例析初中比较数的大小

孙华

【摘要】 本文归纳了数数比较大小的七条法则.对初中不同类型的数数比较进行了总结，并进行例析.

【关键词】 初中;数数;比较

比较数的大小是数学中常见的题型.如何比较数与数的大小？这里我们对常见的一些题型举例进行分析.

1 数数比较的法则

法则1 正数大于负数

法则2 两负数相比较，绝对值大的反而小

法则3 同底数的幂相比较，底数大于1时，指数越大幂越大;同底数的幂相比较，底数小于1时，指数越大幂越小

法则4 0～90°范围内，角度越大，正弦值越大，余弦值越小

法则5 0～90°范围内，角度越大，正切值越大，余切值越小

法则6 两个正的根式相比较，根指数相同，被开方数越大，根式值越大

法则7 两个正的根式相比较，被开方数相同且大于1时，根指数越大，根式值越小;两个正的根式相比较，被开方数相同且小于1时，根指数越大，根式值越大;

2 数数比较的题型与方法

2.1 直接应用法则进行大小比较

如：0.1>-21;-1>-8;

0.75>0.79;36<310

sin32°

cos16°>cos27°;

tan54°>tan49°;

cot78°

13<29;

311>511;

30.4<50.4.

在要求按序排列几个数时，我们也可以画数轴，根据数轴上表示点的数左边的小于右边的，确定数数的大小关系.

例1 用小于号将下列数连起来

2，-1，0，14，-12.

解 将这几个数用数轴上的点表示出来，如图1所示.

根据数轴可知

-1<-12<0<14<2.

2.2 正弦与余弦大小比较

例2 比较sin41°与cos43°的大小.

分析 这类题目主要利用正弦与余弦之间的关系，即互余的两个角，一个角的正弦等于另一个角的余弦，将正、余弦统一成正弦或余弦，再利用0～90°范围内，角度越大，正弦值越大，余弦值越小，得出结果.

解 因为cos43°=sin47°，

sin41°

所以sin41°

2.3 正切与余切大小比较

例3 比较tan36°与cot57°大小.

分析 这类题目主要利用正切与余切之间的关系，即互余的两个角，一个角的正切等于另一个角的余切，将正、余切统一成正切或余切，再利用0～90°范围内，角度越大，正切值越大，余切值越小，得出判断结果.

解 因为cot57°=tan33°，

tan36°>tan33°，

所以tan36°>cot57°.

2.4 amn与bmp型幂大小比较

例4 比较23333与32222大小.

分析 这种类型，可把它们转化为同指数的幂，再进行比较.

解 因为23333=23×1111=（23）1111=81111，

32222=32×1111=（32）1111=91111，

所以23333<32222.

2.5 na與mb型根式大小比较

例5 比较54与32大小.

分析 这种类型根指数不同，可将它们进行相同次方运算，然后再比较运算的结果.相同次方的次数就是两根式根指数的最小公倍数.

解 （54）15=43=64，

（32）15=25=32，

因为64>32，

所以54>32.

2.6 a+b与c+d型大小比较

例6 比较2+7与3+5大小.

分析 这种类型，我们可以通过多次乘方运算直到能比较出大小为止.

要比较2+7与3+5大小，可比较它们的平方大小，

（2+7）2=9+214=8+（1+214），

（3+5）2=8+215.

因此要比较2+7与3+5大小，就要比较1+214与215大小，再将后面的两个根式进行平方运算，然后比较大小.

（1+214）2=57+414，

（215）2=60=57+3，

这样要比较2+7与3+5大小，只要比较出414与3的大小，

显然414>3，

所以2+7>3+5.

如果看不出414与3的大小，也可以继续将这两个数进行平方运算再比较.

2.7 a-b与c-d型大小比较

例7 比较5-3与7-5大小.

分析 这类型的大小比较，我们可以把它们看成是分母为1的式子，采用分子有理化方法进行比较.

解 5-3

=（5-3）（5+3）5+3=25+3，

7-5=（7-5）（7+5）7+5=27+5，

因为5+3<7+5，

所以5-3>7-5.

如果对它们进行分子有理化后，分子相同，但分母也看不出大小时，我们可以仿照例6方法，对分母再单独进行比较.如果分子有理化后，分子不同，我们可同时扩大式子的分子与分母，使它们分子相同.

2.8 1a-b与1c-d型大小比较

例8 比较111-7与17-3大小.

分析 这类型的大小比较，我们可以先对它们进行分母有理化，然后再比较.

解 111-7=11+7（11-7）（11+7）

=11+74，

17-3=7+3（7-3）（7+3）=7+34，

因为11+74>7+34，

所以111-7>17-3.