“最短路径问题”在中考题中的应用

易淑将

【摘要】“最短路径问题”是初中数学知识的一个重要内容.近年来各地中考题中，多次出现“最短路径问题”的应用问题，它成为学生难以逾越的“拦路虎”，笔者以几道经典中考题为例，分类解说最短路径问题的本质，帮助学生解决此类问题.

【关键词】初中数学;最短路径问题

“最短路径问题”它源于数学史中的一个经典问题——“将军饮马”问题，中考题中此问题常应用于求两线段和最小值问题，解决此类问题的基本策略是利用轴对称性将同侧的折线段和问题转化为异侧的线段和问题.并依据“两点之间线段最短”、“垂线段最短”求出最小值. 下面我们就以几道经典中考题为例，分类解说此类问题的解题策略，供参考.

1 最短路径问题在几何背景中的应用

例1 如图1，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是 .

分析 本題M、N是固定点，P是AC上的动点，先将一个固定点关于动点所在的直线对称过去，将位于直线AC同侧的线段和问题转化为位于直线AC两侧的线段和问题，再利用“两点之间线段最短”，找到满足条件的点P，最终得出最小值.

解析 如图1 根据菱形的性质，取AD的中点M′，连接M′N交AC于点P，则M′P=MP，此时MP+PN的值最小，而易知四边形CDM′N是平行四边形，故M′N=CD=1，于是，MP+PN的最小值是1.

例2如图2，在ΔABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为.

分析 本题也是其线段和的最小值问题，但又区别于例1，它具有一个角为30°的直角三角形的这一特殊几何背景.我们知道“直角三形中3

0°角所对的直角边是斜边的一半”，利用这一性质，我们可以将“2AD+CD”转化为两个线段和的问题.

解析 如图2 根据已知，将点A关于直线BC对称得到A′，过点A′作A′E⊥AC，垂足为点E，且交BC于点D，连接A′A、AD，则AD=A′D，DE=12CD.在RtΔABF中，易得AF=3，故AA′=23，在RtΔAA′E中，易证A′E=3，因为2AD+CD=2A′D+2DE=2A′E=6，所以2AD+CD的最小值为6.

2 最短路径问题在函数背景中的应用

例3 如图3，直线y=2x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=5xx>0的图象交于点B，反比例函数y=5xx>0图象上有一点D且纵坐标为1，请问在x轴上是否存在点P，使PB+PD的最小值？若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由.

分析 本题是函数背景下的“将军饮马”模型， 如图3，类比例1将一个固定点关于动点所在的直线对称过去，将同侧的问题转化为异侧的问题，再利用“两点直线线段最短”的理论依据，在x轴上找到满足条件的点P.

解析 如图3，作点D关于x轴的对称点D′，连接BD′，交x轴于点P，连接PD，则PD=PD′，此时PB+PD′的值最小，而易知B1，5、D5，1、D′5，-1，可得直线BD′的解析式为y=-32x+132，其与x轴交于点P（133，0），易得BD′=213，即PB+PD′的最小值是213，故PB+PD的最小值为213.

例4如图4，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若点Q为线段OC的一动点，问QA+12QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.

分析 本题也是函数背景下的最短路径问题，要想解决此问题，我们需要抓住两个突破口：①求线段和的最小值问题，需要利用轴对称将同侧问题转化为异侧问题;②求“QA+12QC”，结合例2的解题策略，应用到30°的直角三角形的性质.

解析 如图4， 将y轴所在直线绕点C逆时针旋转30°得到直线CE，作点A关于y轴的对称点A′，过点A′作A′D⊥CE，垂足为D，交y轴于点Q，A′D的长度即为QA+12QC的最小值.易得OE=3，所以A′E=1+3，在RtΔA′DE中，易得A′D=3+32，即QA+12QC的最小值为3+32.

3 结语

“最短路径问题”是历年来中考命题的热点问题，它是考查学生分析问题和解决问题的有效工具.通过对上述问题的归纳，可知解决这一类问题的实质是利用轴对称将最短路径问题转化为位于异侧的线段与线段和的最小值问题，然后依据两点之间的距离问题求解.同时，要求学生需要具备转化、从特殊到一般的数学思想方法.

本文是笔者在教学实践中对学生常见的同类难点问题的整理和归纳， 通过对此类问题的分析和解答，希望学生能够体会一题多解、多题归一，最终构建解决这类问题的有效策略.

参考文献：

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