扩展的同宿检验法与(3+1)维广义KP方程的非行波解*

郑筱筱, 段风霜, 陈思远, 张舒涵

(①曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;②吉林大学数学学院,130012,吉林省长春市)

0 引 言

随着现代自然科学和工程技术的高速发展，各学科自身精确化的要求越来越高，在从实际问题建立数学模型的过程中，学者们对非线性问题进行简单的局部线性模拟已不能满足实际需求，所以模型化出来的非线性偏微分方程也由低阶一维向高阶高维发展.因此，高维非线性偏微分方程更具有一般性，更能真实地反映和描述自然界某些实际现象.而精确解可以深刻解释物理模型、预测实际物理状态的演化过程，也可用于检验数值计算结果的正确性和精确度等.

(3+1)维 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程

uxxxy+3(uxuy)x+utx+uyt-uzz=0

(1)

描述了流体力学、等离子体物理、弱色散介质中的孤子以及非线性波的动力学行为,也可描述具有弱非线性恢复力和频散的小振幅长波水波模型，其中u=u(x,y,z,t) 为振幅波函数.如果令y=x，方程 (1) 退化为经典的 KP 方程.若令z=y=x，方程 (1) 退化为势 KdV 方程.Ma 等[1-3]利用双线性 Bäcklund 变换方法、复合指数函数方法等研究了方程 (1) 的精确解形式.Wazwaz[4]运用简化的 Hirota 方法建立了方程 (1) 的多孤子解.运用 Lie 对称和奇异流形方法，Rasha等[5]讨论了方程 (1) 的新精确解.Kumar等[6]借助 Lie 对称方法构造了方程 (1) 丰富的群不变解，并通过数值模拟用三维图形解释了孤子解产生的物理意义.除此之外，Dubrovin等[7]研究了几个广义 KP 方程的色散激波形成.文献[8,9]运用简化的Hirota方法和Hirota双线性形式研究了更广义的(3+1)维 KP 方程的精确解.

近些年来，由于非行波解更能准确刻画方程所描述的物理现象，越来越多的学者专注于研究高维非线性偏微分方程非行波解.Shang等[10,11]首次提出将扩展的同宿检验法与变量分离相结合，并分别用此方法研究了Calogero 方程和势 YTSF 方程的非行波精确解.在文献 [10,11] 的启发下，Zheng 等[12,13]研究了(3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程和(3+1)维变系数 Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa 的非行波解.

受上述文献的启发，本文主要将扩展的同宿检验法与加法和乘法形式的变量分离方法相结合，研究(3+1)维 KP方程的非行波解，并对所得到的形式解中的系数在不同数域上进行探讨，由此得到方程 (1) 更多的精确非行波解.最后利用 Matlab 作图分析所获得的部分解的性质.

1 (3+1)维 KP 方程的精确非行波解

本节将扩展的同宿检验法与乘法和加法形式的变量分离方法相结合，研究(3+1)维 KP 方程 (1) 的非行波解.

根据方程 (1) 中的最高阶导数项和非行波解的定义，假设方程 (1) 有如下形式的解

u(x,y,z,t)=φ(ξ,t)+q(y,t),

(2)

其中ξ=x+mz+θ(y,t)，m为常数，φ(ξ,t),q(y,t) 及θ(y,t) 为待定函数.将形式解 (2) 代入方程 (1)，可得

θyφξξξξ+(3qy+θt+θtθy-m2)φξξ+6θyφξφξξ+(1+θy)φξt+θytφξ+qyt=0.

(3)

为了方便求解，本节需将(3)式转化成双线性形式.因此，令

3qy+θt+θtθy-m2=0.

(4)

由此可得，方程 (3) 化简为

θyφξξξξ+6θyφξφξξ+(1+θy)φξt+θytφξ+qyt=0.

(5)

而且，由 (4) 式，可得

(6)

本节讨论θ(y,t) 具有如下两种形式.

1.1 和的变量分离形式

假设θ(y,t) 具有和的变量分离形式

θ(y,t)=f(t)+k(y),

(7)

其中f(t),k(y) 是待定的光滑函数.将方程(7)代入(6)式，可得

(8)

为了简化方程(5)，令f′(t)=常数.因此，有f(t)=αt，其中α为常数.由此，可得θyt=0，qyt=0.方程 (5) 化简为

k′(y)φξξξξ+6k′(y)φξφξξ+(1+k′(y))φξt=0.

(9)

为了得到双线性形式，我们通过引入一恰当的变量替换

(10)

将(9)式转化成如下常系数偏微分方程

νξξξξ+6νξνξξ+νξη=0.

(11)

方程 (11) 关于ξ积分一次，并令积分常数为零，可以得到

(12)

为了求解方程 (12)，在文献 [10-13] 的启发下，通过引入一个非线性的函数变换

ν=2(lnφ)ξ,

(13)

将(12)式转化成双线性方程

(14)

其中φ(ξ,η)是一个待定的实函数，双线性算子D定义如下

定理1.1若φ(ξ,η) 是双线性方程 (14) 的解，则

为方程 (1) 的解，其中ξ=x+mz+k(y)+αt,m,α和c为常数，k(y) 为任意的连续可微函数.

为此，通过研究方程 (14) 的解，进而获得方程 (1) 的精确非行波解.根据扩展的同宿检验法，假设方程 (14) 有如下解

φ=k1cos(ζ1)+k2exp(ζ2)+exp(-ζ2),

(15)

其中ζi=aiξ+biη,i=1,2,k1,k2,a1,a2,b1和b2是待定常数.将(15)式代入方程 (14)，可得到一个关于ai,bi和ki(i=1,2) 的非线性方程组

(16)

借助 Maple 数学软件，可得方程 (1) 的精确非行波解.

情形1

(17)

结合 (17)、 (15)、 (13)、 (10)、 (7) 和 (2)式，可以得到方程 (1) 的解

(18)

其中

事实上，如果a2∈，则解 (18) 可表示成

(19)

(20)

其中

如果a2=ik3,k3∈,则解 (18) 可化为

(21)

(22)

其中

E1=sinh(ln(k2))+isin(2b1),

E2=sinh(-ln(k2))-isin(2b1),

如果a2=k4+ik3，k3,k4∈，且都不为零，则解 (18) 可表示为

(23)

(24)

其中

情形2

(25)

结合 (25)、 (15)、 (13)、 (10)、 (7) 和 (2)式，可得到方程 (1) 的解

(26)

其中

事实上，解 (26) 可以化简为

(27)

(28)

(29)

其中K=k1+k2+1，以及

F5=k2cos2(ζ1)+(k2-1)2sin2(ζ1),

E6=i[Ksinh(D1)±(1-k2)cosh(D1)],

F6=Kcosh(D1)±(1-k2)sinh(D1),

E7=[k2-(1-k2)2]sin(C)cos(C)+i[(k2+(1-k2)2)sinh(D)cosh(D)±

K(1-k2)cosh(2D)],

F7=k2(sinh2(D)+cos2(C))±K(1-k2)sinh(2D)+(1-k2)2(sinh2(D)+sin2(C)),

(30)

(31)

(32)

情形3

(33)

结合(33)、(15)、(13)、(10)、(7)和(2)式，可得到方程 (1) 的解

(34)

其中

事实上，解 (34) 可以表示为

(35)

(36)

(37)

其中

E8=[(k1+1)2-1]sin(ζ1)cos(ζ1)±i(k1+1),

F8=(k1+1)2cos2(ζ1)+sin2(ζ1),

E9=i[(k1+1)sinh(D1)±cosh(D1)],

F9=(k1+1)cosh(D1)±sinh(D1),

E10=[(k1+1)2-1]sin(C)cos(C)+

i[(k1+1)2sinh(D)cosh(D)±(k1+1)cosh(2D)+sinh(D)cosh(D)],

F10=(k1+1)2[cos2(C)+sinh2(D)]±(k1+1)sinh(2D)+sin2(C)+sinh2(D),

C,D和D1由 (30)～(32)式给出.

情形4

(38)

结合(38)、(15)、(13)、(10)、(7)和(2)式，可得到方程(1)的解

(39)

其中

事实上，解 (39) 可以分如下情况：

(40)

(41)

(42)

其中

E11=k1cos(J1)+1-ik1sin(J1),

F11=(k1+cos(J1))2+sin2(J1),

E12=k1exp(-I)cos(J)+exp(-2I)-ik1exp(-I)sin(J),

F12=(k1+exp(-I)cos(J))2+exp(-2I)sin2(J),

在和的分离变量形式下，通过分析a1在不同数域中的取值，我们得到 15 种精确非行波解，其中u1,u13是类扭结型解，u2是类奇性孤波解，u8,u11是类扭结型解或者类奇性孤波解，u7,u10,u14可看作类周期孤波解，u5,u6,u9,u12,u15是类呼吸扭结解. 下面给出4种不同类型解的三维图像.

图1 u1,a2=α=k2=m=1,c=0,x=z=0,k(y)=y. 图2 u2,a2=α=m=1,k2=-1,c=0,x=z=0,k(y)=y.

图3 u5,k2=k3=k4=m=α=1,c=0,x=z=0,k(y)=y. 图4 u7,a1=k1=m=α=1,k2=2,c=0,x=z=0,k(y)=y.

注1.2在精确非行波解u1-u15中，k(y) 是任意的连续可微函数.当任意函数k(y) 取常数时，可得到方程 (1) 丰富的精确行波解.当任意函数k(y) 取确定的函数时，可得到方程 (1) 丰富的精确非行波解.

1.2 乘积变量分离形式

假设θ(y,t) 具有乘法形式的变量分离

θ(y,t)=f(t)k(y),

(43)

其中f(t),k(y) 为待定的光滑函数.将(43)式代入(6)式，可以得到

(44)

为了简化(5)式，将其转化成方程 (9) 形式，我们需要θyt=0,qyt=0.由(44)式可得f′(t)=0，即f(t)=常数.此时，(43)式转化为θ(y)=k(y). 这种情况可以看做(7)式的特殊情形(α=0).按照和的分离变量形式相同的推导过程，也可以得到 15种精确非行波解.

2 结 论

在本文中，首先利用加法和乘法两种形式的变量分离的方法，将(3+1)维KP方程转化为双线性方程；进而，利用扩展的同宿检验法，获得了类扭结型解、类奇性孤波解、类周期孤波解、类呼吸扭结解等15种精确解形式，并借助 Matlab 给出了4种不同类型解的三维图像.扩展的同宿检验法是求解非线性偏微分方程精确解非常有效的方法，但直接利用此方法，仅能获得4种形式的解.本文中，将扩展的同宿检验法与变量分离方法相结合，获得了 15 种精确非行波解.本工作不是单纯的运用扩展的同宿检验法，而是将此方法与分离变量方法相结合，推广并完善了扩展的同宿检验法的应用.与文献[1-6]相对比，我们采用的方法不同，得到了更多类型的非行波解，在特殊情形下，还可以获得丰富的行波解，完善了(3+1)维 KP方程的解类型.