基于非线性双稳系统的混沌共振实验

高子艺，林昊晟，钟 奕，王梓旭，李宇轩，桂 容，谭佐军

(华中农业大学 理学院，湖北 武汉 430070)

双稳系统是一类有代表性的非线性系统，其本身的动力学行为并不复杂，但当系统中存在如噪声、混沌等随机力时，系统的动力学行为将变得复杂. 例如，生物系统中的基因开关受到内部噪声和外界环境噪声等随机因素的影响时，开关时列、开关时长等是随机的，即存在丰富的随机现象. 1981年，意大利学者Benzi等人提出的随机共振理论表明：双稳系统、弱周期信号和噪声三者之间的协同作用能够增强微弱信号的检测能力，该理论改变了传统噪声有害的观点[1-4].

目前，随机共振被广泛应用于物理、化学、生物、社会学等领域中[5-11]. 在实际系统中，除了各种噪声干扰外，还会遇到混沌干扰的情况，如海洋雷达回波[12]、神经元网络[13]等. 当背景干扰是混沌信号时，双稳系统表现出来的行为与背景干扰是噪声的情况类似[14]. 除了理论计算、数值模拟外，采用非线性电路直观展示及验证非线性系统的动力学行为，已经成为研究非线性系统动力学行为的重要手段[15-17].

本实验通过搭建非线性双稳电路来模拟实际的双稳系统，利用洛伦兹(Lorenz)系统[18-19]产生的混沌信号作为随机力来模拟随机因素，基于LabVIEW平台展示了随机跳转、混沌共振和非线性混沌现象.

1 数学模型

通过非线性双稳电路来模拟双稳系统，采用如下双稳系统模型

(1)

式(1)描述粒子在双稳系统中的状态.其中，x表示粒子的位置(也可以表示电学中的电压或者电流等)，a和b分别为系统线性和非线性系数.立方非线性双稳系统的势函数为

U(x)=-0.5ax2+0.25bx4.

(2)

如图1所示，系统具有对称的双势阱.以力学为例，式(1)描述了经典粒子在双势阱中的过阻尼运动.如果没有外力驱动，粒子最终会稳定在其中1个势阱中的最低点位置.

图1 双稳系统的势函数

在上述双稳系统中加入随机力，受随机力驱动的双稳系统模型为

(3)

其中，ξ(t)为随机力，可以是噪声，也可以是其他伪随机信号，如混沌信号等.k为随机力强度.在随机力作用下，粒子会在其中1个势阱中振荡.如果随机力足够大，粒子就会逃逸出当前势阱而进入另一个势阱，在2个势阱中来回跳转，进而实现随机跳转.

输入系统的随机力ξ(t)由Lorenz系统产生，Lorenz系统的数学模型为[18]

(4)

(5)

(6)

其中，u,v,w为系统变量.Lorenz系统描述的是大气运动，u正比于大气对流运动的强度，v正比于上升流和下降流之间的温度差异，w正比于垂直方向的温度变化.μ，λ和δ为系统参量，μ为与空气黏度和热传导有关的常量，λ为与引起对流和湍流有关的常量，δ为与对流纵横比有关的外形因数参量.

本文实验中的随机力都使用Lorenz系统的u变量，则式(3)可写为

(7)

此外，基于噪声驱动的随机共振广泛应用于微弱信号检测中，在式(7)中加入微弱信号也可以实现类似于随机共振的现象，该现象被称为混沌共振.

(8)

其中，Acos (2πft)表示弱周期信号，本身不足以驱动系统发生跳转；A和f分别表示弱周期信号的振幅和频率.

2 实验装置

模型中的乘法及立方运算利用模拟乘法器来实现，求和及积分运算利用运算放大器来实现，这样Lorenz系统及立方双稳系统可以用模拟电路来实现.

图2为使用电路仿真软件Multisim设计的模块化混沌共振电路. 整个电路的设计包含3个模块：Lorenz系统、信号输入电路模块和双稳系统. 由Lorenz系统产生混沌信号，由信号输入电路实现将混沌信号或由混沌信号和弱周期信号叠加而成的混合信号输入到双稳系统中，实现随机跳转或者混沌共振.

(a)Lorenz系统

考虑到Lorenz系统的变量强度会超过电路正常工作范围，所以利用电路实现Lorenz系统时，不能直接应用模型[式(4)～(6)]，需要对模型中的系统变量进行适当比例的压缩. 将压缩比例设定为10，即(u,v,w)→(10u,10v,10w)，则Lorenz系统方程变换为

(9)

(10)

(11)

同时对Lorenz系统时间尺度t进行压缩，压缩尺度设定为103,即t→103t.此外，Lorenz混沌系统参量设为典型值μ=10，λ=28，δ=8/3.则式(9)～(11)变换为

(12)

(13)

(14)

如图2中Lorenz系统模块所示，系统变量的方程为

(15)

(16)

(17)

在图2仿真电路的基础上，利用模拟乘法器AD633JN、运算放大器AD712JN和AD713JN、电容、电阻等电子元器件可以实现硬件电路. 弱周期信号的产生以及信号的采集显示和处理由LabVIEW软硬件平台图形化编程实现. 这样去掉了函数信号发生器和示波器，使得整个仪器装置小型化，便于携带，同时可以实时处理数据.

图3为整体实验装置图. 整体实验装置由电源、电路板、NI-9215数据采集卡、NI-9263模拟信号输出卡以及电脑组成. 电路由±15 V直流开关电源供电，电路上半部分为双稳系统，下半部分为Lorenz系统. 弱周期信号通过NI-9263的模拟信号输出卡产生，观测信号由NI-9215数据采集卡采集(采样率为105Hz). 基于LabVIEW开发平台设计的图形化程序如图4所示.

图3 整体装置图

图4 LabVIEW开发平台程序设计图

3 实验现象及数据分析

3.1 蝴蝶吸引子

基于Lorenz系统电路，可以观察混沌现象. 将混沌信号的u和w端接入NI-9215数据采集卡，基于LabVIEW开发平台图形化编程可以显示u和w的时序图以及李萨如图(又称为相图).如图5所示，左侧为u和w的时序图，可以发现非周期性的混沌信号表现出不可预测、类似随机性的特点；右侧为相图，显示出蝴蝶形状，这就是著名的Lorenz蝴蝶吸引子. 调节电阻Rμ，Rλ和Rδ的阻值，改变Lorenz系统参量μ，λ和δ，可以实时观察吸引子的变化.

图5 混沌信号和Lorenz蝴蝶吸引子

3.2 随机跳转

图6 系统的势阱、随机跳转和稳态概率密度分布

对于阈值kc的测量，先调节电阻Rk，使得系统处于随机跳转状态；然后不断增加Rk，当粒子正好不发生随机跳转时，记录此时的Rk(本实验电路实测Rk约为4.21 kΩ)，即可测得阈值kc约为2.38.

图7和图8给出了2种情况：kkc时的实测结果.

(a)势函数

(a)稳态概率密度分布

图7表示混沌信号的强度较低时的情况，时序图和概率密度分布图表明粒子在单势阱中随机振荡.图8为混沌信号强度较强时的情况，从时序图可以看出粒子在2个势阱之间随机跳转.由于势阱是对称的，因此稳态概率密度分布也近似对称.

3.3 混沌共振

在系统中加入弱周期信号[式(8)]，可以得到与随机共振类似的现象，即混沌共振.这里的弱周期信号强度不足以单独驱动粒子进行势阱之间的跳转.固定周期信号的频率f=10 Hz，测得此电路的振幅阈值Ac≈1.95 V.当A>Ac时，周期信号可以直接驱动粒子在双势阱中来回振荡.当周期信号较弱(A=0.3 V)时，如图9所示，调节电阻Rk，增强混沌信号强度k，由于混沌信号的振幅远大于弱周期信号，混合之后的信号中难以分辨出弱周期信号(图9左上)，频谱(图9右上)也显示出10 Hz的周期信号淹没在混沌信号频谱中. 将混合信号输入双稳系统，得到的输出信号显示出周期性(图9左下黄色). 对比输入的弱周期信号(图9左下白色)和输出信号，两者同频且相位基本保持一致. 频谱图显示输出信号的主频为10 Hz.

由于势阱间的跳转很快，输出波形类似于方波，所以频谱图上也存在较强的高次谐波，例如30 Hz，50 Hz和70 Hz(图9右下). 相比较原始的弱周期信号，输出信号振幅大大增强. 这表明混沌共振可以将弱周期信号从强的背景混沌信号中检测出来.

图9 混沌共振现象的输入、输出信号和对应的频谱

使用信噪比来评估系统输出信号对微弱信号的放大能力.本文通过信号功率Psignal比上噪声功率Pnoise的对数来计算信噪比，即

(18)

信号功率定义为

Psignal=|Y(f)|2,

(19)

其中，|Y(f)|为经过快速傅里叶变换后得到弱周期信号频率对应的幅值.噪声功率定义为

(20)

其中，M=5.式(20)的含义为以弱周期信号频率为中心的附近频率的平均功率，也就是背景噪声功率.

利用LabVIEW导出实测数据，可计算出混沌共振输出信号的信噪比，如图10所示.

(a)A=0.3 V,f=10 Hz

图10(a)为固定弱周期信号A=0.3 V，f=10 Hz，得到信噪比RSNR随混沌信号强度k变化的实测曲线.随着混沌信号强度增加，信噪比先是缓慢增加，在k≈2.08处出现明显减小后急剧增加，之后再减小.图10(b)则是固定混沌信号强度k=2.22，得到信噪比RSNR随弱周期信号强度A变化的实测曲线.随着弱周期信号强度增加，信噪比先是显著降低，再急剧增加，之后保持平稳.

从图10可以看出在信噪比急剧增加之前出现了跳变情况. 跳变点的时序及对应频谱如图11和图12所示.

(a)时序图

(a)时序图

从图11和图12可以看出，混合输入信号可以驱动粒子发生跳转，但输出信号与弱周期信号不同步. 显然输出信号存在比弱周期信号频率更低的频率成分. 从频谱图上可看出由于比10 Hz更低的频率成分占主导，所以信噪比会显著减小. 混合输入信号强度在跳变点处于临界状态，当混合输入信号强度小于临界强度时，不能驱动粒子跳转；当大于临界强度时，则可以实现混沌共振.

4 结束语

基于混沌共振理论，利用Multisim软件模块化设计仿真电路进而搭建了实际电路，用LabVIEW开发平台实时展示Lorenz系统、随机跳转和混沌共振. 随机共振颠覆了人们长期以来认为“噪声有害”的观念，能将噪声变废为宝，为弱信号探测提供了新的思路. 本装置有利于对经典随机现象进行深入分析与研究，同时也可观察研究非线性混沌现象，加深学生对混沌信号的认识与理解，提高学生模块化设计和搭建电路的能力，培养学生的发散性科研思维.