具有Hammerstein结构的非对称PI模型的超磁致作动器数学建模

李锐泓， 谢 飞,2， 吴明忠， 杨 帆， 陈鸿威， 林德昭， 李承洪

(1.华侨大学 机电及自动化学院，福建 厦门 361021； 2.杭州海康威视数字技术股份有限公司，杭州 310000)

随着技术的发展，机械产品在加工时的精度要求越来越高，很多场合都希望机械零件能达到更高的精度等级。而精密加工一般采用传统的驱动器，比如机械式和液压式等，这类驱动器往往由于具有机械结构而存在精度低、可靠性差以及工作频率较低等问题[1]。而智能材料驱动器由于其频率响应高、响应速度快等一系列优良的性能可以应用在精密加工上，超磁致伸缩驱动器就是一种典型的应用型产品。超磁致作动器相比于压电陶瓷类致动器，其性能更加优良，主要表现在其产生的位移行程更大、机械响应速度更快、驱动电压更低以及响应频率更高等[2]。由于超磁致作动器的优良性能，使得其应用在精密加工上成为了可能，但是超磁致作动器作为智能材料领域的一种应用型产品，也会存在着回滞非线性特性。这使得系统的速度、精度以及效率很难进一步提高，回滞非线性产生的原因是由于材料本身固有的物理特性，其微观解释不完全明确，所以很难在产品的设计上通过结构优化来消除或者减弱回滞非线性对系统的影响。为了实现对超磁致作动器的精确控制，就需要准确的数学模型来描述超磁致作动器的动态特性。因此本文重点进行超磁致作动器的数学建模研究。

目前基于超磁致作动器的数学建模中用到的数学模型主要有两类：一类是基于材料本身物理机制的物理回滞模型，主要是通过分析实际物理回滞系统的产生机理，将一系列应变应力等物理量的关系放入回滞模型中去模拟回滞过程，比如Jiles-Atherton(JA)模型等；另一类是根据回滞系统的输入输出数据建模的唯象回滞模型，直接利用纯数学的表达式来描述回滞曲线，比如Preisach模型、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型等。但是这几种模型中，JA模型比较难在数学上实现，而且参数往往相互耦合，在求解计算时误差比较大[3-4]。而Preisach模型的表达式比较复杂，运算量大，而且其在描述非对称的回滞现象时会产生高阶参数，无法灵活地运用[4-5]。PI模型的运算量比较小，结构简单也容易在控制器上实现。所以本文拟采用PI模型进行超磁致作动器的数学建模[6]。

针对PI模型应用在超磁致伸缩致动器上，国内外专家学者也进行了大量的研究。唐宏波[7]基于PI模型对超磁致伸缩作动器的回滞非线性特性进行建模，基于遗传退火算法对模型的参数进行识别，结果表明该模型能在80 Hz范围内较好地预测磁致伸缩致动器的位移输出曲线。赵寅将[8]PI模型运用到磁致伸缩驱动器的建模中，利用LMS算法辨识得到PI模型的最优权重系数向量，结果显示，所建立的PI模型可以精确的描述磁致伸缩驱动器的回滞特性，后续基于逆模型实时补偿进行控制试验，结果表明，回滞对磁致伸缩驱动器的驱动控制的影响被大幅减小了。杨斌堂等[9]基于PI模型对超磁致伸缩驱动器进行建模，用最小均方法进行模型的参数辨识，模型的预测误差为0.037 9 μm。翟鹏等[10]考虑到超磁致伸缩致动器的回滞非线性，分析了准静态改进型PI模型的数学机理，为了拓宽其动态条件下的频率适用范围，提出了一种改进型PI模型，并获得了满意的控制效果。Li等[11]在用修饰的PI模型针对超磁致伸缩致动器进行建模，并且建立了基于PI模型的逆模型，试验表明，修饰的PI模型在一定的输入信号频率范围内能较好地描述超磁致伸缩致动器的非对称回滞行为，所提出的逆模型能有效地改善超磁致伸缩的滞后行为。Xiao等[12]在经典PI模型的基础上进行修正，利用最小二乘法对修正的PI模型进行参数识别，结果显示，修正的PI模型能减小建模的误差，但是在高频率下模型精度依然不能保证。Aljanaideh等[13-14]将PI模型运用到超磁致伸缩致动器的回滞非线性建模上，并且提出了基于率相关的PI模型的新方法用于补偿压电定位致动器中率相关的滞后非线性效应。随后，所提出的的补偿新方法也被证明在超磁致伸缩致动器上有效，结果证明，所提出的补偿方法可以在不计算逆模型的前提下有效的补偿频率相关回滞非线性。Peng等[15]将PI模型运用到超磁致伸缩致动器的回滞非线性建模上，提出了率相关的修饰PI模型，然后利用约束最小二乘的方法辨识出了模型的参数，结果显示，在一定的频率范围内，率相关修饰PI模型可以有效地描述超磁致伸缩致动器的率相关回滞特性。郭咏新等[16]以Hammerstein模型对超磁致伸缩作动器的率相关回滞非线性进行建模，其中改进的PI模型和外因输入自回归模型分别表示模型的静态非线性部分和线性动态部分。在所建模型的基础上，提出了一种H∞鲁棒振动控制方法。孙洪鑫等[17]建立了磁致伸缩作动器动力学模型和拉索-磁致伸缩作动器面内控制系统方程，提出了基于移相法的拉索控制时滞补偿理论和拉索非线性控制系统的线性化方法，通过仿真分析得到了拉索振动控制时滞补偿效果。张伟等[18]基于模糊树提出一种带有动态非线性环节的Hammerstein-like建模方法以描述超磁致伸缩作动器的率相关回滞非线性特性，所提方法能在一定频率范围内建立一个统一模型，使之不仅能较好地描述单一频率输入信号下的迟滞环，也能较好地描述复合频率输入信号下的迟滞。

从前文看出，关于超磁致作动器的建模技术尚不成熟，主要是超磁致作动器本身存在着回滞非线性特性，而想要有效地对超磁致作动器的动态特性进行控制，就需要精确的数学模型来描述它，所以开展关于PI模型在超磁致伸缩致动器建模方面的研究很有必要，对超磁致作动器的进一步发展有较大的促进作用。

1 非对称PI模型

1.1 Play算子的定义

若假设Cm[0，tN]是定义域为[0，tN]的分段单调的连续函数的集合，[ti，ti+1]为[0，tN]的一个子区间，满足0=t0

Fr[v](0)=fr(v(0),0)

(1)

Fr[v](t)=fr(v(t),Fr[v](ti))

(2)

式中:Fr[v](0)为对应起始采样时刻在输入信号v(0)时Play算子的输出；Fr[v](t)为对应t时刻在输入信号v(t)时Play算子的输出；Fr[v](ti)为对应t时刻的前一采样时刻在输入信号v(ti)时Play算子的输出。

对于ti

fr(v,wr)=max[v-r,min(v+r,wr)]

(3)

式中:v为t时刻输入信号的值；wr为t时刻的前一采样时刻线性Play算子的输出值；r表示此时的Play算子的阈值，为非负数；[0，tN]表示0=t0

图1 线性Play算子Fig.1 Linear Play operator

关于经典的PI模型的研究最早开始于1928年[20]，是用多个具有不同阈值的Play算子进行加权叠加来表示回滞非线性的，其表达式为

(4)

式中:P[v](t)为经典PI模型的输出，对于超磁致伸缩致动器来说对应的物理量是位移；v(t)为PI模型的输入信号，对于超磁致伸缩致动器的物理量是电流；rj为第j个Play算子的阈值，为非负数，pj为第j个Play算子的权重系数，满足

(5)

1.2 非对称PI模型

在以往专家学者的研究中，发现经典的PI模型无法描述智能材料驱动器的非对称回滞现象，因此在经典PI模型的基础上修饰出了非对称的PI模型，其表达式为

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(6)

式中：v(t)为模型的输入；U(t)为非对称PI模型的时域输出；P[v](t)为经典PI模型的时域输出；H[v](t)为shift算子的时域输出；G[v](t)为辅助函数的时域输出。其中shift算子的定义如下：

若假设Cm[0，tN]是定义域为[0，tN]的分段单调的连续函数的集合，[ti，ti+1]为[0，tN]的一个子区间，满足0=t0

Hc[v](0)=hc(v(0),0)

(7)

Hc[v](t)=hc(v(t),Hc[v](ti))

(8)

式中:Hc[v](0)为对应起始采样时刻在输入信号v(0)时shift算子的输出；Hc[v](t)为对应t时刻在输入信号v(t)时shift算子的输出；Hc[v](ti)为对应t时刻的前一采样时刻在输入信号v(ti)时shift算子的输出。

对于ti

hc(v,wH)=max[cv,min(v,wH)]

(9)

式中：v为t时刻输入信号的值；wH为t时刻的前一采样时刻shift算子的输出值；c为此时的shift算子的斜率，为不等于1的正数；[0，tN]为0=t0

加入shift算子到经典PI模型中，是为了让加入shift算子的复合模型能够表示超磁致作动器的非对称回滞现象，另外为了精确地描述超磁致作动器的回滞环的导数不单调变化的情况，需要加入辅助函数来解决这个问题。

为了使得加入辅助函数后的非对称PI模型，在描述超磁致作动器的非线性回滞现象时，不改变原来经典PI的特征，辅助函数需要满足以下条件：

(1)为了保证加入辅助函数后，在输入信号的单调区间内，模型的输出也是单调的，辅助函数需满足以下条件：

在输入信号的单调区间内

U′(t)>0

(10)

即

P′[v](t)+H′[v](t)+G′[v](t)>0

(11)

(2)为了使得模型的导数不单调变化，辅助函数需要满足以下条件：

在输入信号单调的范围内任意两输入v1，v2下

(12)

只有满足了上述两个条件，辅助函数才有可能在不改变模型原有性质的情况下，使得模型在描述超磁致作动器的非对称回滞现象时，能够比较准确的描述超磁致作动器非对称回滞现象中导数不单调变化的现象。另外，辅助函数的确定是不唯一的，只要辅助函数在不改变模型原有性质的前提下，能够满足上述条件，都是可以被选择的。

2 超磁致伸缩致动器试验平台搭建

本试验平台是基于dSPACE半实物仿真系统搭建，主要由dSPACE、功率放大器(AE7224，具体参数：1 kVA、带宽为300 kHz)，位移传感器(Lion Precision CPL190，具体参数：最大量程为125 μm，灵敏度为80 mV/μm，测量精度为0.1 μm，带宽为15 kHz)、超磁致作动器(MFROTY77，具体参数：最大行程为±50 μm、最高激励频率为1 250 Hz)组成。试验平台如图2所示。

图2 超磁致伸缩致动器试验平台Fig.2 Experiment platform based on giant magnetostrictive actuator

3 单一非对称PI模型的超磁致作动器数学建模

3.1 单一非对称PI模型表达式确定

在前文对非对称PI模型做了整体的介绍，本部分基于非对称PI模型对超磁致作动器进行数学建模，本文中的试验数据基于美国ETREMA公司的MFR OTY77型超磁致作动器。

首先由于非对称PI模型的三个部分需要分别确定表达式，首先确定经典PI部分的表达式。对于经典PI模型部分的未知参数求解，涉及到的模型中的权重系数，权重系数和经典PI模型的初载曲线有关，经典PI模型的初载曲线指的是PI模型从零状态起逐渐增加到回滞环的最大值时的一段曲线，对超磁致作动器来说，就是指的零值输入电流到最大值输入电流的一段输出曲线，这段曲线的基本形状如图3所示，它是一个关于阈值rj的分段函数[22]。考虑到超磁致作动器的电流幅值相关性，考虑多个幅值，因此辨识信号采用衰减的正弦信号。

图3 初载曲线Fig.3 Initial loading curve

由于在确定经典PI部分的算子个数时，也需要确定权重系数，因此考虑到模型的精度，仅仅用经典PI模型做参数辨识，分别采用不同个数的Play算子。由于后续模型参数辨识的需要，定义超磁致作动器建模时的误差平方和为

(13)

式中：ue为超磁致作动器的试验输出；um为数学模型的输出，试验数据一共n组；ems为超磁致作动器数学模型的期望值与试验值的误差平方和。

辨识信号为正弦衰减信号，即采集到的超磁致作动器的输入电流信号和输出位移信号，为了兼顾多个幅值，最大电流为5 A，采集到的信号如图4所示。

图4 衰减激励信号和响应信号Fig.4 Attenuate excitation signal and response signal

将数据处理好以后，使得式(13)所示的目标函数最小，此时的ue为超磁致作动器的输出数据，um为经典PI模型的建模输出，并返回误差平方和。

在确定经典PI模型中Play算子的个数时，只需要用经典PI模型去做优化，返回误差的平方和，并且观察拟合的效果。在这个过程中，经典PI模型的阈值按照取平均值的方法，最大阈值为3，按照Play算子的个数进行等分间隔。按照不同的算子个数运用SQP算法进行参数辨识，SQP(sequential quadratic programming)算法，即序列二次规划算法，其基本思想是在确定的初始值附近通过二次近似逐渐得到更好的迭代点，在不同的迭代点处，SQP算法不断求解多个二次规划子问题，使得迭代点逐步接近优化问题的最优点[23]。其误差平方和与算子个数关系如图5所示。

图5 误差平方和与Play算子个数关系Fig.5 The relationship between the error sum of squares and the number of Play operators

由于Play算子的个数太少时，模型的误差比较大，然而算子太多会增加计算量，结合图5的误差平方和的变化结果，最终选定算子个数为11个Play算子进行后续建模。

在对shift算子的分析中，我们发现，c>1和01时的shift算子称为左shift算子，用于表示回滞环左边的非对称情况，将0

Hcl(v)=-Hcr(-v)

(14)

即回滞环的右边非对称可以转化为回滞环左边的非对称，所以，我们在模型中总是可以使用左shift算子来代替右shift算子，而不用总是在模型中使用两种类型的shift算子进行参数辨识和建模，所以我们在建模中，选择一种也就是左shift算子进行对超磁致作动器的非对称回滞现象的建模。由于超磁致作动器数据中的位移量不是很大，最大行程为50 μm，在c值选择1.1～1.8每隔0.1取值一次就可以描述超磁致作动器的回滞现象了。

在定好Play算子个数为11个的前提下，加上shift算子到模型中，选定不同的辅助函数，利用SQP算法进行参数的辨识，并返回误差平方和，最后根据结果选定误差平方和较小的辅助函数为建模的最终辅助函数选择。误差平方和与辅助函数选择的关系，如表1所示。

表1 不同辅助函数时的误差平方和Tab.1 Error sum of squares under different auxiliary functions

在选用辅助函数时：一方面希望误差平方和尽量小；另一方面希望未知数的数量不能太多，根据表1的结果，最终辅助函数的确定决定采用三阶的辅助函数，因为其误差平方和在三阶以后基本不变，而且未知数的个数也比较少。这样，非对称PI模型中的所有表达式全部确定。

3.2 单一非对称PI模型参数优化

前文确定了超磁致作动器的非对称PI模型的表达式，如式(15)所示的三个部分，分析发现，经典PI的P[v](t)部分和辅助函数部分的G[v](t)部分存在一个同类项是可以合并的，合并以后，未知参数减少了一个。

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(15)

使得建模输出和试验数据的误差平方和最小，此时建模时采用的非对称PI模型，式(16)中，ue为超磁致作动器的试验输出数据，而um为加入了shift算子和辅助函数的非对称PI模型的模型输出。

(16)

由于在经典PI模型中，默认权重系数是非负的，但是在非对称PI模型的参数识别中发现，权重系数中出现负数时，误差平方和会更小，而且即使权重系数出现负数也不会影响后续模型的逆模型的求解。所以我们在参数识别时，默认权重系数是可以为负数的。再具体的优化过程中，对参数进行无量纲化处理，使其在[0,1]的区间内寻找未知参数的最优解，未知参数的初始值设置为1，全部未知参数的识别结果如表2所示。

表2 非对称PI模型的参数辨识结果Tab.2 Parameter identification results of asymmetric PI model

为了验证优化的结果是收敛的，在相同的边界条件下，以不同的初始值开始优化，并且记录目标函数的变化过程，并记录优化的最终结果，不同初始值下的目标函数值变化情况，如图6所示。

图6 SQP优化时不同初始值下目标函数值与迭代次数的关系Fig.6 The relationship between the value of the objective function and the number of iterations under different initial values during SQP optimization

从图6可以看出，不同初始值下，优化从不同的迭代点开始，但是随着迭代次数的增加，最终目标函数都收敛于同一个值。比较不同初始值下，优化得到的22个参数的结果变化的比例，变化最大的在1%左右，变化的比例很小，可以得出优化的结果是收敛的。

3.3 单一非对称PI模型模型验证

在辨识出模型的参数之后，非对称PI模型部分的所有未知数全部辨识得到，将辨识得到的模型仿真与之前试验采集到的衰减信号进行对比结果如图7所示。定义建模仿真与试验数据的误差Em如式(17)所示，um为建模仿真输出位移，ue为超磁致作动器的试验输出位移。

(17)

分别用不同频率下的不同电流幅值的激励信号激励超磁致作动器和非对称PI模型，然后对比非对称PI模型和超磁致作动器的试验数据，结果如下：

图7 超磁致作动器的衰减信号建模仿真与试验数据对比Fig.7 Modeling simulation and experimental data comparison of attenuation signal of giant magnetic actuator

图8 超磁致作动器的衰减信号建模仿真与试验数据对比Fig.8 Comparison of modeling simulation and experimental data under 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

3.4 单一非对称PI模型建模结果分析

从图9可以看出，在单一非对称PI模型的建模中由于合并同类项以后减少了一个参数，但是所建立的单一非对称PI模型在1 Hz的激励信号频率不同激励信号幅值下和超磁致作动器的试验数据匹配度较高，能够较好的描述超磁致作动器的1 Hz下的非对称回滞现象。能够取得和Li等研究中相同水平建模精度的建模效果。但是当激励信号的频率较大时，所建立的单一非对称PI模型和试验数据的误差比较大，尤其是在频率达到300 Hz以上时，误差达到了20%，而这一点在大的激励信号幅值下表现的更加明显，比如电流幅值5 A频率500 Hz时的建模误差甚至达到了40%。

图9 超磁致作动器的4 A正弦激励信号下建模仿真与试验数据对比Fig.9 Comparison of modeling simulation and experimental data under 4 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

4 加入Hammerstein结构的非对称PI模型建模

经过前文基于单一非对称PI模型对超磁致作动器的回滞非线性的数学建模的结果分析，可以发现，单一非对称PI模型能够较好地描述超磁致作动器的回滞非线性的电流幅值相关，但是无法准确的描述其电流频率相关，本章主要针对超磁致作动器的回滞非线性的电流频率相关性进行数学建模。

4.1 Hammerstein结构

Hammerstein结构最早由Nanda等[24-25]提出，它描述了一种模型结构，这种模型包含一个静态非线性模块和一个线性动态系统模块，两个模块串联而成一种模型，如图10所示。

图10 Hammerstein模型的结构Fig.10 The structure of the Hammerstein model

图10中：v(t)为整个系统的输入信号；u(t)为整个系统的输入与输出之间的不可测的中间变量；y(t)为整个系统的输出信号，静态非线性函数M(v)和线性动态模型G(z)一起构成了整个动态系统。

Hammerstein结构的作用是用于研究被控对象自身特性近似非线性，而执行单元所出现出的特性近似静态非线性的情况，它是一种模块化建模的思想[26]。其优点是将静态非线性环节和线性动态环节两个模块进行串联，能够实现静态和动态的级联。Hammerstein结构最大的优点是能较好地反映过程的特征，这种性质若被用于超磁致作动器的频率相关回滞建模上，可以一定程度上的反应超磁致作动器的动态特性。

4.2 具有Hammerstein结构的非对称PI模型

前文分析出在1 Hz频率的信号下，超磁致作动器的回滞非线性的频率相关性很弱，此时可以用非对称PI模型来表示超磁致作动器的非线性环节。基于此，超磁致作动器的Hammerstein结构的非线性环节直接采用3.2节单一非对称PI模型中建模时采用衰减信号利用SQP算法辨识出来的数据建立。

受控自回归(auto-regressive with exogenous，ARX)模型是一种传递函数模型，具有计算量小、结构简单等优点，其可以表示成线性回归方程的形式，在工程中的应用比较广[27-28]。

这种模型是一种类似“黑箱”的模型，它是利用过程的输入信号和输出信号信息来建立系统的数学模型，既用在线性系统中，也用在非线性系统的辨识中[29-31]。

单输入单输出下的ARX传递函数模型的Z域描述可以表示为

A(z-1)Y(k)=B(z-1)U(k)+σ(k)

(18)

式中:σ(k)为随机噪声;U(k)为系统k时刻的输入；Y(k)为系统k时刻的输出，系统的输入和输出都是可观测的，而A(z-1)和B(z-1)为模型的估计参数，z-1为单位延迟算子[32-33]。

将式(18)表示成传递函数的形式，得到

式中:U(k)为系统的输入;Y(k)为系统的输出，系统的输入和输出都是可观测的；G(z-1)用来描述系统的输入输出特性；σ(k)为随机噪声；z-1为单位延迟算子[34]。

4.3 Hammerstein结构线性动态环节辨识

ARX模型的阶数采用基于赤池信息准则(Akaike information criterion，AIC)的过程来判定，通过寻找一个具有较小的AIC值的估计模型来决定模型的阶次[35]。AIC准则建立在信息理论基础上，用来表示给定模型丢失信息的相对数量，模型丢失的信息越少，该模型的质量就越高。AIC准则估计每个模型的质量，因此是一种确定模型的方法。而AIC值的定义一般为

(20)

式中:T为试验数据数量；d为模型中未知参数的个数；SSSE为误差的平方和，表达式为

(21)

首先给定ARX模型中传递函数G(z-1)的分子分母的阶次的变化范围，由于ARX模型的阶次默认为整数，那么在给定阶次变化范围时，每次不同阶次组合下进行计算时，式(20)中的d就为已知量。然后在计算AIC值进行判定时，需要计算SSE中对试验数据的极大似然的估计值y′j[37]。

在这个过程中，采用极大似然法进行估计，在不同的阶次组合下进行一一计算，每种阶次组合下，未知数的个数一定，AIC准则假设模型的误差服从独立正态分布，在采用极大似然法求解未知参数过程中，主要分为四步：

步骤1构造似然函数L(θd)，(θ1，θ2，...,θd);

步骤2取对数ln(L(θd));

基于AIC准则的判定过程的原理是权衡模型的拟合优良性和模型复杂度。式(20)中，In(SSSE/T)表示寻找到的模型和试验数据拟合的优良程度，因为在试验数据量一定的前提下，模型与试验数据的SSE值越小，表示模型和数据的拟合程度越高，模型的精度就越高。而2d/T表示对模型过度拟合的惩罚，由于试验数据量一定的情况下，d值越大，就表示模型中的参数数量就会变多，表示模型越不简洁。所以模型阶次比较低时，d的值比较小，此时ln(SSSE/T)占主导地位，但是当阶次慢慢变大，模型变得复杂时，ln(SSSE/T)的值将会变得较小，而且变化的越来越不明显，但是2d/T的值由于模型参数的变多而变得很大，占据主导地位这就使得AIC值出现了在某处会有最小值的情况，所以AIC准则一方面使得数据拟合的优良程度更高，但是又避免参数过多出现过度拟合的情况，是对模型正确概率和模型复杂度的综合评价[38]。

将采集到的扫频输入信号作为前文建立好的非对称PI模型的输入，然后计算出此时非对称PI模型的输出，将非对称PI模型的输出当做ARX模型的输入，将之前采集到的扫频信号下超磁致作动器动态系统的响应作为ARX模型的输出，然后对数据基于AIC准则的判定过程判定系统传递函数的阶次和形式，返回A(z-1)阶数为0阶，B(z-1)阶数为3阶时，AIC值最小。

此时传递函数的形式为

(22)

由于判定的过程中是基于似然函数进行参数估计，大样本下服从独立正态分布的似然函数取极值的情况就是误差平方和最小的情况，故此时的参数估计值能够保证模型的精度。

此时基于AIC准则的阶次判定过程中的未知参数的极大似然估计值为

(23)

但是传递函数的结果是由试验数据的离散点辨识得到的，所以辨识出来的传递函数是离散传递函数，但是建立的数学模型需要是连续的数学模型，前文所建立的非对称PI模型也是连续的模型，所以需要将离散形式的传递函数转化成连续形式。

离散传递函数转化为连续传递函数的方法比较多，本研究采用的是零阶保持的方法，保持技术广泛应用在动态系统的建模和控制中，因为它能够建立起连续控制系统和离散控制系统之间的联系[39]。零阶保持是由传统的数模转换器来完成对实际信号的恢复和重建的，它的原理是将一个采样信号保持一个采样周期来将离散的时间信号转换为连续的时间信号。试验中的采样间隔是0.000 02 s，可以用零阶保持的方法将离散的传递函数转化为连续的传递函数。转化后的结果为

(24)

然后将所得到的传递函数和非对称PI模型串联得到超磁致作动器的具有Hammerstein结构的非对称PI模型的完整数学模型。

5 具有Hammerstein结构的非对称PI模型验证

分别用不同幅值的正弦电流来驱动超磁致作动器，并计算该输入幅值正弦电流下的超磁致作动器的具有Hammerstein结构的非对称PI模型输出，并将试验数据和建模仿真数据进行比较。由于幅值水平较多，以几组为例，建模结果如图11和图12所示。

图11 超磁致作动器的1 A正弦激励信号幅值下建模与试验数据对比Fig.11 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

图12 超磁致作动器的2 A正弦激励信号幅值下建模与试验数据对比Fig.12 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of the 2 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

从正弦信号的建模仿真对比结果可以看出，正弦信号下，在50～400 Hz的频率范围内所建立的具有Hammerstein结构的非对称PI模型能够较好地匹配超磁致作动器的动态回滞特性曲线，误差在5%～8%。

6 加入Hammerstein结构前后的非对称PI模型建模效果对比

分别用不同幅值和不同频率的正弦信号激励单一非对称PI模型和具有Hammerstein结构的非对称PI模型，与超磁致作动器的试验数据进行对比，试验数据与建模仿真的误差定义如式(25)所示

(25)

式中:um为建模仿真输出位移;ue为超磁致作动器的试验输出位移，所示建模结果如图13所示。

图13 超磁致作动器的1 A激励信号幅值下不同建模结果与试验数据对比Fig.13 Comparison of different modeling results and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

从图13中可以看出，加入了具有Hammerstein结构的非对称PI模型在输入电流信号频率较低时和单一非对称PI模型的建模效果差别不是很大，但是随着电流频率增大，加入了具有Hammerstein结构的非对称PI模型能够更好的匹配超磁致作动器的试验数据，如在1 A电流赋值，频率450 Hz时，加入Hammerstein结构以后建模误差从20%下降到约5%，因此加入了Hammerstein结构的非对称PI模型能够比单一的非对称PI模型更好的描述超磁致作动器回滞非线性的频率相关性。

7 结 论

本文先基于单一非对称PI模型对超磁致作动器进行数学建模，在合并同类项减少了一个参数的情况下，所建立的单一非对称PI模型能够较好的匹配电流信号的幅值相关，但是无法准确地描述电流信号的频率相关。后续在单一非对称PI模型的基础上加入了ARX模型，建立了具有Hammerstein结构的非对称PI模型，结果发现，所建立的具有Hammerstein结构的非对称PI模型比单一的非对称PI模型能更准确地描述超磁致作动器回滞非线性的频率相关性，具体表现为当电流频率增大时，具有Hammerstein结构的非对称PI模型能更好的匹配试验数据，比单一的非对称PI模型具有更高的建模精度。最后，基于不同频率的正弦信号验证了所建立的具有Hammerstein结构的非对称PI模型的有效性。