更新课堂教学模式 培养学生核心素养——“二次根式乘法”教学与反思

陆 超 (江苏省南通市崇川区北城中学，江苏 南通 226000)

一、学情及教学目标分析

众所周知，代数学的关键在于运算，即我们常说的加、减、乘、除、乘方、开方等，而学生在“有理数”“实数”“整式的加减”“整式的乘法与因式分解”“分式”等章的学习中已经形成了研究数系扩张、运算法则和运算律的“基本套路”，这些“旧经验”都为学生学习二次根式的运算打下了思想方法基础.同时，二次根式作为一类特殊实数的一般形式，也为学生深入理解实数及其运算提供了载体.在二次根式的运算中，乘除运算比加减运算更简单，而二次根式的乘法又是除法运算的基础，因此，通过本节课的教学应达成如下目标：探索二次根式乘法运算的步骤和方法；掌握二次根式乘法的运算法则和化简二次根式的常用方法；在理解二次根式乘法法则和积的算术平方根基础上，养成良好的运算习惯，培养学生的核心素养.

二、教学过程简述

(一)设问自学，培养学生数学抽象素养

学生集体：加、减、乘、除.

教师：我们给这类实数的四则运算取个什么名字呢？

学生集体：二次根式的四则运算.

教师：如何进行二次根式的四则运算呢？今天我们就从探究二次根式的乘法法则开始，请同学们思考下列问题，并说出你的依据.

填空(填“>”“<”或“=”).

教师：你们还能举出具有这种规律的等式吗？

学生举的例子：

学生4：……

教师：大家思考一下“学生5”举的例子是否符合上述规律？为什么？

学生6：不符合.他所列举的二次根式都是开方开不尽的，而例题①②和我们列举的二次根式都是开方开得尽的.

学生集体：面积.

教师：那么大家来动笔验证一下，有想上来板书的同学吗？我这边只有一个名额哟！请板书的同学为大家讲解一下你的依据.

教师：那么现在能不能从代数角度来说明它也是成立的呢？

教师：像上面这样的二次根式的等式，你们还能说出多少个？它们都满足怎样的一般规律，能用含字母的式子将自己发现的一般规律表示出来吗？大家写一写，有想上来板书的同学吗？我这边依然只有一个名额哟！

教师：对于任意实数，这个等式都能满足吗？谁能举出反例？

教师：“学生9”你如何修改？请大家归纳出二次根式乘法法则.

设计说明：在课堂教学中，为了达到数学核心素养教育的目的，舍弃传统的教学模式，本课在原有教材的基础上根据本班学生的学情对教材进行了适当调整和创新，把探究式教学和有效的课堂评价有机融合，促使教育目标达成，从而提高学生的数学抽象素养.

(二)合作交流，发展学生逻辑推理素养

学生10：利用算术平方根的意义证明.

运用法则计算：

教学说明：计算题第(1)小题和第(2)小题是直接运用二次根式乘法法则进行计算.学生通过计算可以发现第(2)小题是两个无理数相乘结果为有理数的情况，这可以为后续学习二次根式的化简做铺垫.第(3)题是三个以上二次根式相乘，是两个二次根式相乘的一种数量上的拓展，这对后续学习二次根式的乘除混合运算有重要意义.二次根式乘除混合运算可以类比有理数的混合运算方法，统一成乘法运算，然后运用二次根式乘法法则计算，最后再化简.这样能避免逐项化简再相乘再化简的烦琐过程.第(4)题是二次根式乘法法则的逆运用，此处学生可类比本课二次根式乘法法则的探究过程，发现二次根式乘法法则逆运用的妙处，同时让学生对二次根式化简的基本要求有一定的认识和了解.

教师：那么第(4)题怎样算得快呢？类比二次根式乘法法则的探究过程你发现了什么？

教师：这种运算与二次根式乘法法则在运算形式上有什么区别？能用字母表示这个规律吗？

教师：上面二次根式乘法法则的逆运用也可以称作积的算术平方根的性质，它可以用来化简二次根式.

教师：很好，两位同学都有自己的方法，“学生13”将被开方数中的每一项逐项开方化简再相乘,“学生14”是将被开方数分成两个因式，即一个开得尽方的因式(或因数)和一个开不尽方的因式(或因数)，再相乘.如果此时我将被开方数的字母不断再增加，字母次数也不断增加，你们更倾向于使用哪个学生的方法，能说一说理由吗？化简二次根式时如何分解被开方数？

归纳二次根式化简方法：第一步，将一个二次根式的被开方数因式分解(或因数分解)成一个开得尽方的因式(或因数)乘另一个开不尽方的因式(或因数)；第二步，逆用二次根式乘法法则化简.由于化简之后的二次根式的被开方数中不再含有开得尽方的因式或因数，所以我们把这样的二次根式称为最简二次根式.因此，化简二次根式就是要把二次根式化成最简二次根式.

化简下列二次根式：

(三)点拨提升，培养学生数学运算素养

计算：

(四)总结计算技巧

技巧1:系数和被开方数分别相乘除，再化简.

分析:方法一是将二次根式的系数向后移到根数字中，再乘被开的数.这种算法看上去很简单，但实际上，它的计算量较大，计算过程也较烦琐，很有可能会出错.方法二是将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将结果再相乘，这样方法虽然看上去很难，但实际上并没有那么复杂，唯一的区别就是利用了组合定律.

技巧2:被开方数能整除就整除，不能整除时，可先化简再相除.

三、教学反思

发展学生的数学核心素养是每一位一线数学教师的重要任务，而日常的课堂就是发展学生数学核心素养的重要场地.

(一)问题发现

在教学设计方面，教师缺乏对学情的剖析，对学生的学习能力估计过高，对预习的时间安排不够，总是担心提前准备太多会影响到课堂的完成.因此，大多数同学都是先把这一节的知识读了一遍，没有时间去想，也没有时间去探讨.同时，教师对教学活动的安排也存在着不合理，而且在教学中对问题的指导太多，使学生只能按照教师的要求去做，不能充分地运用自己的积极性，不能把自己的思想表达清楚，缺乏自己的独立思维.上课的时候，由于没有足够的时间，所以教师没有完全让学生自己去做，导致学生对教材研究得不透彻，理解不到位.

(二)立足学生实际，精心设计教学目标，为发展学生核心素养寻找契机

众所周知，教学目标是课堂教学的出发点和归宿.教师在教学设计时，要研读课标，把握教材的编写意图，同时要结合本班学生的学情，立足学生的实际情况，结合身边的资源来寻找适合发展学生核心素养的契机，从而引领教学行为.二次根式的运算与学生之前学习的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式内容也有诸多相同点，所以，教师在教学时可从联系性上着手.设计一节课需要结合本课在整个知识体系中的作用和地位，不能仅局限于这一节课，要将其与逻辑体系知识融合起来，思考让学生掌握什么样的知识与技能，培养哪些核心素养，再考虑这节课如何呈现.

(三)落实教学方法，合理设计教学过程，让学生核心素养的发展落地生根

明确教学目标后，教学过程各环节的设计关键在于寻找落实教学目标的方法.对于二次根式乘法的教学，以往传统的教学设计重在直接向学生灌输二次根式乘法运算法则，然后就开始例题训练，但是学生并不知道这个运算法则是怎么来的，为什么是这样的.这种浅层次的、片面的传统教学设计不但不能提高学生思考问题、解决问题的能力，长此以往，还会影响学生数学核心素养的发展.因此，教师要落实教学方法，合理设计教学过程，让学生核心素养的发展落地生根.归纳法是代数学的基本方法，让学生归纳地去探索数学知识，发现它们之间的规律，然后归纳地定义，最后归纳地论证是解决代数问题的基本步骤，所以我设计了探究性的填空，先让学生通过观察、计算感知规律，再让他们举出类似的例子，不断感受规律的一般性，最后运用完全归纳法论证和归纳二次根式的乘法法则.这种“缓慢式”教学可以有效促进学生理解和思考，相比于传统课堂教学更有利于学生核心素养的发展和学习能力的提升.

四、结束语

二次根式在初中数学中是非常重要的一部分，其内容包括二次根式的概念、性质、乘除法则，最简二次根式的概念.教学工作能否圆满，并不取决于课上的内容，而是取决于学生所学的内容.教师只有充分发挥主动性，才能突破传统的教学方式，适时地转变教学观念，接受新的教育思想，改进自身的缺点，提升自身的教育质量，从而达到提高教育效果的目的.