实二维赋范空间到l1 的几乎等距嵌入

史秀英，王日生

（1.赤峰学院，内蒙古 赤峰 024000；2.南开大学 数学科学学院，天津 300071）

本文的目的是研究一般实二维赋范空间到l1的几乎等距嵌入问题。

设X、Y 为两个赋范空间，我们称X 可以（1+ε）-嵌入Y 是指存在X 到Y 的（某）子空间U 上的线性同构T，使得||T||·||T-1||≤1+ε。当ε=0 时，就是X可等距嵌入Y。如果对任意的ε＞0，X 可（1+ε）-嵌入Y，则称X 可几乎等距嵌入Y。

在本文的§1 节中我们得到了关于平面上凸多边形的两个定理；在§2 节中我们证明了任意实二维赋范空间都可几乎等距嵌入l1。

本文中的赋范空间X 均指实空间，B（X）={x∈X：||x||≤1}，S（X）＝{x∈X：||x||=1}。

§1 平面上凸多边形的一些性质

设X 为任一给定的实二维赋范空间，X=（R2，||·||），则X*有唯一表示X*=（R2，||·||*） 使得对∀f=(a,b)∈X*，x=(s,t)∈X，有f(x)=as+bt。

容易知道x|→ψ（x)为X 到X*上的线性同胚，并且

（ⅰ）∀x∈X，ψ(x)(x)=0；ψ(x)(y)=0⇔x,y 相关。

（ⅱ）∀x，y∈X,ψ(x)(y)=-ψ(y)(x)。

在后面的讨论中，当涉及到的X 是实二维赋范空间时，我们都假设取定了它的一种表示，因此ψ 也就跟着确定了。

定义1.1设X 为实二维赋范空间，对任意的x1,x2,…,xn∈X，定义n 阶方阵

下面举例说明，上述定义的方阵与我们感兴趣的几乎等距嵌入有着密切联系。

例设X 为实二维赋范空间，extB(X)={x1,x2,…,xn}有限（即B（X）为凸多边形），则X 可等距嵌入l1⇔关于t1,…,tn的方程组：n 有非负解（即t1≥0，t2≥0，…，tn≥0）。

验利用下面三个事实：（1）∀x∈S(X)，∃y,z∈extB(X)使得x∈[y,z]⊆S(X)。（2）∀x,y,z∈extB(X)，[y,z]⊆S(X),有ψ(x)(y)和ψ(x)(z)同号。（3）ψ 为X 到X*上的线性映射。

定义1.2设X 为实二维赋范空间，n≥2，x1,…,xn∈X，如果CO{±x1，±x2，…，±xn}构成X 中的一个“非平凡”（即多于一点）的凸2n 边形，则称x1,x2,…,xn满足条件（W）。

由定义1.2 易见，当x1,…,xn∈X（n≥2）满足条件（W）时，x1,…,xn必两两线性无关且对任意1≤i1＜i2＜…＜ik(k≥2)，xi1,xi2,…,xik也满足条件（W）。

定理1.1设X 为实二维赋范空间，n≥2，如果x1,x2,…,xn∈X 满足条件（W），则n 阶方阵W（x1,x2,…,xn）可逆。

证明因为对任意（12…n）的重排列（i1,i2,…,in）我们有detW(±xi1，±xi2，…，±xin)=detW(x1,…,xn)，所以我们不妨设x1,x2,…,xn都在上半平面X+={x=(a,b)∈X：b≥0}并且它们（作为复平面上的点）的幅角按单增顺序排列。因此，对任意1≤i＜j≤n 有

我们对n 进行归纳。n=2，3 时，经直接计算可知detW(x1,x2)=-|ψ(x1)(x2)|2≠0 和detW(x1,x2,x3)=2|ψ(x1)(x2)·ψ(x2)(x3)·ψ(x3)(x1)|≠0。

现假设n≥3，对∀y1,y2,…,yk∈X 满足条件（W）（1＜k≤n)有detW(y1,y2,…,yk)≠0。

设x1,x2,…,xn+1∈X 满足条件（W）。考虑(n+1)阶行列式：

（其中（s,t)=x∈X)显然f(s,t)为关于s,t 的（最高）二次多项式，可设

把第二行加到第(n+1)行，把第2 列加到第(n+1)列并注意到-ψ(x1)(x2)=ψ(x2)(x1)=|ψ(x1)(x2)|，ψ(x2)(x2)=0 及-ψ(xi)(x2)=ψ(x2)(xi)=-|ψ(x2)(xi)|(i=3,4,…,n）我们有

所以f(s,t)=As2+2Bst+Ct2≢0，从而f(x)=0 有且仅有两条直线的解：span{x1}∪span{xn}。当x∉span{x1}∪span{xn}时，有f(x)≠0，特别由xn+1∉span{x1}∪span{xn}得f(xn+1)=detW(x1,…,xn+1)≠0。

根据归纳法原理，定理结论成立。

定理1.2设X 为实二维赋范空间，n≥2，如果x1,x2,…,xn∈X 满足条件（W），则方程组（An）：|ψ(xi)(xj)|tj=1，i=1,2,…,n 有正解（即t1＞0,…,tn＞0）以及对任意x∈X 方程组(Bn)：…,n 有非负解。

证明我们对n 归纳来证明之，分四步来完成。

Ⅰ.n=2 的情形。因为

Ⅱ.假设对n（≥2）有：∀x1,…,xn∈X 满足条件（W），方程组（An）有正解及方程组（Bn）有非负解。

Ⅲ.证明对于满足条件（W）的x1,x2,…,xn+1∈X方程组（An）有正解。由定理1.1 存在α1,α2,…,αn+1∈R′使得对∀i=1,2,…,n+1 有

我们断言αj＞0，∀j=1,2,…，n+1。假若不然，存在αj≤0，不妨设αn+1≤0。因为x1,…,xn也满足条件（W），由Ⅱ的假设∃β1＞0,…,βn＞0，使得对∀i=1,2,…,n 有

（2）式减（3）式并移项得：∀i=1,2,…，n 有

不难证明X1=（X，||·||1）的单位球B（X1）=CO{±x1,±x2,…,±xn}，而由（2）（3）和（5）式得：

所以xn+1∈B（X1）=CO{±x1，±x2，…，±xn},这与x1,x2,…,xn+1满足条件（W）相矛盾。故我们的断言成立，方程组（An+1）有正解。

Ⅳ.设x1,x2,…,xn+1满足条件（W），由Ⅲ存在正数α1,α2,…,αn+1使得

考虑新的赋范空间X1=（X，p），其中

并且extB(X1)={±x1,±x2,…,±xn+1}。当x=θ 时，方程组（Bn+1）只有零解。当x≠θ 时，由于方程组（Bn+1）有非负解的充要条件为：∀r＞0，方程组|ψ(xi)(xj)|tj=|ψ(xi)(rx)|，i=1,2,…,n+1，有非负解。我们不妨设p(x)=1，从而存在ε1xi1，ε2xi2∈extB(X1)使得x∈[ε1xi1，ε2xi2]⊆S(X1)，为方便计，我们设ε1xi1=x1,ε2xi2=x2及x=λx1+(1-λ)x2(0≤λ≤1)。

设β1,β2,…,βn+1为方程组（Bn+1）的解。因为ψ(xi)(x1)与ψ(xi)(x2)同号，所以∀1≤i≤n+1，

因此，我们证明了∀x∈X，方程组（Bn+1)有非负解。

最后由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和归纳法原理知定理结论成立。

推论设X 为实二维赋范空间，extB(X)有限，则X 可等距离嵌入l1。

证明设extB(X)={±x1，±x2，…，±xn}，x1，…，xn两两线性无关，则x1,…,xn满足条件（W）。设α1，α2，…，αn为方程组（An）的正解（定理1.2），则T=（α1ψ（x1），α2ψ（x2），…，αnψ（xn），0，0，…）为X 到l1中的等距线性算子。

§2 实二维赋范到l1 的几乎等距嵌入

设X 为一个赋范空间，V 为其中一个闭凸集，从几何直观上看对称差B（X）ΔV 是X 中的一个“壳”，为此我们引入“厚度”的定义。

定义2.1设X 为赋范空间，V⊆X 为闭凸集，则称sup{|||x||-1|：x∈B（X）ΔV}（当B（X）ΔV=Ø 时，令supØ=0）为B（X）ΔV 的厚度，记为h（B（X）ΔV）。

引理设X 为有限维赋范空间，则存在只与X有关的函数δ（·）：，使得∀ε＞0，当A⊆B（X）为extB（X）的ε-网时恒有h（B。

证明假如引理结论不成立，则有在正数δ0＞0及An⊆B（X）使得An为extB（X）的εn一网，0，但h（B（X）ΔCO（An））＞2δ0。记Vn=CO（An）。注意到h（B（X）ΔVn）=sup{|||x||-1|；x∈∂Vn}，存在yn∈∂Vn使|||yn||-1|＞δ0，∀n∈N。因为{yn}∞n=1⊆B（X），后者为一列紧集，通过取子列我们不妨设yn→y0∈B（X），∴|||yn||-1|≥δ0，||y0||≤1-δ0＜1。

取extB(X)的有限子集F={x1,x2,…,xk}使得y0∈int(CO(F))，设Br(y0)={y∈X：||y-y0||≤r}⊆int(CO(F)）(r＞0)。由假设∃zin∈An使||zin-xi||≤εn，i=1,2,…，k。因为，所以当n 充分大时有yn∈intBr(y0)⊆Br(y0)⊆int(CO{z1n,z2n,…,zkn})⊆int(Vn)，这显然与yn∈∂Vn矛盾。

证毕。

定理任意实二维赋范空间X 都可几乎等嵌入l1。

证明设X=（R2，||·||），X+={(a,b)∈X：b≥0}表示上半平面。∀ε∈(0,1)，取extB(X)∩X+的有限ε-网{x1,x2,…,xn}（设n≥2，x1,x2,…,xn互异），则x1,x2,…,xn满足条件（W），由定理1.2 存在正数α1,α2,…,αn使得

对∀x∈X，令Tε(x)=（α1ψ（x1）（x），α2ψ（x2）（x），…，αnψ（xn）（x），0，0，…）∈l1，则Tε=（α1ψ（x1），α2ψ（x2），…，αnψ（xn），0，0，…）为X 到l1的有界线性算子并且V（Tε）={x∈X：||Tε(x)||≤1}=CO{±x1，±x2，…，±xn}⊆B(X)。因为{±x1，±x2，…，±xn}为extB(X)的ε-网，由引理知h（B（X）ΔV（Tε））≤δ(ε)（δ(ε)同引理）。设x∈∂V（Tε）={x∈X：||Tε(x)||=1}（设δ(ε)＜1）有|||x||-1|≤δ(ε)。故

∴ （1-δ(ε)）||Tε(x)||≤||x||≤(1+δ(ε))||Tε(x)||，∀x∈X。

∴ ||Tε||·||Tε-1||≤（1+δ(ε)）/（1-δ(ε)）。

证毕。

对于实二维赋范空间到l1的等距嵌入问题还没有彻底解决，本文的结果将有助于研究实二维赋范空间到l1的等距逼近问题[1]。