如何求解排列组合问题

丁军

排列组合问题有很多，常见的有平均分组问题、不平均分组问题、相邻问题、不相邻问题等.排列组合问题中往往会涉及多种排列、组合的情形，很多同学经常会出现考虑问题不全面、分类标准不一致、遗漏某些情况等问题.究其根本原因是没有明确问题的本质，选用的方法不合适.对此，笔者对下列两类排列组合问题及其解法进行了深入的分析、总结.

一、分组问题

分组问题包括平均分组问题和不平均分组问题，其区别在于各组的元素个数是否相等.

1.不平均分组问题

有些问题要求将几个元素进行分组，且每组元素的个数不相同，此类问题称为不平均分组问题.由于分组后各个组之间存在差异，所以在解题时，不需要对分组后的顺序进行排列.解答不平均分组问题，只需先根据题意进行分组，即从所有元素中选出几个元素进行分组即可.

例1.将不同品牌的6瓶矿泉水分为3堆，分别为3瓶、2瓶和1瓶，请问一共有多少种分法.

分析：本题是不平均分组问题，要求将6瓶矿泉水分别分为3瓶、2瓶、1瓶三组，对于分组后的排列顺序没有要求，因此只需重点关注分组的情况.

解：从6瓶水里面任意选出3瓶，将其作为一堆，有c：种分法，从剩下的3瓶水中任意选出2瓶，将其作为第二堆，有c;种分法，剩下的1瓶水为一堆.根据分步计数原理可得一共有：C3C2C：=60种分法.

2.平均分组问题

平均分组问题是指将所有元素平均分配到各个组，分组后，每一组元素的个数均相同，若元素相同，那么各个组之间就没有差别，会出现重复分组的情况，需进行消序，将所求的结果除以组数的全排列数.

例2.将不同品牌的6瓶矿泉水平均分成3份，一共有多少种分配方法.

分析：本题属于平均分组问题，题目对分组后各组之间的排列顺序没有要求，分别计算平均分组后元素的分配情况即可.

二、相邻问题

元素相邻问题是指要求某些元素必须相邻排列的问题，通常采用捆绑法求解.运用捆绑法解题，需将相邻的元素看作一个整体，将其视为一个“大元素”，将其与没有要求的元素一起排列，然后再排列“大元素”内部元素的顺序.

例3.将2本艺术类，3本医学类，4本实验类书籍放在一个书架上，要求同类的书籍必须排放在一起，一共有多少种放法？

分析：可将2本艺术类、3本医学类、4本实验类书籍看作相邻的元素，采用捆绑法求解.先将三类书籍分别看作一个整体进行排列，然后排列三类书籍内部书的顺序即可.

解：将2本艺术类、3本医学类、4本实验类书籍分别看作一个整体进行排列，有A3=6种放法;

2本艺术类书籍全排，有A2种放法;3本医学类书籍全排，有A3种放法;4本实验类书籍全排，有A：种放法：

由分步计数原理可得一共有A3×A3×A2×A4= 1728种放法.

例4.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有____种.

解：因为“qu”必须取出，所以另外3个字母需从剩下的6个字母中取出，有c6种取法.因为要求“qu”相连，所以采用捆绑法，在排列时将“qu”视为一个元素与其它3个字母进行排列，有A4种排法.因为“qu”的排列顺序不变，所以不需要再对“qu”的顺序进行排列.综合上述分析可知，一共有：C6-A4=480种排法.

要求“qu”相连，须采用捆绑法，将其捆绑看作一个整体进行排列.解答本题需分两步：第一步要先取出5个元素，第二步将5个元素进行排列，所以需运用分步计数原理求解.

总之，解答排列组合问题，需首先仔细分析题意，明晰问题中对元素的要求，如平均分组、不平均分组、元素相邻等，还需明确完成排列组合，需要分步进行，还是分类进行，并全面考虑到每一种可能出現的情形，然后灵活运用分类、分步计数原理进行求解.

（作者单位：江苏省淮安中学）