展得到大小为(kM+1)×(kN+1)的函数映射矩阵C1。要实现这一目标，只需进行两步操作：

第1步，通过下式计算得到源模型M上任意点p到目标模型N上与之对应点q之间的映射T，并将其进行编码为矩阵П：

(11)

其中，ΦN(q)和ΦM(p)分别表示特征向量矩阵ΦN的第q行、ΦM的第p行，且C=(ΦN)TΠΦM。

ZoomOut算法避免了迭代最近点匹配算法需要计算点对之间欧氏距离的问题，并且即使对于给定非常小且有噪声的输入矩阵，也能获得准确的逐点映射关系。

4 实验结果与分析

4.1 实验环境及参数设置

本实验的软件环境为Linux Ubuntu 16.04操作系统，硬件支撑为i9-9900k CPU和NVIDIA GeForce RTX2080Ti GPU(11GB显存)处理器。运算平台为CUDA-Toolkit 9.0版本，采用Cudnn7.6.5作为网络的GPU加速器，深度学习框架为TensorFlow-GPU，版本号为1.13，编程语言为Python 3.7。

在实验中设置Batch Size为8，初始学习率为0.000 1。使用ADAM优化器，学习率衰减指数为0.7，衰减速度为200 000，网络训练过程迭代10 000次。

4.2 实验数据集

为了验证笔者提出的算法计算对应关系的准确性和网络的泛化能力，实验选用3个标准公开数据集，即FAUST数据集[35]、SCAPE数据集[36]和SURREAL数据集[37]来对笔者提出的算法进行定量和定性评估。FAUST数据集中包含100个人体模型，选取前80个进行训练，后20个进行测试；SCAPE数据集包含71个人体模型，选取前51个进行训练，后20个进行测试。对于FAUST和SCAPE数据集，笔者对其进行重新网格化处理，一方面在提高网格元素质量的同时降低了网格的复杂度，另一方面使得模型不同的网格不再是一对一的对应，可以更好地评估算法的对应关系准确率和泛化能力。SURREAL是一个对人体运动数据进行捕捉再进行三维序列渲染之后所合成的大规模数据集。该数据集包含23万个人体模型，并结合对真实人体体型和姿态变化学习的SMPL模型(Skinned Multi-Person Linear model)来保证模型的真实度。笔者选取该数据集的500个模型作为训练集，以在不同数据集上测试所提算法的泛化能力。

4.3 实验结果与分析

(1)定性实验。图2与图3分别是笔者提出的算法与3D-CODED算法[25]、DFMNet算法[26]、SURFMNet算法[28]和Unsup FMNet算法[29]在FAUST和SCAPE数据集上构建的人体类内模型和类间模型的对应关系结果对比。

SCAPE数据集比FAUST数据集更具挑战性，因为在SCAPE数据集中模型的姿态更丰富，所包含的特征也比FAUST数据集中的少。笔者还进一步通过对比纹理传输的结果展示了定性实验的结果。图4与图5分别是笔者提出的算法与其他算法在FAUST和SCAPE数据集上构建的纹理传输对应关系结果。纹理传输是把一幅图像贴到三维模型的表面来增强真实感，可以更好地展示出所得映射的局部失真情况。

从图4和图5可以得出，笔者提出的算法与其他算法相比具有更高的对应关系来构建准确率，所得到的纹理映射也最接近映射的实际情况。原因主要有：(1) 通过弱监督学习可以使源模型与目标模型近似刚性对齐，解决了对应关系计算结果受模型自身对称性影响的问题。(2) 由于点云数据具有置换不变性以及几何不变性的特点，直接从原始点云数据中提取到的特征包含更丰富的信息。(3) 通过施加加权正则化约束项得到更优的函数映射矩阵，进而对输入的近似等距非刚性模型生成更精确的对应关系。(4) 在恢复逐点映射时所采用的ZoomOut算法使得所得映射关系更加准确，更加接近实际情况。而3D-CODED算法由于严重依赖模板的质量，当模型拓扑结构发生改变时，类内模型与类间模型上均出现大量错误对应。DFMNet算法由于训练时对带标签数据的依赖以及未对函数映射添加正则化约束项，极易受到模型自身对称性的影响，导致在类内模型与类间模型的手部与腿部均出现错误对应。SURFMNet算法与Unsup FMNet算法虽然比上述方法获得了更好的对应结果，但由于SHOT描述符对拓扑结构改变敏感，这两种算法在类间模型上均出现不同程度的局部错误对应。综上所述，定性结果表明了笔者提出的算法所构建的对应关系准确性更高，连续性更好，充分证明了这种算法的优越性。

(2)定量实验。利用归一化测地距离(Normalized Geodesic Distance，NGD)[38]对模型的对应关系质量进行定量评估。假设计算出一对模型的对应关系为(p，q)∈M×N，其真实对应关系为(p，q*)，则二者之间的测地误差计算公式如下：

(12)

其中，DN(q，q*)表示目标模型N上的点q与真实对应点q*之间的测地距离，S(N)为目标模型N的表面积。

为进一步评价文中算法与3D-CODED算法、DFMNet算法、SURFMNet算法、Unsup FMNet算法的对应关系计算结果，将不同算法在FAUST数据集和SCAPE数据集上的平均测地误差对比结果在表1给出。

表1 不同算法的平均测地误差

从表1可以看出，与3D-CODED算法、DFMNet算法、SURFMNet算法、Unsup FMNet算法相比，文中算法构建的对应关系平均测地误差在FAUST数据集上分别减小了0.013、0.051、0.034和0.036，在SCAPE数据集上分别减小了0.344、0.304、0.104和0.084，这充分验证了文中算法计算近似等距非刚性三维模型对应关系的能力。

通过绘制测地误差曲线来进一步展示定量结果。文中算法与不同算法在FAUST、SCAPE数据集上的测地误差对比曲线如图6所示。

由图6可知，在FAUST数据集上，笔者提出的算法有57.4%的对应关系没有测地误差，有93.5%的对应关系的测地误差小于0.02。当误差接近0.04时，该算法的对应关系准确率达到100%。在SCAPE数据集上，笔者提出的算法有8.1%的对应关系没有测地误差，有88.25%的对应关系的测地误差小于0.04。当误差接近0.1时，该算法的对应关系准确率达到100%。

表2为文中算法与3D-CODED算法、DFMNet算法、SURFMNet算法和Unsup FMNet算法在FAUST和SCAPE数据集上计算一对模型对应关系所需的平均运行时间对比结果。总体运行时间主要由3个阶段构成：在预处理阶段，3D-CODED算法需要对模型进行旋转和缩放等刚性变换，DFMNet算法、SURFMNet算法、Unsup FMNet算法及笔者提出的算法都需要计算模型的拉普拉斯算子的特征值和特征向量，而DFMNet算法还需要计算每个模型的测地距离矩阵。在训练和测试阶段，3D-CODED算法由于网络参数量较大，所以需要耗费较长的计算时间；DFMNet算法需要使用成对的测地距离矩阵来计算软映射损失，所以耗时最长；而SURFMNet算法、Unsup FMNet算法和笔者提出的算法都是使用无监督损失函数来对网络进行优化。在后处理阶段，3D-CODED算法使用K最近邻(K-Nearest Neighbor，KNN)算法得到最终的对应关系，DFMNet算法、SURFMNet算法、Unsup FMNet算法及笔者提出的算法都是将得到的函数映射矩阵恢复至逐点映射。不同的是，DFMNet算法和Unsup FMNet算法使用的是PMF(Product Manifold Filter)算法，SURFMNet算法使用的是ICP算法，而笔者则使用ZoomOut算法，耗时比ICP算法长，比PMF算法短，但效果均优于这两种算法。所以，总体的运行时间，笔者提出的算法和SURFMNet算法以及Unsup FMNet算法处于同一数量级，而3D-CODED算法和DFMNet算法总体时间要远远超过那3种算法。综上所述，笔者提出的算法在获得准确对应关系的前提下，在计算时间上也具备一定的优势。

表2 不同算法的运行时间比较s

(3)消融实验。表3为笔者提出的算法在SURREAL数据集上进行训练，在FAUST和SCAPE数据集上进行测试的消融实验结果。表3中的数据为测地误差。通过在弱监督对齐的情况下只添加约束项E1、约束项E2、约束项E3以及添加加权正则化约束项L和未在弱监督对齐情况下只添加加权正则化约束项LN这5种不同的设置进行实验。可以看出，在训练数据较少时，进行弱监督对齐和添加加权正则化约束可显著提高对应关系的准确率，进一步证明了笔者提出算法的有效性。此外，约束项E3对对应关系准确率的影响最大。综上所述，笔者提出的算法在训练数据有限的情况下仍能获得准确的对应关系，网络的鲁棒性更强，在不同数据集上泛化能力更好。

表3 消融实验结果

5 结束语

模型间的对应关系计算是计算机视觉和计算机图形学领域的研究热点与难点问题。笔者提出了一种采用混合监督深度函数映射网络计算近似等距非刚性三维模型对应关系的方法。首先对输入的原始点云模型进行弱监督学习以达到近似刚性对齐的效果，进而输入到特征提取模块中从原始的三维点云模型中学习特征；然后在无监督函数映射模块中对提取到的特征进行转换以获得所需的谱描述符，接着利用函数映射方法和加权正则化约束得到最优的函数映射矩阵；最后在后处理模块中将得到的最优函数映射矩阵恢复到逐点映射。在FAUST、SCAPE和SURREAL数据集上进行的实验结果表明，在不需要真实对应关系作为监督以及在训练数据有限的情况下，笔者提出的算法均取得优于目前主流算法的对应关系计算结果。

然而，这种算法仍存在进一步改进之处。如何解决更普遍的模型间对应关系问题，如单体模型与模型簇之间以及异质模型之间的对应关系计算问题、完整模型与残缺模型之间以及残缺模型与残缺模型之间的对应关系计算问题等，是今后需要继续研究的方向。