因式分解教学中数学思想方法的渗透策略

□金龚逸 光楚寒 孟凤娟 李雨婷

一、引言

因式分解是中学数学中一个重要的概念，也是教学的重难点。称其为难点，主要是由于因式分解本质上是整式乘法的逆过程，学习的好坏取决于整式乘法的掌握程度。称其为重点，主要是由于因式分解在代数教学体系中起着举足轻重的作用。同时，其在某些几何证明问题中也有着广泛的应用。正因如此，为了使学生更好地掌握因式分解的技能技巧，“题海”战术不可避免地成为了解决教学时间短与掌握技能技巧难矛盾的一个处理办法。这样的教学策略不仅不利于学生技能技巧的掌握，也不利于学生知识结构的形成。

为了改善这一现状，知识的归纳、方法的总结和思想的凝练就成了一个值得关注的问题，数学思想方法正是在这样的背景下提出。随着《义务教育数学课程标准》的颁布，数学思想方法的研究进入了新阶段，并主要集中于数学思想在某个学科分支或章节的教学研究。譬如，陈华忠[1]从列举法、数形结合法和假设法等角度，解决了“鸡兔同笼”问题。其中还指出，分析问题中应有机地渗透数学思想方法，同时还需要注意数学建模思想和数学思想文化的培养问题。李敏[2]等人以函数为例，系统地探讨了核心素养视域下的数学思想方法。其工作特别指出数学思想方法是数学学习的灵魂。孙玲[3]以高中不等式教学为切入点，以具体实例的形式探讨了不同数学思想方法的应用。此项工作不仅是对高中不等式类型的总结，也为数学思想方法结合具体实例提供了一个范例。

在之前的工作中，研究者通常采用理论分析或例题证明的方式进行论述，但是对于如何一步步地引导学生进行思考，逐步领悟数学思想方法内涵的研究较少。笔者结合自身实习体会写下本文，旨在回顾因式分解知识的建构过程并探索教学中渗透数学思想方法的策略。

二、从“已知”到“未知”的因式分解概念提出

在因式分解的概念提出之前，学生学习了整式的乘法，具体包括单项式乘单项式、单项式乘多项式和多项式乘多项式。从运算结果来看，单项式乘单项式的结果仍然为单项式，单项式乘多项式与多项式乘多项式的结果为多项式。研究整式乘法的逆过程也随之产生。如果研究将单项式写成单项式与单项式的乘积问题，这样的问题因为分解的不唯一性变得没有意义。譬如，2x2y3即可以写成2x2·y3，也可以写成x2·2y3。那么，研究将多项式写成若干单项式与多项式的乘积就变成了唯一的问题。

因式分解的概念正是在这个背景下提出的。因式分解研究的对象是多项式，目标就是将多项式写成整式的乘积。是否所有的多项式都能进行分解这样的问题就自然而然地提出了。进一步地，如果所有的多项式都能进行分解，那么分解方法的研究就成了一个新的问题。如果不是所有的多项式都能进行分解，那么具有何种特征的多项式能进行分解则是首先要关注的问题，其次再是针对某种特征讨论分解方法。另外，还需关注这样一个问题：针对一个能分解的多项式，其分解结果是否唯一。显然，并不是所有的多项式都能进行分解，但是能分解的多项式分解方式唯一。这两个回答便是因式分解问题研究的意义所在。因此，通常的教材中，对于因式分解的描述性定义，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种式子的变形叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式,就不难理解了。

这样一个从已知的整式乘法，通过研究逆过程引出未知的因式分解概念就十分自然。这样一个过程对于今后逆定理、逆过程的研究提供了一个良好的范例。

三、化归思想在分解因式中的应用

(一)因式分解的一般方法。在日常的教学中，通常因式分解方法总结为提公因式法、运用公式法、十字相乘法等。提公因式法是学生最先接触到的方法，要谈提公因式法首先要明确公因式的概念。教科书是通过单项式与多项式的乘法引入，即

a(b+c+d)=ab+ac+ad

(1)

把(1)式的两边互换位置，得到(2)式

ab+ac+ad=a(b+c+d)

(2)

同时给出如下定义：多项式ab+ac+ad各项都含有因式a，像这样的因式称为多项式各项的公因式。紧接着，通过例题，总结出寻找公因式的一般方法为：

1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数

2.字母应该取各项相同的字母，而且各字母的指数应取最低。

这一过程是由定义逐步导出方法，需要注意如下几点。一是公因式的概念是以描述性的语言给出。同时(1)式中仅展现了四项的情况，这里需要提醒学生对于其他项数的情况也满足。二是对于首项系数为负数的情况，应提醒学生将负号作为公因式一并提出。三是确立起因式分解首先应寻找公因式的观念。

紧接着，就是运用公式法的学习。运用公式法通常是指运用平方差公式、完全平方公式这两个公式，具体表现为：

a2-b2=(a+b)(a-b)

(3)

a2±2ab+b2=(a±b)2

(4)

这里的(3)式称为平方差公式，(4)式称为完全平方公式。

运用公式法需要有以下几点注意。一是这里的a,b不一定就是简单的一个字母，而可能是一个整式。譬如，因式分解x4+6x2+9。这里x4可以视为(x2)2，进而满足两项和的完成平方公式。二是运用公式法之前应检查多项式是否含有公因式。譬如，因式分解x3y+2x2y2+xy3。这里需要先提出公因式xy，然后就可以利用两项和的平方差公式。三是注意公式的组合应用。因式分解有一个经典的题目，分解如下因式：

x4-2x2+1

(5)

许多学生会得到这样一个错误的结果：

I=(x2-1)2

(6)

究其原因，还是对常见公式的不熟悉。显然(6)式还可以继续利用平方差公式继续分解，然后通过幂的运算性质得到如下的正确结果：

I=(x+1)2(x-1)2

(7)

式(5)到式(7)的过程就是一个综合利用平方差公式和完全平方公式很好的例子。总的来说，运用公因式法应该让学生理解平方差公式是针对两项的一种方法，完全平方公式是针对三项的一种方法；理解平方的内涵不仅是指某一个整式的平方；确立起因式分解首先考虑公因式的观念。

虽然十字相乘法在教科书上只以介绍的形式出现，但鉴于其在后续一元二次方程组等方面的广泛应用，因为在教学中也会涉及。十字相乘法是针对三项式的一种方法，运用公式法中的完全平方公式可以视为其的一个特例。通常教学中，教师会列举整式乘法的结果，通过类似于(1)式到(2)式的过程，总结出如下等式：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(8)

基于(8)式，引导出针对二次项系数为1的一般形式：

x2+mx+n=(x+p)(x+q)

(9)

需要满足：

p+q=m,pq=n

(10)

(9)式到(10)式过程由于常数项n的分解种类较少，因此采用分解常数项检查一次项的方法。在(9)式的基础上，会提出二次项系数不为1的因式分解方法如下：

ax2+bx+c=(mx+n)(px+q),(a≠0)

(11)

需要满足：

mp=a,mq+np=b,np=c

(12)

类似的，通过分解二次项a和常数项c,检查一次项b来进行因式分解。(12)式建立的过程，就是如图1所示的经典“十字”构建，这也是十字相乘法名称的由来。

图1 十字相乘法示意图

十字相乘法是一种不断试误的过程，这不仅需要学生敢于尝试，也需要学生有良好的数感。通常，这类题目也会伴随着平方差公式与完全平方公式一同出现，这就需要同学检查能否再进行因式分解的问题。

(二)因式分解的分组分解法。上文详细地讨论了提公因式法、运用公式法和十字相乘法。但是这些方法，尤其是运用公式法和十字相乘法存在着一定的局限性。譬如，平方差公式要求为两项能写成某个整式的平方的差形式，完全平方公式则需要满足多项式由三部分组成，并且三项需要满足一定的条件。虽然十字相乘法是对完全平方公式的推广，但是其仍然是针对二次三项式的一种方法。显然，这几种方法只是针对二项式和三项式的一些方法，如果对于四项或者更多项的整式就无法适用。正是在这样的背景下，分组分解法应运而生。分组分解法是通过将某些具有公因式的项或者能运用公式的项组合在一起的方法。这一过程与十字相乘法一样是一种试误的方法，并且随着项数的增多难度而增加。

需要注意的是，分组分解法就是化归思想的集中体现。化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题[4～5]。分组分解法就是将一个项数大于等于4的多项式转化为项数为2和3的组合，进而应用提公因式法、运用公式法、十字相乘法变为一个能处理的问题。

四、图像直观与数学抽象下的十字相乘法

上文已经从代数角度探讨了十字相乘法的一般步骤，但是这一方法在几何上也有着经典对应。正因如此，十字相乘法是一个经典的数形结合的案例。

教师们以两项和的完全平方公式为例回顾整式乘法数形结合的案例。为推导(a+b)2的展开式，需要以a为边长的正方形若干个，以b为边长的正方形若干个和以a,b为长宽的长方形若干个。通过数形结合，旨在寻找a2,ab,b2的系数。

(a+b)2=a2+2ab+b2

(13)

图2 (a+b)2的几何直观图

则(13)式所示的公式可以经典地对应于图2。在图2中，(a+b)2对应于边长a+b的正方形面积，继而通过几何直观，不难得出(13)式。

在这基础上，进行十字相乘法的研究，这里以a2+4ab+3b2为例谈一下图形直观在十字相乘法中的应用。由系数可知，有以a为边长的正方形1个，以b为边长的正方形4个和以a,b为长宽的长方形3个，目标就是将这些图形拼接成一个大矩形。通过面积相等，就可以得到因式分解的结果。通过尝试，得到如图3所示的矩形，并顺利得到其结果为：

a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)

(14)

图3 a2+4ab+3b2的几何直观图

通过(14)式的例子，我们发现十字相乘法也与几何图形的面积存在着经典的对应。至此，我们就构建起了代数抽象与几何直观的桥梁，也提供了检验因式分解的另一种方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的[6～7]。上述过程就是数形结合的典型案例。

五、结语

综上所述，本文从因式分解概念提出着手，详细分析了从整式乘法概念引出因式分解概念需要思考解决的若干问题。然后，通过常见的提公因式法、运用公式法和十字相乘法，引入分组分解法的概念，并指出这一过程是化归思想的集中体现。最后，对于十字相乘法的几何直观进行了探讨，指出代数抽象与几何直观存在着密切的关系。通过回顾因式分解的知识建构过程，分析其中的数学思想方法，为因式分解教学的数学思想方法渗透提供了参考。