事件空间中非完整力学系统的Herglotz-d′Alembert原理与守恒律*

张毅 蔡锦祥

(苏州科技大学 土木工程学院, 苏州 215011)

引言

事件空间将空间和时间统一在一起考虑, 使得时间与质点系的广义坐标处于同等地位, 这样不仅使方程更简洁, 还可直接给出能量积分. 因此, 无论从几何角度还是动力学角度都有重要的意义[1-5]. 守恒律研究是非完整力学研究的一个重要方面, 而寻求守恒量通常可利用对称性方法[5，6]和积分因子方法[7，8]等. 除此之外，守恒律也可利用微分变分原理来研究. 例如, d′Alembert原理[9]、Jourdain原理[10-12]、Gauss原理[12]、Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理[13]等. Herglotz变分原理[14，15]由于其研究为非保守力学提供了一个变分方法, 近年来得到广泛关注[16-25]. 但是迄今为止几乎所有Herglotz变分原理及其对称性的研究都限于位形空间或相空间. 最近, 文献[26]基于微分变分原理研究了非保守非完整系统的Herglotz型守恒律.本文将进一步研究事件空间中非保守非完整力学系统的Herglotz型守恒律, 导出该系统的Herglotz-d′Alembert原理, 基于所得原理建立Herglotz型守恒定理及其逆定理.

1 事件空间中Herglotz-d′Alembert原理

研究力学系统，设系统是非保守的, 其广义坐标为qs(s=1,2,…,n).构建n+1维事件空间，该空间点的坐标为xα=xα(τ)(α=1,2,…,n+1), 其中x1=t,xs+1=qs,τ为参数. 令xα=xα(τ)是C2类函数, 使得

(1)

不同时为零, 有

(2)

(3)

定义1确定函数xα(τ),τ∈[τ0,τ1], 使由事件空间中一阶微分方程

(4)

确定的作用量z(τ), 在给定的边界条件

xα(τ)|τ=τ0=xα0,xα(τ)|τ=τ1=xα1

(5)

和初始值

z(τ)|τ=τ0=z0

(6)

下取得极值, 即z(τ1)→extr., 这里xα0,xα1,z0为常数,α=1,2,…,n+1. 称此变分问题为事件空间中Herglotz广义变分原理,z(τ)为Hamilton-Herglotz作用量.

对z′(τ)求变分, 有

(7)

方程(7)可视作以δz为变量的微分方程, 可得

(8)

注意到z(τ1)→extr.以及式(6), 有

δz(τ0)=δz(τ1)=0

(9)

在式(8)中, 取τ=τ1, 得

dτ=0

(10)

设系统的运动受g个非完整约束，在位形空间中约束方程为

σ=1,2,…,ε;ε=n-g)

(11)

事件空间中可表为

(12)

其中

(13)

虚位移满足Appell-Chetaev条件

(β=1,2,…,g;γ=1,2,…,ε+1;ε=n-g)

(14)

(15)

则有

(16)

(17)

由于非完整约束的存在, 须考虑变分和微分运算的交换性问题. 这里采用交换关系的Hölder定义[27], 即假定全部变分满足交换关系

(18)

将式(14)对τ求导, 并考虑到关系式(18), 得

(19)

(20)

(21)

将式(14)代入式(21), 考虑[τ0,τ1]的任意性, 有

(22)

式(22)可称为事件空间中非完整力学系统的Herglotz-d′Alembert原理. 由δxγ的独立性, 有

(γ=1,2,…,ε+1)

(23)

方程(23)可称为事件空间中非完整力学系统的Herglotz型运动微分方程.

2 Herglotz-d′Alembert原理不变性条件

事件空间坐标xα的等参数变分可定义为

(24)

非等参数变分为

(25)

(26)

因此有

(27)

引进Fs和f作为事件空间中的空间生成元和参数生成元

Δxα=εFα(x,x′),Δτ=εf(x,x′)

(28)

于是有

(29)

将式(29)代入式(22), 整理可得

(30)

由条件(14)和式(29), 生成元应满足条件

(31)

(32)

得到

(33)

式(33)可称为事件空间中非完整力学系统Herglotz-d′Alembert原理不变性条件的变换.

3 Herglotz型守恒定理

由Herglotz-d′Alembert原理不变性条件式(33), 可得到如下定理

定理1如果事件空间中的空间生成元Fα, 参数生成元f, 以及规范函数GN满足条件

(34)

和限制方程

(35)

则

(36)

是非完整系统(23)的Herglotz型守恒量.

称定理1为事件空间中非完整力学系统的Herglotz型守恒定理.

当取τ=t时, 定理1给出通常位形空间的结果, 即有如下推论:

(37)

以及限制方程

(38)

则

(39)

是非完整力学系统的Herglotz型守恒量.

推论1已由文献[26]给出.

当系统不存在非完整约束(12), 定理1给出事件空间中完整非保守力学系统的结果, 即有如下推论:

推论2如果事件空间中的空间生成元Fα, 参数生成元f, 以及规范函数GN满足条件

(40)

则

(41)

是事件空间中完整非保守力学系统的Herglotz型守恒量.

推论2称为事件空间中完整非保守力学系统的Herglotz型守恒定理.

4 Herglotz型守恒定理之逆定理

设非完整系统(23)存在守恒量

(42)

将式(42)对参数τ求导数, 得

(43)

将方程(29)代入式(22), 得

(44)

(45)

再令守恒量(42)与式(36)相等, 即

(46)

定理2对于事件空间中非完整系统(23), 如果已知守恒量(42), 则可由式(45)和式(46)求得变换的生成元Fγ、f和规范函数GN.

定理2称为事件空间中非完整系统Herglotz型守恒定理的逆定理.

5 算例

例设力学系统的Herglotz型Lagrange函数为

(47)

非完整约束为

(48)

泛函z满足微分方程

(49)

令x1=t,x2=q1,x3=q2, 则事件空间中Herglotz型Lagrange函数为

(50)

方程(49)成为

(51)

由约束方程(48)

(52)

将约束方程(52)嵌入式(50), 得

(53)

方程(23)给出

(54)

将方程(51)和约束(52)代入方程(54)，易知两个方程彼此不独立. 方程(34)和方程(35)给出

(55)

考虑到约束(52)，方程组(55)有解

(56)

其中a=x1(τ0)为常数. 由定理1, 得到守恒量

(57)

其次, 若已知守恒量(57), 由式(45)和(46), 有

(58)

方程(58)中前两个方程彼此不独立, 因此实际上方程(58)含2个独立方程和3个未知量, 其解不唯一. 如取

(59)

则有解

(60)

如取GN=0, 则有解

(61)

6 结论

事件空间将空间和时间统一在一起, 在事件空间中研究质点系的运动不仅在几何上而且从动力学角度都有重要意义. 守恒律也可以通过微分变分原理来构建.本文研究了事件空间中非完整力学系统的守恒律. 主要工作: 一是基于变分运算和微分运算交换关系的Hölder定义导出事件空间中非完整力学系统的Herglotz-d′Alembert原理(式(22)); 二是引进事件空间中空间生成元和参数生成元, 建立Herglotz-d′Alembert原理不变性条件的变换(式(33)); 三是基于所得的Herglotz-d′Alembert原理构建了事件空间非完整力学系统的Herglotz型守恒定理(定理1和定理2). 如果在位形空间, 该定理给出文献[26]的结果(推论1); 如果系统是完整的, 由该定理可以得到完整非保守力学系统的Herglotz型守恒定理(推论2). 因此, 本文的结论更具一般性, 它不仅可以处理保守和非保守过程, 还可适用于完整和非完整系统.