多约束条件下平面相控阵系统自适应波束形成技术

龚 云

（南京电子技术研究所，江苏 南京 210013）

0 引 言

自适应数字波束形成（Adaptive Digital Beam Forming，ADBF）技术是近二三十年发展起来的先进的阵列信号处理技术，它通过对阵列天线各个阵元接收信号的复数加权，利用软件的方法使阵列主波束对准期望信号，零陷对准未知干扰源信号，从而大大提高系统的接收性能。ADBF 具有快速自适应波束置零、超低副瓣、超分辨率、自适应空时处理等优点[1]，在雷达、声呐、无线通信及射电天文等诸多领域得到了广泛应用。

平面相控阵系统比线阵系统具有更高的分辨率、更远的作用距离及更好的抗干扰能力[2]。因此，研究基于面阵的自适应波束形成算法具有很高的实用价值。文献[3]研究了基于面阵的SMI 自适应DBF 算法，但未研究平面阵在各种约束条件下的波束形成算法。文献[4]、[5]研究了三种约束条件（主瓣约束、主副瓣约束、主瓣约束且有规定零陷）下线阵的自适应波束形成算法。

本文将文献[4]中三种约束条件下的波束形成算法推广到面阵，并且改进第二种约束算法，提出第四种约束条件（主、副瓣同时约束且有规定零陷）下面阵的自适应波束形成算法，推导了该约束条件下的最佳权值表达式，并进行了计算机仿真。

1 矩形平面阵接收波束自适应零陷控制原理

自适应波束形成就是用数字处理的方法，对于某一方向的入射信号，补偿由于传感器在空间的位置不同而引起的传播路程差导致的相位差，实现同相叠加，从而实现该方向的最大能量接收。而对于非期望信号方向的未知干扰源信号，则自适应生成零陷，从而将其抑制[6]。

1.1 面阵接收信号模型

本文采用的阵列模型是N行M列的均匀矩形平面阵[7]。如图1 所示，(0,0)为参考原点，d1，d2分别为该矩形阵列的行、列间距。φ和θ分别为来波的方位角和仰角。将N×M矩形面阵转换成NM×1 列阵，则列阵中的第k个阵元在面阵中是坐标为(n，m)的阵元，n，m与k的关系如式（3）所示。设来波方向为(φS,θS)，则导向矢量定义为：

图1 N×M 均匀面阵模型

假定空间有L个信号，各信号源统计独立，则第k个阵元的接收信号为：

式中：nk(t)为测量噪声。n,m与k的关系为：

平面阵的接收信号表达式用矩阵形式表示为：

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xMN(t)]T为阵列的观测矢量，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sL(t)]T为信号矢量，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nMN(t)]T为噪声矢量。A(φl,θl)=[α(φ1,θ1),α(φ2,θ2),…,α(φL,θL)]为阵列导向矩阵，α(φl,θl)如式（1）中定义。

阵列的输出为各阵元信号的加权和。令加权矢量为w=[w1,w2,…,wMN]T，则阵列的输出为：

接收方向图为：

1.2 各种约束条件下面阵自适应零陷算法

文献[4]给出了三种约束条件下线阵的自适应零陷算法，分别是主瓣约束，主副瓣约束以及主瓣约束且有规定零陷的自适应波束形成算法。现在将这三种约束条件下的自适应零陷算法推广到面阵，给出第二种约束条件的改进方法，并推导出第四种约束条件下自适应波束形成算法的最佳权值表达式，即在主、副瓣同时约束且有规定零陷的自适应波束形成算法。

1.2.1 主瓣约束条件下的面阵自适应波束形成算法

根据最小均方无畸变响应(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)准则，最佳加权矢量为：

用n次采样信号矢量构成Rxx的最佳无偏估计为其中，Xn为：

根据式（7）计算出的接收波束权值，所形成的方向图不仅满足主瓣约束的条件，而且能在未知干扰源方向生成零陷[8-9]。

1.2.2 主、副瓣约束条件下面阵自适应波束形成算法

通常，不仅要求在干扰源方向生成零陷，而且对副瓣电平也有要求。此时，式（7）中的权矢量不能满足要求，需要对其进行修正。文献[4]中给出了满足副瓣要求的最佳权矢量表达式：

Rxx用估计值代替，即SMI 算法。虽然该算法收敛数度快，数字特性稳定，且干扰抑制效果好，但是当采样数较少时，将会引起波束方向图的主瓣畸变和副瓣增益过高。因此，由式（9）生成的权值进行滤波时，接收波束方向图的副瓣电平并不能满足期望的要求（通过后面的仿真亦可见）。

一种简单的改善方法是对角（DL）加载技术，就是对协方差矩阵Rxx进行对角加载：

1.2.3 主瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

实际中往往还要求接收波束在某个规定方向生成零陷，而不管该方向上有无干扰源存在。上述方法仅仅考虑的是在未知干扰源方向上生成零陷的最优加权矢量的求取。文献[4]中给出了主瓣约束且有规定零陷条件下线阵自适应零陷算法最佳权值的表达式，该表达式可以推广到面阵：

式中：Rxx=E[X(t)XH(t)]，λ=(CHRxx-1C)-1BH，B=[1,0,…,0]，C=[αS,αg,1,αg,2,…,αg,Ng]。这里C为一个阵元数乘(Ng+1)的矢量即MN×(Ng+1)，B是一个1×(Ng+1)的矢量。另外，C中αS为期望信号的导向矢量，αg,i(i=1,2,…,Ng)为规定零陷的导向矢量，且要求规定的零陷个数Ng≤MN-1。具体的推导过程可参看文献[4]。

根据式（11）计算出的接收波束权值，能够在未知干扰源方向上生成零陷，而且在规定的方向上也能生成零陷。但是，在这些约束条件下形成的波束旁瓣增益比较高。实际中，除了要求有上述约束条件外，还同时要求具有低增益旁瓣。

1.2.4 主、副瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

上述式（9）和式（11）分别考虑了有副瓣约束和有规定零陷约束条件下的自适应波束形成算法。在实际中，往往希望接收波束不仅在未知干扰源方向、规定方向上生成零陷，而且还要求波束的副瓣电平满足一定的要求。下面将推导在这些约束条件下接收波束的最佳权值表达式。

为了得到上述约束条件下的最优权值，在求解阵列总输出功率式的最小值时，不仅要考虑主瓣的约束、规定零陷的约束，还要考虑副瓣的约束。其中，规定零陷的约束可以描述为：

式中：αg,i，Ng如前面定义所示分别为规定零陷的导向矢量和规定零陷的个数，且有Ng≤MN-1。式（12）用矩阵表示为：

副瓣的约束条件可以描述为：

式中：w0为满足副瓣要求的权矢量，w0可以通过前面第二种约束条件下计算矢量e的方法得到[12-13]。

由于w0形成的接收波束可以同时满足主瓣约束的要求，因此，通过式（13）求解得到的w0也满足主瓣约束要求。所以，主瓣约束可省略。

因此，问题可以简化为满足式（13）、式（14）条件下的自适应波束形成算法。用Lagrange方法求解。Lagrange 函数定义为：

将式（16）代入式（13）求 解β，可得其中，I为单位矩阵。

根据式（16）计算出的接收波束权值，所形成的方向图不仅在未知干扰源方向、规定方向生成零陷，而且副瓣增益也能满足期望要求。

2 计算机仿真及分析

首先给出仿真的假设条件：假定接收天线阵是一个16×16 的矩形阵，阵元间距均为半波长，采样次数为1 024，并假设来波方向为（0°,0°），它是出现在第500 次采样的脉冲信号，信噪比为10 dB。有两个干扰源，干扰方向分别是（-40°,0°）和（50°,0°），且干扰噪声比分别为60 dB 和75 dB。当有规定零陷约束时，规定零陷方向设为（20°,0°）。有副瓣约束时，假设为30 dB 的Dolph-Chebyshev 加权。此处将所有信号源及规定零陷方向的仰角设为0°是为了方便作固定仰角上的二维截面图，便于观察。

2.1 主瓣约束条件下面阵自适应波束形成算法

如图2（a）所示为阵列的输出信号，可以清楚地看到，在第500 点处出现脉冲信号，说明干扰被抑制掉。图2（b）为接收波束方向图，从该图可以看到在干扰方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分别为-115.7 dB 和-117.8 dB。图2（c）是图2（b）中0°仰角上的二维截面图，从该图中可以更清楚地看到在两个干扰方向上形成很深的零陷。

图2 主瓣约束条件下面阵自适应波束形成算法

2.2 主、副瓣约束条件下面阵自适应波束形成算法

首先检验未作改进的此种约束条件下波束形成算法。如图3（a）所示为阵列的输出信号，可以清楚地看到，在第500 点处出现脉冲信号，说明干扰被抑制掉。图3（b）为接收波束方向图，从该图中可以看到在干扰方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分别为-108.8 dB 和-114.8 dB。图3（c）是图3（b）中0°仰角上的二维截面图，从该图可以更清楚地看到在两个干扰方向上形成很深的零陷。但是，从图3（b）中还可以看到，波束副瓣增益并未达到要求的-30 dB，第一副瓣增益仅为-11.38 dB。

图3 主、副瓣约束条件下面阵自适应波束形成算法

下面检验改进后的此种约束条件下波束形成算法。如图4（a）所示为阵列的输出信号，可以清楚地看到，在第500 点处出现脉冲信号，说明干扰被抑制掉。图4（b）为接收波束方向图，从该图中可以看到在干扰方向(-40°,0°)和(50°,0°)成零陷，深度分别为-123.7 dB 和-135.1 dB。图4（c）是图4（b）中0°仰角上的二维截面图，从该图中可以更清楚地看到在两个干扰方向上形成很深的零陷。对比图4（b）和图3（b），可以看到图4（b）中的副瓣降低，第一副瓣增益达到-34.4 dB，说明改进的方法有效。

图4 改进后的主、副瓣约束条件下波束形成算法

2.3 主瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

如图5（a）所示为阵列的输出信号，可以清楚地看到，在第500 点处出现脉冲信号，说明干扰被抑制掉。图5（b）为接收波束方向图，从该图中可以看到在干扰方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分别为-116.3 dB 和-116.1 dB。在规定方向(20°,0°)也形成很深的零陷，深度为-325.9 dB。图5（c）是图5（b）中0°仰角上的二维截面图，从该图中可以更清楚地看到在两个干扰方向以及规定的方向上形成很深的零陷。

2.4 主、副瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

如图6（a）所示为阵列的输出信号，可以清楚地看到，在第500 点处出现脉冲信号，说明干扰被抑制掉。图6（b）为接收波束方向图，从该图中可以看到在干扰方向(-40°,0°)和(50°,0°)形成零陷，深度分别为-123.9 dB 和-115.1 dB。在规定方向(20°,0°)也形成很深的零陷，深度为-325.1 dB。图6（c）是图6（b）中0°仰角上的二维截面图，从该图中可以更清楚地看到在两个干扰方向以及规定的方向上形成很深的零陷。同时，比较图6（b）和图5（b），可以明显看到图6（b）中的副瓣得到降低，第一副瓣增益为-32 dB，满足副瓣约束要求。

图5 主瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

图6 主、副瓣约束且有规定零陷条件下面阵自适应波束形成算法

3 结 语

本文讨论了各种约束条件下均匀矩形平面阵的自适应波束形成算法。面阵系统的复杂性和实时性要求算法用少量的采样数据完成波束的控制。SMI 算法很难满足副瓣要求，采用对角加载技术能够解决副瓣增益过高的问题。本文还推导了主、副瓣约束且有规定零陷条件下最佳权值表达式。仿真结果表明，不同约束条件下计算得到的权值矢量表达式是有效的，能够满足要求。