不稳定结构形态的广义逆矩阵创构研究

田东霞

(吕梁学院汾阳师范分校, 山西汾阳,032200)

在刚性杆件合理结构形态的设计中, 广义逆矩阵理论的应用最为广泛[1-2]。随着计算机效率的提高与数值理论的发展, 数值计算方法在逐渐取代实验的方法。用于结构合理形态确定的方法主要包括基于优化理论的结构形状与拓扑优化方法和基于模型实验原理的结构找形方法。结构优化方法可以针对不同的设计目标建立目标函数, 并通过优化算法来寻求合理的结构形态。

为了在张拉结构刚性杆件合理形状的设计中正确应用广义逆矩阵理论以及对不稳定结构的形态进行控制和调节, 本文提出了一种不稳定结构形态的逆矩阵创构方法, 将单元类和临时单元融入广义逆矩阵理论中, 在单个类的杆件总长度固定的条件下建立移形方程, 利用广义逆矩阵理论计算和确定势能降幅最大的方向, 在此过程中对模型的结构形状进行逐步调整直到其势能降至最低。最后通过具体实例验证了所提出方法的实效性。

1 移形方程的构建与求解方法

将一个包含n个杆件单元的杆系模型按照特定规则划分为m个单元类, 每一个类别中所有单个杆件的长度之和称为单元类长度[3-4], 其向量表达式为

式中,li代表第i个单元类的长度, 其具体数值的计算方式为

模型的结构形状发生变化时, 单元类长度li可被视为以时间t为变量的函数, 所以对式(2)关于t求导后会有

式中,λij代表第i个单元类中第j个杆件的方向余弦向量。将式(1)与式(3)相结合, 将处于被约束状态的坐标向量及与其存在对应关系的系数列向量同时消除, 可得

式中,β代表杆系模型的自由度,m代表模型中的单元类数量。式(4)体现了单元类长度变化幅度与杆件节点移动速度的关系。在单元类长度固定的前提下, 式(4)可变换成如下形式

至此移形方程得以建立。本文对传统广义逆矩阵理论中的移形方程进行了优化, 以单元类固定长度取代了单一杆件的固定长度, 使计算方式能够更加灵活。

式(5)基于广义逆矩阵理论的解为

式中,α代表任意一个向量,A-代表A的广义逆。设r为A的秩, 那么矩阵(Iβ-A-A)就应包含(β-r)个线性无关的列向量。由此式(6)的另一种表达形式为

式中,αi代表第i个单元的任意向量,p=β-r,h1、h2、…、hp分别为矩阵(Iβ-A-A)中包含的p个线性无关的列向量, 也就是当前状态下模型的结构移形形态。式(7)体现了当前状态下以单元类长度固定为前提的模型形态变化走向, 但其解并不是唯一的。

2 势能下限

当不稳定的杆结构在外力作用下达到势能下限时, 其内部只承受轴向力, 因此需要确定在特定的外力作用下达到势能下限时模型的形状, 从而获得合理的结构形状[5-7]。当模型持续受力从第i个状态的形状改变为第(i+1)个状态的形状时, 其形状改变量可用单个杆件两端坐标向量的变化来表示, 即

模型势能的改变量是移形模态系数α的函数, 为了实现最大的势能下降幅度, 可将α的表达形式设定为势能改变量关于模态系数的负梯度, 即

由此可以得到第i+1 个状态下杆系模型的具体形状, 经过反复迭代后即可获得达到势能下限时的模型形状。在此过程中, 通过下式进行收敛条件的检验:

式中,ε代表设定的收敛规则阙值。当次收敛完成后, 若满足式(11)则进入下一步, 若不满足则需重复迭代过程。

3 方法的实例验证

3.1 树状形态创构

按照形状设计要求, 需要通过不同的单元类划分方式对一种简单的平面树形结构进行合理形态的创建, 对各种分类形式下的形状进行对比, 以验证分类方法和临时的单元组合对结构形状合理性的影响[8-11]。初始树状结构模型及不同单元类划分方式下的各种最终结构形状如图1 所示。

图1 初始模型及不同形态创构

图1(a)中的初始结构模型包含11 个单元, 其中(1)～(8)为树的二级分枝,(9)、(10)为树的一级分枝,(11)为树干。模型顶部4 个点处于被约束状态, 受力点在底部节点, 外部作用的拉力大小为10 N。在图1(c)～1(f)中, 具有相同线型的单元被划分到统一个单元类, 图1(b)为未划分单元类的条件下所得的最终结构形状, 且由该图可见(3)～(6)单元对应的构件都是低效构件, 可通过单个杆件组成的模型进行等效实验以获得最终结构形状。图1(c)的单元类划分方式为: 第一类包含(1)～(4)单元, 第二类包含(5)～(8)单元, 第三类包含(9)、(10)单元,(11)单元为第四类。相较于图1(b), 图1(c)中无低效构件, 创构过程中图1(c)包含的标记节点均产生滑动效应, 可以通过滑环连接形式下的等效结构实验确定最终形态。图1(d)的单元类划分方式为: 第一类包含(1)～(8)单元, 第二类包含(9)、(10)单元,(11)单元为第三类, 该分类方式下最终得到轴对称的结构形状。图1(e)为在初始形状中加入一个临时单元后得到的结构形状, 临时单元与(9)、(10)划分到同一类, 其上端点被约束, 下端点上受到外部作用力F′, 当势能下降到最低时,图1(e)的形状改变为图1(f)的形状, 此时分析受力情况可知(9)、(10)所受内力5.99 N, 数值与临时单元的作用力十分接近。当模型势能降至下限并处于平衡状态时, 同一类中的单元所受内力相等, 说明增加临时单元能够控制最终形状的内部作用力, 这也是形状控制的一种有效方法。

图2 所示为不同分类方式下创构过程中的势能改变情况。其中方案Ⅰ～Ⅳ分别对应图1(b)、1(c)、1(d)、1(f)的创构过程。由图2 可知, 随着迭代次数的增加, 模型势能持续稳定降低直至趋近于0, 此时模型势能达到下限且结构已达最终形态。

图2 模型势能随迭代次数的变化趋势

3.2 类极小曲面的形态创构

张拉索实验能够同时模拟滑动效应和增设临时单元控制结构件内力, 可以用于类极小曲面结构的形态创构, 如对类双曲抛物面, 其创构过程如图3 所示。

图3 类双曲抛物面网格的形态创构过程

图3(a)为初始网格模型, 将首尾相连的单元划分为同一单元类以模拟具有滑动效应的连续索, 其四边框各节点均处于被约束状态, 每个连续索两端都被施以10 N 的作用力, 模型势能达到下限后变为图3(b)所示的形状, 剔除临时单元即可得到图3(c)所示的合理形状的创构结果。由此可以说明, 通过增设临时单元的方法可以对类极小曲面进行合理创构。

3.3 自由曲面网格的形态创构

通过本文所提出的方法进行自由曲面网格结构的形态创构过程如图4 所示。

图4(a)和图4(b)为自由曲面模型的初始形状, 将由曲面转化为平面图后相互平行的杆单元即图中线型标记相同的单元划分到第一单元类。在模型中增设临时单元与图4(b)中的虚线对应的单元一同划分到第二单元类, 使之形成连续索。模型底部、临时单元顶部的点均处于被约束状态。临时单元底部受到垂直向下、大小为3 N 的作用力, 其余节点作用力方向向上, 大小为1 N。4(c)为创构结果。

图4 自由曲面网格的形态创构过程

对初始结构模型和最终结构模型分别进行有限元分析, 在此过程中将模型中的杆件设置为梁单元,弹性模量数值为200 Gpa, 所有节点受到垂直向下的作用力, 大小为5 N, 各单元以刚性连接的方式相互连接。通过有限元分析得到的初始结构与最终结构的轴向力和弯矩云图如图5 所示。

图5 结构受力有限元分析结果

由图5 中数据可见, 最终结构的模型仅有局部存在较大弯矩, 相较于初始结构模型轴向力差别很小。两种结构下各自的受力性能数据如表1 所示。

表1 两种结构的受力性能对比

由表1 中的数据可见, 最终结构相对于初始结构最大弯矩降低93.1%, 整体平均弯矩降低92.49%,弯矩降幅十分明显, 此时结构受力主要集中在轴向力上。同时, 结构应变能降低96.79%, 节点最大垂直位移减少95.83%, 平均垂直位移减少97.19%, 由此可见结构刚度得到明显改善。

改变杆单元的分类方式和临时单元所受外部作用力的大小能够获得等多的结构形状, 在图4(a)所示初始模型的基础上增加了3 种对比方案以验证这种方法的有效性。不同方案的结构形状如图6 所示,其中图6(a)为原方案(方案Ⅰ), 图6(b)为将外部作用力提高到10 N 后得到的结构形状(方案Ⅱ), 图6(c)为临时单元不受外部作用力所形成的结构形状(方案Ⅲ), 图6(d)为仅保留第二单元类、其它单元不再分类且临时单元不受外部作用力所形成的结构形状(方案Ⅳ)。

通过图6(a)与6(b)的对比可知, 临时单元所受外部作用力越大, 模型顶部的结构凹陷越明显, 通过图6(c)与6(d)的对比可知, 方案Ⅲ所形成的模型顶部结构圆滑且饱满, 方案Ⅳ所形成的模型顶部结构则呈上凸形状, 这是单元类划分方式不同所产生的形状差别, 方案Ⅲ采用了划分两个单元类的方式, 每个类的单元长度能够重新分配, 从而消除了顶部凸起的部分, 而方案Ⅳ取消了第一单元类, 其刚性杆件等效模型所得到的即为顶部凸出的结构形状。由此表明单元类划分和增加临时单元能够使本文提出的方法进行结构形状的调整。

图6 多种结构方案对比

4 结束语

本文以广义逆矩阵理论为基础, 通过单元类划分和增设临时单元的方式对自由曲面结构、类极小曲面结构和平面树状结构的结构形状合理创构方法进行了研究。通过单元类的划分消除了模型中的低效构件, 通过临时单元的引入实现了对结构内力的有效控制, 同时证明改变单元类划分方式和设置临时单元能够对结构形状进行调整和控制, 且得到的最终结构相较于初始结构的弯矩大幅降低, 性能大幅提高。综上所述, 本文所提出的方法具有很强的实效性。