初中数学教学中变式教学的应用

曹廷乐

【摘要】变式教学是指有目的、有计划地对命题进行合理的转化，以锻炼灵活运用所学，解决问题能力的一种教学方法.

【关键词】二次函数;绝对值;一元二次方程

1 用于绝对值的教学

原题 如图1，点M、N、P为数轴上的三点，其中点M表示的数是4，点N表示的数为-1，动点P表示的数为x.若点P在点M、N之间，则|x+1|+|x-4|的值为.

因为M表示的数是4，点N表示的数为-1，点P在点M、N之间，而|x+1|+|x-4|表示的是点P到数轴上-1、4点的距离之和，即，MN的长度，4-（-1）=5，所以|x+1|+|x-4|=5

变式1 题干不变，问题变为：若|x+1|+|x-4|=10，则x的值是多少？

由原题解题过程可知点P不可能在M、N之间，接下来需要进行分类讨论.

当点P在N的左侧，即，x<-1时，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=10，解得x=-72;当点P在M点右侧，即，x>4时，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=10，解得x=132，因此，x的值为-72或132.

变式2 题干不变，问题变为：若点P代表的数是-5，一只蚂蚁从点P出发，按照每秒一个单位的速度向右运动.当经过多少秒时，蚂蚁经过的点到点M、N的距离之和为8？

解答该题需要求出到点M、N的距离之和为8的点有哪些.根据母题的解题过程可知，该点不在M、N之间.当该点在N点左侧时，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=8，得到x=-52，此时蚂蚁运动的时间t=-52-（-5）=52s;当该点在M点右侧时，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=8，x=112，此时蚂蚁运动的时间为t=112-（-5）=212s，因此蚂蚁运动经过的时间为52s或212s满足题意.

应用点评 绝对值是初中数学的重要知识点，为更好的巩固学生所学，使学生把握绝对值知识本质，掌握相关的解题经验，应积极开展变式教学活动.原题考查了学生对绝对值几何意义的理解，较为基础.变式一、变式二难度有所增加，在考查学生对绝对值几何意义理解的基础上，指引学生运用分类讨论思想解决问题，很好的锻炼了学生的解题能力以及解题技巧.

2 用于圆知识的教学

原题 如图2所示的Rt△ABC中，O在斜边上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别和BC、AB交于点D、E，连接AD，已知∠CAD=∠B，求证：AD是圆O的切线.

证明 连接OD，因为OD=OB，所以∠ODB=∠B，由已知条件可知∠CAD+∠CDA=90°，又因为∠CAD=∠B，所以∠ODB+∠CDA=90°，所以∠ADO=90°，又因为OD为半径，因此，AD是圆O的切线.

变式1 在原题的基础上添加条件∠B=30°，CD=32，求劣弧BD的长.

因为∠CAD=∠B=30°，所以AD=2CD=3，∠DAB=30°，因为AD⊥OD，所以OD=ADtan30°=3，又因为∠DOB=120°，所以劣弧BD的长为13×23π=23π3.

变式2 在原题的基础上添加条件AC=2，BD=3，求AE的长.

连接DE.因为BE是直径，所以∠EDB=90°，AC∥ED，又因为∠CAD=∠B，所以△ACD∽△BDE，所以AC/BD=CD/DE=23，設CD=2x，DE=3x.因为DEAC=BD/BC，即，3x2=33+2x，解得x=12，所以CD=1，BC=4，则AB=22+42=25.又因为AEAB=CDCB，所以AE=52.

应用点评 圆在初中数学中占有重要地位.变式教学活动中原题考查了圆切线以及圆的相关性质.变式一考查了等腰三角形的性质、圆心角、劣弧的求法等.变式二考查了三角形相似、平行线分线段等比例关系.原题、变式一、变式二难度依次增加，激活了学生思维，拓展了学生视野.

3 用于抛物线的教学

原题 如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c和x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D.请判断△ACD的形状.

根据题意可知A（-3，0），C（0，-3）代入抛物线方程解得 b=2，c=-3，所以y=x2+2x-3，容易求得点D（-1，-4），过点D作DM⊥y轴，易得CM=DM=1，所以∠MCD=∠MDC=45°，又因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=45°，所以∠ACD=90°，所以△ACD为直角三角形.

变式1 在母题的基础上，添加问题：在抛物线上是否存在一点P，使得PA=PC，若存在求出点P坐标，若不存在，说明理由.

设点P（x，x2+2x-3），则PA2=（x+3）2+[x2+2x-3]2，PC2=x2+[x2+2x]2，因为PA=PC，所以PA2=PC2，整理解得x=-1+132或x=-1-132，所以点P的坐标存在，分别为（-1+132，-1+132）或（-1-132，-1-132）.

变式2 在母题的基础上，添加问题：若抛物线对称轴上的一点H（-1，-154），过点H的任意一条和y轴不平行的直线交抛物线与点M、N，探究MH·NHMN是否为定值.

根据题意设过程点H的直线为y=kx+k-154，设M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）.将y=kx+k-154和y=x2+2x-3联立，整理得到：x2+（2-k）x-k+34=0，则x1+x2=k-2，x1x2=-k+34，又因为y1=kx1+k-154，y2=kx2+k-154，则y1-y2=k（x1-x2），所以MN=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+k2·（x1-x2）2=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+k2.同理可求得MH=1+k2·（1+x1）2，NH=1+k2·（1+x2）2，则MH·NH=14（1+k2），所以MH·NHMN=14，为定值.

应用点评 二次函数是初中数学的重点、难点知识.变式教学时原题考查了待定系数法求二次函数、直角三角形等知识.变式一考查应用坐标运算证明线段相等知识以及学生的运算能力.变式二较为综合，难度较大，考查直线与抛物线的结合、根与系数之间的关系等，既巩固了学生所学，又很好的锻炼了学生的综合能力.