一道无理方程题的四种解法

徐连升

题目 解方程：

3x+2373+3x-2373=1.

解法1 立方法

方程两边立方，得

x+2373+33x+23732·

3x-2373+33x+2373·

3x-23732

+x-2373=1.

化简，得2x+32x+2373·3x-2373

3x+2373+3x-2373

=1，

即1-2x=33x2-2827，

再立方整理，得8x3+15x2+6x-29=0，

因式分解，得

（x-1）（8x2+23x+29）=0，

所以x-1=0，

或8x2+23x+29=0.

对于8x2+23x+29=0，

Δ=232-4×8×29<0，

无实数解，

所以x-1=0，x=1.

经检验，x=1是原方程的根.

解法2 共轭根式法

设3x+23732-3x+2373x-2373+

3x-23732=y，

与原方程两边相乘，得

3x-23732+3x-23733=y，

即2x=y，

所以2x=3x+23732-

3x+2373x-2373+

3x-23732

=3x+2373+3x-23732-

33x+2373x-2373

=1-33x2-2827，

所以33x2-2827=1-2x，

立方，得8x3+15x2+6x-29=0，

因式分解，得（x-1）（8x2+23x+29）=0，

所以x-1=0，

或8x2+23x+29=0.

对于8x2+15x2+6x+29=0，

Δ=232-4×8×29<0，

无实数解，

所以x-1=0，x=1.

经检验，x=1是原方程的根.

解法3 换元法

设3x+2373=a，3x-2373=b，

则a+b=1，a3+b3=2x.

而a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

=（a+b）2-3ab

=1-33x2-2827

=2x，

所以1-2x=33x2-2827，

立方整理，得8x3+15x2+6x-29=0，

因式分解，得（x-1）（8x2+23x+29）=0，

因为8x2+23x+29=0的Δ=232-4×8×29<0，无实数解，

所以x-1=0，x=1.

经检验，x=1方程的根.

解法4 分子有理化法

原方程化为

3x+2373+3x-2373

3x+23732-3x+2373

+3x-23732

3x+23732-3x+2373

x-2373+3x-23732

=1，

即3x+23733+3x-23733

3x+23732-3x+2373

x-2373+3x-23732

=1，

2x3x+2373+3x-23732-3

3x+2373x-2373=1，

2x1-33x2-2827=1，

所以2x=1-33x2-2827，

1-2x=33x2-2827，

立方整理，得8x3+15x2+6x-29=0，

因式分解，得（x-1）（8x2+23x+29）=0，

所以x-1或8x2+23x+29=0，

因為方程8x2+23x+29=0的Δ=232-4×8×29<0，无实数解，

所以x-1=0，x=1，

经检验，x=1是原方程的根.