空气的浮力与不连续性对密立根油滴实验测量值影响的定量分析

刘宇飞

(桂林理工大学理学院 广西 桂林 541008)

刘小良

(中南大学物理与电子学院 湖南 长沙 410083)

密立根油滴实验最先是由美国的物理学家密立根(R.A.Millikan)设计出来的，用以测定基本电荷的电荷量并证实电荷的量子化现象[1].实验中先测量出大量带电油滴所带的电荷量值，然后采用逐差法或作图法计算出基本电荷的电荷量，或者说电子的电荷量[2～4].此外，随着基本电荷电荷量测量精度的大大提高，已经得到公认的基本电荷的电荷量值为e=(1.602 177 33±0.000 000 49)×10-19C[5]，目前,许多大学物理实验教学中，倒验法也被普遍使用[6,7].测量油滴所带的电荷量有两种基本方法：一种是动态法，首先测出带电油滴在未加外场时在空气中匀速下落的速度，然后测量外加适当与重力相反的电场力时带电油滴匀速上升的速度，最后再由力的平衡方程得出带电油滴的电荷量；另一种方法是静态法，也叫平衡法，首先外加一个适当的电场力与带电油滴的重力平衡，然后撤除电场力使油滴在重力和空气对它的粘滞阻力下达到匀速下落状态，测出其匀速下落速度，最后根据力的平衡方程得到油滴的带电荷量[8～10].相对来说静态测量法原理简单，操作比较容易，数据处理方便，因此，成为大学物理实验中常选的实验方法，本论文的讨论主要是基于静态测量法.为了实验的方便，一些常用实验方法中常将油滴所受空气浮力忽略，甚至忽略空气的不连续性对空气粘滞系数的影响，这样就导致了测量结果的系统误差，已经有部分文献对此有过定性或不同程度的定量分析[11,12]，但仍然存在促进其严谨性空间.本文将从理论上严格推导空气浮力与空气的不连续性对油滴带电荷量的影响，并定量化不计空气浮力与空气的不连续性对测量结果造成的相对误差.

1 不计空气浮力与不连续性时油滴的电荷量

在忽略空气浮力与空气的不连续性前提下，静态测量法获取带电油滴的处理过程可以简述如下.

调节油滴盒两极板之间的电压，使油滴处于平衡状态，可得到平衡方程

(1)

其中q,U,d,m和g分别是油滴电荷量、极板之间的电势差、极板之间的距离、油滴质量和重力加速度.要获得油滴电荷量需要获取油滴的质量，然而此处油滴的质量太小，无法用天平等直接方法称量，需要采用间接的方法获得.

考虑到在表面张力作用下，油滴呈现为球体状，可以将油滴的质量表达为如下形式

(2)

其中ρ和r分别是油滴的质量密度和油滴的半径.

为了获得油滴的半径值，关闭加在油滴盒两极板之间的电压，此时油滴在重力作用下首先呈加速下落，然后会受到一个大小与油滴下落速度成正比的空气的粘滞阻力，最后油滴的受力达到平衡后会呈匀速下落状态.根据斯托克斯定律，可以写出该状态下的平衡方程

6πrηv=mg

(3)

其中η为空气的粘滞系数，v为油滴匀速下落时的速度.

联立式(1)～(3)，可将油滴的电荷量表述为

(4)

2 不计空气浮力与不连续性时油滴的电荷量测量结果的误差分析

2.1 空气浮力对实验结果的影响

由于该实验是在大气环境下进行的，油滴必然会受到空气浮力的作用，上述平衡方程(1)和(3)必须考虑油滴所受的空气浮力

(5)

其中ρ′为空气的质量密度.容易得到，当计入空气对油滴的浮力时，式(4)中的ρ需要修正为ρ-ρ′，即计入空气浮力前后ρ的增量为Δρ=-ρ′，于是由式(4)的微分，可以得到q的增量

(6)

2.2 空气的不连续性对实验结果的影响

当将空气视为连续均匀介质时，空气的粘滞系数为常数，由方程(2)、(3)可得出油滴的半径表达式

(7)

由于油滴的半径非常接近于常温下空气分子的平均自由程，此时的空气不能视为连续均匀介质，其粘滞系数需要修正为

(8)

其中p为空气压强，b为修正系数.将修正后的粘滞系数取代方程(3)中的粘滞系数 ，再和式(1)、(2)联立可得到油滴的半径和油滴带电荷量为

(9)

(10)

由式(10)容易看出，当忽略空气的不连续性时，相当于其中的修正系数b取0值，式(10)即转化为式(4).当计入空气的不连续性时，b的增量为

Δb=b-0=b

由式(10)的微分，可以得到q的增量

秦铁崖伸手示意：“这是刑部赵大人交给我的差事，现在交差。我已给老仙翁说好，腾一座小院出来，专供你表姐居住。”说罢拱手告辞。

(11)

对应的相对误差为

(12)

已知油滴的密度以及其他各参数值分别为

p=1.01×105Pa

b=8.22×10-3Pa·m

g=9.79 m·s-2

η=1.83×10-5kg·m-1·s-1

而油滴的匀速下落速度基于实验测量结果，这里可以取

v=7.5×10-5m·s-1

将全部参数代入式(11)，可以得到Δq为负值，意味着若不考虑空气的不连续性时将高估油滴的带电荷量，并且可以计算出此时的相对误差约为15.2%，因此,为了提高实验的精度，在测量油滴的带电荷量时必须考虑空气的不连续性的影响，需要对空气的粘滞系数进行修正.

鉴于式(10)处理起来有点困难，比较方便的处理方法是将修正后的粘滞系数式(8)代入式(4)得

(13)

并且在数据处理时，将油滴的半径r用式(7)代入.

可以证明这种处理方法对由于空气的不连续性引起的系统误差的消除上，与采用式(10)有几乎等价的效果.由式(4)和(13)，可得

(14)

于是有

(15)

将已知参数代入后可以得到该相对误差值约为12%，与基于式(10)得到的15.2%比较接近，已经基本包含了空气的不连续性对油滴电荷量的影响.

如果同时考虑空气的浮力与空气的不连续性，则油滴带电荷量的精确表达式可写为

(16)

该式可以充分消除油滴电荷量测量值中因浮力和空气的不连续性所导致的系统误差.相应地，油滴电荷量的近似表达式(13)可以修正为

(17)

3 结束语

在密立根油滴实验中，如果不计入空气浮力和空气的不连续性，会对油滴带电荷量的测量结果产生系统误差.在典型参数设置之下，可以发现，忽略空气浮力产生的相对误差不超过0.1%，对实验结果的影响是比较微小的，所以无论在静态法还是动态法中，都可以忽略油滴所受的空气浮力.然而当忽略空气的不连续性、不均匀性时，产生的相对误差可以达到15.2%，导致测量结果有大的偏离，因此，在实验中必须考虑空气的不连续性对空气的粘滞系数的影响，从而提高油滴带电荷量测量的精度.