刘俊
数列不等式证明具有较强的综合性,且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等,对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.
一、裂项放缩法
若数列的通项公式为分式,且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式,则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分,在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消,再将所得的结果进行适当的放缩,便可证明数列不等式.
二、构造函数法
数列是一种特殊的函数,在解答数列不等式证明题时,可根据目标不等式的特点构造出函数模型,此时需将n∈N看作函数的自变量,将目标式看作关于n的函数式,利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值,从而证明不等式成立.
解答本题,需先求得bn、Ta并将目标式化简,然后根据目标不等式的特点构造函数f(n),通过比较f(n+1)、f(n)的大小,判断出函数的单调性,进而根据函数的单调性证明不等式成立,一般地,在判断数列或函数的单调性时,可采用作差或作商法来比较数列的前后两项an+1、an的大小,若an+1>a。,则函数或数列单調递增;若an+1
三、数学归纳法
数学归纳法主要用于证明与自然数N有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式,需先根据题意证明当n=1时不等式成立;然后假设当n=k时不等式成立,再根据题意,通过运算、推理证明当n=k+1时不等式也成立,这样便可证明对任意n∈N*不等式恒成立.