阳光透过鱼缸投射出4级彩虹的光路分析

刘新军

(天津大学 理学院 物理系，天津 300350)

在利用矩形玻璃鱼缸制造水三棱镜观察彩虹的文章中，分析了春分时节观察到彩虹产生的光路[1]. 由计算可知，当太阳高度角为50°，鱼缸底面倾角为4.54°时，在距离鱼缸5.7 m远的墙上可以观察到纵向宽度达米量级的鲜艳彩虹(Δλ<2.97 nm)，此时红光和紫光的出射角分别为79.23°和89.64°(紫光刚好从水面水平出射). 当太阳高度角增大时，鱼缸底面倾角需要适当减小，墙上彩虹的纵向宽度才能达到米量级.

处暑前后，中午时分，透过放在阳台窗外支架上的鱼缸，在室内墙上观察到上、下2级纵向颜色顺序一致的艳丽彩虹. 通过改变水深可观察到3级，甚至4级彩虹，并且总是最下面的彩虹最明亮，往上依次变暗.

为了找到多级彩虹形成的原因，采用底部铺有亚克力镜子的鱼缸作为主要观测装置，改变鱼缸底面倾角和水深等实验参量，结合计算机模拟分析了鱼缸中4级彩虹在水面出射的光路，并对其光谱特点进行了解析，获得了4级彩虹的等效光路图.

1 观察到多级彩虹现象的过程描述

观察到4级彩虹的场景参量如图1所示,房间长4.5 m，墙高2.5 m. 玻璃鱼缸(37.5 cm×26 cm×37.5 cm)内盛有3～5 cm深的清水.

图1 房间、阳台、凳子、鱼缸和彩虹等相对位置示意图

2021年8月17日，天津地区的正午太阳高度角α≈63°[2]. 将鱼缸放在阳台窗外的支架上，鱼缸长边平行于阳台窗户，近似垂直于太阳入射光线，水深4 cm，水面宽度26 cm，鱼缸底面略微倾斜，在室内墙上可观察到2级彩虹[图2(a)].

8月25日，正午太阳高度角α≈61°[2]. 再次透过鱼缸观察到2级彩虹[图2(b)]，且每级彩虹的纵向宽度更宽，几乎达到1 m.

为增强鱼缸底面对水中太阳光的镜面反射，将买来的亚克力软镜子裁剪成合适尺寸(长约36 cm，宽约24 cm)，镜面朝上铺在鱼缸底部，此时可观察到3级彩虹[图2(c)].

8月26日，正午太阳高度角α≈60°[2]. 将鱼缸放置在阳台门旁边的凳子上(见图1). 鱼缸长边平行于阳台窗户，近似垂直于太阳入射光线. 鱼缸离墙面的距离L≈4.5 m，凳面距离室内地面的垂直高度d≈30 cm，将鱼缸略向外倾斜，可观察到3级彩红[图2(d)]. 减小鱼缸倾斜角，仍能观察到3级彩红[图2(e)]，但位置略有下移. 用细管向外抽水，降低水面高度，直到露出亚克力镜子，仍能观察到3级彩虹[图2(f)].

(a)2级 (b)2级 (c)3级 (d)3级 (e)3级

9月1日，正午太阳高度角α≈59°[2]. 鱼缸重新注入清水，此次只观察到了2级彩虹[图2(g)]，观察不到3级彩虹. 经仔细观察后，发现水深约5 cm，而水面宽度仍是26 cm，猜想第3级彩虹的出射点可能超出水面宽度，因此观察不到第3级彩虹.

为验证猜想，将鱼缸在水平面(图1中xoy面)内旋转90°，即鱼缸窄边平行于阳台窗户. 此时水深不变，而水面宽度增加到37.5 cm，调整鱼缸倾角，再次观察到了3级横向略窄的彩虹[图2(h)]，验证了水面宽度影响彩虹级数的猜想.

将鱼缸放回原来位置(即长边平行于阳台窗户)，调整鱼缸倾角，再次观察到2级彩虹. 保持水面宽度不变，用细管向外抽水减小水深，可观察到3级彩虹[图2(i)]；继续抽水直到水深约为3.5 cm时，可观察到4级彩虹[图2(j)]. 但第4级彩虹颜色暗淡，不易分辨. 该实验现象说明水深会影响彩虹的级数.

根据图2可知，第1级彩虹出现在墙上中间位置，纵向宽度约为50 cm，第2级彩虹明显变窄，纵向宽度约为25 cm，其红光边缘接近天花板. 第3级和第4级彩虹在天花板上，彩虹纵向宽度相对更窄.

2 多级彩虹现象分析

由上文可知，水面深度和宽度均会对彩虹级数有所影响. 然而，多级彩虹到底来自哪里？经过反复实验，发现多级彩虹来源于鱼缸侧面入射的阳光，即用手挡住侧水面，4级彩虹同时消失. 因此，判断多级彩虹是由阳光在水面和镜面之间多次反射再多次从水面出射引起的.

图3绘制了太阳光从侧水面BC的B点和C点入射的红(紫)光多次从鱼缸水面AB出射的等效光路图.由于整个侧水面BC都有入射太阳光线，且每个点入射的阳光都在墙上形成不同级次的光谱[RLj(PLj),RHj(PHj)分别表示红(紫)光在室内墙上最低和最高投影位置]，这些谱线相互叠加，最后形成了多级彩虹. 下面的计算实例集中分析了9月1日观察到4级彩虹的情况.

(a) B点入射

2.1 侧水面BC入射红(紫)光的角度分析

9月1日实验中的太阳高度角α≈59°，鱼缸底面倾角θ≈1.8°，阳光从侧水面BC入射的入射角i1=α+θ≈60.8°.

2.1.1 红光分析

红光(760 nm)在水中的折射率n=1.329[3]，由折射定律可知[4]，BC面上入射红光的折射角i2=41.1°. 第1次镜面入射角i31=49.0°，从水里入射到水面的入射角i41=47.2°，红光在空气中的折射角，即红光第1次出射角i51=77.0°. 根据几何关系，得到这5个角的关系为：

(1)

红光第2次镜面入射角i32=45.4°，比i31小2θ=3.6°，从水里入射到水面的入射角i42=43.6°，比i41小2θ，红光第2次出射角i52=66.3°，和i42之间符合折射定律.同理，红光第j次镜面入射角i3j比i3(j-1)小2θ，从水里入射到水面的入射角i4j比i4(j-1)小2θ，红光第j次出射角i5j和i4j之间符合折射定律，即通式为：

(2)

其中，j为整数且j≥2.根据式(2)可计算得到i53=58.6°，i54=52.0°.

2.1.2 紫光分析

紫光(400 nm)在水中的折射率n=1.343[3]，BC面上入射紫光的各个折射角、反射角和出射角等也符合式(1)和式(2).入射角i1=60.8°，紫光折射角i2=40.6°，第1次镜面入射角i31=49.5°，从水里入射到水面的入射角i41=47.7°，紫光在空气中的折射角，即紫光第1次出射角i51=83.1°，根据式(2)可得i52=69.1°，i53=60.6°，i54=53.7°.其中，i31(紫)-i31(红)=0.5°，而i51(紫)-i51(红)=6.1°，根据文献[1]可知墙上第1级彩虹的纵向宽度w较大.随着彩虹级数的增加，水面上每级彩虹紫光的出射角i5j(紫)与红光的出射角i5j(红)的夹角在逐渐减小，依次为2.8°，2.0°和1.7°，对应墙上彩虹的纵向宽度w会随着级数的增加而减小.

2.2 红(紫)光从B点入射的光路分析

如图3(a)所示，阳光从B点入射，经镜面E点反射到达水面F点发生第1次反射和出射，出射的红(紫)光投影到室内墙上的位置为RL1(PL1)，该位置是第1级彩虹中红(紫)色的最低点.同理，第j次出射的红(紫)光投影到墙上的位置RLj(PLj)是第j级彩虹中红(紫)色的最低点，其中j为整数且j≥1.

2.2.1j级彩虹中红色最低点RLj的分析

图3(a)中从C点到水面AB的垂直距离为最大水深h=3.5 cm.通过几何推导可知，从B点入射的红光，在水面第j次出射的位置与B点的距离为：

(3)

其中，m为整数且m≥1.根据式(3)，可计算得到1～4级红光出射所需的水面宽度BRj，如表1所示.由于BRj

假设墙与地面的交点为O(见图1)，则墙上第j级彩虹中红色最低点RLj距离地面的高度为

ORLj=d+h+[L+DC(1-cosθ)+

(4)

其中，放置鱼缸的凳子高度d=30 cm，鱼缸离墙面的距离L=450 cm，鱼缸底面宽度DC=26 cm.利用式(4)可计算得到ORLj，如表1所示.其中ORL1,ORL2均小于墙高250 cm，所以在墙上可观察到第1,2级彩虹的最低点红色.而ORL3和ORL4均大于墙高250 cm，故只能在天花板上观察到第3,4级彩虹的红色.

2.2.2j级彩虹中紫色最低点PLj的分析

如图3(a)所示，从B点入射的紫光对应的水面出射点也符合式(3)，计算可得紫光出射所需的水面宽度BPj，如表1所示.

表1 阳光从B点或C点入射时，第1～4级彩虹中红(紫)光的水面出射位置和投影位置

经对比，BPj>BRj，即每级紫光的出射点比红光略微偏左(图1中y轴负向)，且随着彩虹级数的增加，紫光出射点BPj与红光出射点BRj之间的偏移量也略有增加.例如，第1级彩虹中紫光的出射点BP1比红光BR1偏左0.14 cm，而第4级彩虹中紫光的出射点BP4比红光BR4偏左0.39 cm.

将式(4)中的BRj替换成BPj，即可求出PLj距离地面的高度OPLj，如表1所示.其中，当j=1,2时，OPLjOPLj>250 cm.说明第1,2级彩虹的紫色最低点PLj在墙上，且在红色最低点RLj之下(图1中z轴负向)；而第3,4级彩虹的紫色在天花板上.

2.3 红(紫)光从C点入射的光路分析

如图3(b)所示，阳光从C点入射，经多次反射、折射后发生色散，出射后形成彩虹. 其中，红(紫)光在第j次出射后投影到墙上的位置RHj(PHj)为第j级彩虹中红(紫)色的最高点.

2.3.1j级彩虹中红色最高点RHj的分析

通过几何推导可知，从C点入射的红光在水面第j次出射的位置与水面B点的距离为：

(5)

其中，m≥2(m为整数).根据式(5)，可计算得到1～4级红光出射所需的水面宽度CRj，如表1所示.经对比，CRj

另外，将式(4)中的BRj替换成CRj，即可求出墙上j(j≥1)级彩虹中的红色最高点RHj到地面的距离ORHj，如表1所示.其中，当j=1,2时，ORHj<250 cm；当j=3,4时，ORHj>250 cm. 说明第1，2级彩虹的红色最高点可在墙上观察到，第3，4级彩虹的红色只能在天花板上观察到.

2.3.2j级彩虹中紫色最高点PHj的分析

如图3(b)所示，从C点入射的紫光经多次反射、折射后，对应的出射点位置也符合式(5)，计算可得紫光出射所需的水面宽度CPj，如表1所示.和2.2.2的分析相同，各级彩虹中紫光的出射点比红光略微偏左，即CPj>CRj，且随着彩虹级数的增加，紫光出射点CPj与红光出射点CRj之间的偏移量也略有增加.

将式(4)中的BRj替换成CPj，即可求出PHj距离地面的高度OPHj，如表1所示.当j=1,2时，OPHjOPHj>250 cm.说明第1，2级彩虹的紫色最高点PHj在墙上，且在红色最高点RHj之下；而第3，4级彩虹的紫色在天花板上.

2.4 彩虹的特征分析

2.4.1 墙上彩虹的特征分析(上红下紫)

由表1可知，第1级彩虹中红色和紫色的最高点与最低点的位置之差分别为：ORH1-ORL1=1 cm，OPH1-OPL1=1 cm.由于侧水面BC上每点都有太阳光入射，墙上RH1～PL1范围内的颜色都是叠加而成的，而且在RL1～PH1范围内重叠更多，但每处几乎都是单色光叠加(Δλ<6.2 nm)，因此第1级彩虹的纵向宽度w=ORH1-OPL1=53 cm，颜色顺序上红下紫，色彩明艳，与图2(j)实验现象一致.

同理，第2级彩虹中红色和紫色的最高点与最低点的位置之差分别为：ORH2-ORL2=2 cm，OPH2-OPL2=2 cm.故第2级彩虹的纵向宽度w=ORH2-OPL2=28 cm(Δλ<22 nm)，颜色顺序同样为上红下紫，不过颜色不如第1级彩虹亮，与图2(j)所示的实验现象一致.此外，通过改变鱼缸底面倾角θ可以改变投影墙上彩虹的纵向宽度[1].将θ角从1.5°增加到2.0°，可以观察到第1级彩虹的纵向宽度从81 cm减小到30 cm，第2级彩虹的纵向宽度从46 cm减小到27 cm，且墙上彩虹的红色上边缘位置均向上移动(图1中z轴正向).

2.4.2 天花板上彩虹的特征分析(左紫右红)

表2 1～4级彩虹中红(紫)光在天花板上的投影位置

3 拓展讨论

3.1 水深对墙上彩虹的投影位置、纵向宽度以及颜色亮度的影响

由1中多级彩虹的实验可知，出射彩虹的级数会随着水深h的减小而增多. 图4给出了当太阳高度角α=59°，鱼缸底面倾角θ=1.8°，阳光从鱼缸侧水面BC入射时，各级彩虹在墙上的投影位置z和纵向宽度w随水深h的变化情况：

1)当水深h从12 cm减小到0.5 cm，第1级彩虹中红色上边缘的投影位置z从149 cm降低到140 cm，纵向宽度从53 cm(Δλ<22 nm)减小到52 cm(Δλ<0.89 nm)；而第2级彩虹中红色上边缘的投影位置z从235 cm升高到239 cm，纵向宽度从30 cm(Δλ<78 nm)减小到27 cm(Δλ<3.1 nm).

2)水深h每降低1 cm时，侧水面BC上入射阳光的垂直宽度hcosi1/cosθ约降低0.49 cm. 当水深h分别为12 cm和3.5 cm时，入射阳光的垂直宽度分别为5.9 cm和1.7 cm. 因此水深h较小时，从侧水面BC进入的阳光会减少，墙上的彩虹也会变暗，如图2所示.

(a)投影位置z随最大水深h的变化

为了增加墙上彩虹的亮度，可以增加水深h.然而，当h增加时，光在水中走过的总路程也会增加(见图3). 由于光在水中传播时，光强会有所衰减，墙上彩虹的亮度也会受到影响，因此在实验设计中须考虑该情况. 当α=59°，θ=1.8°时，h每增加1 cm，B点入射的红光在第一次出射水面前在水中走过的路程BE+EF约增加3.0 cm. 例如，当水深h=3.5 cm时，BE+EF=10 cm；当水深h=12 cm时，BE+EF=35 cm. 而C点入射的红光在第一次出射水面前在水中走过的路程EF约增加1.5 cm. 例如，当水深h=3.5 cm时，EF=5.2 cm；当水深h=12 cm时，EF=18 cm.

3.2 水面宽度对出射彩虹级数的影响

由前面多级彩虹的实验可知，水面宽度对出射彩虹级数也有影响. 由2.3.1的分析可知，如果侧水面B点入射的太阳光折射，再经镜面反射后从水面出射，则C点入射的太阳光一定也能从水面出射.因此，关于水面宽度的分析，只需要分析B点入射的情况即可.

在不考虑侧水面AD有光线出射的情况下，表3给出了对应不同水深h，太阳光从侧水面B点入射时， 1～5级红(紫)光出射所需要的水面出射宽度为BRj(BPj).若BRj(BPj)>AB(水面宽度)，则不能观察到对应j级彩虹的红(紫)色.保持鱼缸位置不变，当水深h>DCsinθ=0.82 cm时，水面宽度(AB=DC/cosθ=26.02 cm)不变；当水深h=0.5 cm时，水面宽度AB=(h/tanθ)+htanθ=15.93 cm.

表3 阳光从侧水面B点入射，水深h不同时，1～5级彩虹中红(紫)光的出射位置 (不考虑光强的衰减)

由表3可知，当h>12.0 cm时，BR1>AB，不能观察到彩虹.当h=6.5～11.5 cm时，可以观察到1级彩虹；当h=5.0～6.0 cm时，可以观察2级彩虹；当h=4.0～4.5 cm时，可以观察到3级彩虹；当h=3.5 cm时，可以观察到4级彩虹；当h≤3.0 cm时，理论上可以观察到5级甚至更高级数的彩虹. 然而水深降低后，侧水面BC进入的阳光减少，经反射折射后，出射光的能量更少. 在实验过程中，直到鱼缸里的水被抽干也没有观察到第5级彩虹. 由于本实验没有在暗室中进行，背景光较强，因此对第5级彩虹的观察影响较大.

3.3 全反射引起的缺级现象

当红(紫)光在水面的入射角i4j大于红(紫)光的全反射角48.8°(48.1°)时，红(紫)光不能出射到空气中，即红(紫)光在出射点发生全反射[5]. 如果同样级数的红光和紫光都达到全反射的条件，那么相应级数的彩虹就会缺失，即全反射会引起彩虹的缺级现象. 随着入射角i1=α+θ的减小，即减小鱼缸底面倾角θ或太阳高度角α，小级数的彩虹会由于全反射而不能出现，即第1，2，3，4级彩虹会依次消失.

对于侧水面BC上同一点入射的红光和紫光来说，总是紫光先发生全反射，因此随着入射角i1=α+θ的减小，会观察到彩虹由紫色到红色逐渐消失的现象.此时的部分彩虹总是贴着水面出射，在高于水面高度的墙上位置有颜色变化，甚至可能只观察到红色.

图5给出了太阳高度角α=50°，鱼缸底面倾角θ=3.0°时，第1级彩虹缺失的光路图. 图中红光第1次水面入射角i41=50.2°>48.8°，紫光i41=50.5°>48.1°，故第1级彩虹全部缺失. 而红光第2次水面入射角i42=44.2° <48.8°，紫光i42=44.5° <48.1°，所以第2级彩虹出现，同理第3，4，5级彩虹也能出现. 图5中没有考虑第6级甚至更高级彩虹的情况，这是由于光在水中传播过程中强度会发生衰减，具体呈现出哪些彩虹，需要通过具体的实验来验证.

图5 全反射引起1级彩虹缺失的光路图

4 结束语

本文从墙上和天花板上观察到的4级彩虹现象入手，重点利用几何光学研究了阳光透过矩形玻璃鱼缸侧水面入射并在镜面和水面多次反射引起的多级彩虹现象的光路，分析了各级彩虹的光谱特点以及彩虹级数与太阳高度角、鱼缸底面倾角、水深以及水面宽度之间的关系，同时利用计算机模拟再现了多级彩虹现象，说明了全反射引起的缺级现象以及彩虹部分颜色缺失(先从紫色开始缺失)的现象. 对多级彩虹现象的观察再次验证了用矩形玻璃鱼缸演示彩虹实验具有趣味性、易操作性和多样性，只要改变太阳光(强度、高度角和方位角)、侧水面入射角、鱼缸底面(反射能力、倾斜角)、水深、水面宽度、彩虹投影面(距离、形状和倾角)以及背景光等，就能获得不同效果的彩虹，非常有利于在教学和科普中应用和拓展.