基于振动能量的城市轨道交通减振轨道刚度研究

王启好， 蔡小培， 常文浩， 张 乾

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

我国城市轨道交通发展迅速，截至2020年底总运营里程已超过6 000 km，线网密度随之增加，不可避免地通过居民区、学校等振动敏感区域。随着城市区域超标振动的频繁出现和公众对振动认知程度的增强，轨道交通引起的环境振动问题越来越不可忽视。相比其他铁路形式，城市轨道交通减振需求大。为控制轨道运营振动对周围环境的影响，减振轨道广泛应用于城市轨道交通中。减振轨道主要通过调整轨道刚度，优化振动能量的产生、分布及耗散，以实现对环境振动的控制。城市轨道交通各线单独建设，同一线路上减振等级需求也不同，采用的轨道形式多样，轨道刚度变化范围大。轨道刚度作为影响轮轨系统动力特性以及轨道振动的重要参数，合理的取值至关重要。轨道系统振动来源于轮轨相互作用，与钢轨粗糙度及轨道刚度及车轮参数有关。本文主要研究轨道刚度及钢轨粗糙度对振动的影响，将车轮理想化为表面圆滑平顺的刚体。钢轨粗糙度及轨道刚度是影响轨道振动能量的主要因素。轨道刚度高，则钢轨变形小，但轮轨激励强，轮轨高频碰撞产生大量振动能量；低刚度轨道可对高频轮轨冲击有一定缓冲作用，但轨道变形范围大，过低的轨道刚度也会引起较大振动能量。从能量角度看，轨道刚度不能过高也不能过低，合理的轨道刚度选取亟需研究[1]。

针对铁路轨道刚度和能量分析方法，国内外已展开了相关研究。赵国堂[2]通过轨道允许变形法和变形分配法，给出了高速铁路在车辆轮载作用下轨道整体刚度和部件刚度建议值。刘学毅[3]应用轮轨系统动力学频域分析方法，进一步给出了扣件/道床刚度最优比值，建立了高速铁路轨道总刚度及部件刚度比值的动力学优化分析方法。Germonpré等[4]以瑞典某铁路线为例，通过现场实测与自由场振动计算，研究了轨道刚度对铁路振动的影响。张瑾等[5]提出了基于有限元的能量流分析方法，对有限元方法计算结果进行后处理，实现子系统间的能量流分析。余亮亮等[6]基于混合有限元-统计能力分析理论，进行了高架轨道箱梁结构噪声特性分析。谷爱军等[7]从轨道结构振动能量传递的角度出发，分析了浮置板轨道竖向振动能量的传递过程及其影响因素。付娜等[8]通过功率流方法研究了高速铁路减振型双块式无砟轨道振动能量特性，给出了减振垫刚度建议取值。此外，王振宇等[9]采用小波包分析方法对爆破震动信号进行了能量分析，提出了基于能量的震动安全评价指标。Garinei等[10]采用连续小波变换方法分析了减振沟的减振效果，指出连续小波变换方法能够更加全面地反应地面振动信号所携带的信息。李小珍等[11]采用小波变换等方法对列车在250～385 km/h高速运行引起的轨道、桥梁和地面振动测试数据进行了分析，揭示了振动在轨道、桥梁和土体中的传递特性。吕鹏等[12]采用连续小波变换方法对地铁列车运行产生的地面振动实测数据进行了分析，揭示了场地振动的非平稳性特征。沈超等[13]从小波包能量角度出发，对比分析了高层框筒结构在不同烈度地震作用下上部结构的能量分布。综上可以看出，相关研究已对铁路轨道刚度进行了一定分析，能量分析方法也已在轨道动力分析中得到应用。相比高速铁路，城市轨道交通特别是减振轨道的轨道刚度范围跨度大。但目前城市轨道交通减振轨道的应用多为定性评价，在不影响行车安全的前提下，满足减振效果即可。轨道刚度选取不够科学精确，且减振轨道型式的应用缺少理论指导。

鉴于此，本文以城市轨道交通减振轨道为研究对象，采用能量分析方法研究城市轨道交通减振轨道的振动能量特性，进而提出一种基于能量评价的减振轨道刚度定量确定方法，依据能量最低原则确定减振轨道合理刚度，并进一步应用到不同减振措施的最优组合。

1 小波包能量分析方法

1.1 轨道刚度及钢轨支座刚度

列车荷载下，作用在钢轨上的集中荷载P与钢轨最大下沉量Zmax之间的比值为轨道刚度K。轨道刚度是反映轨道整体弹性的宏观指标，其大小主要由钢轨支座刚度D来确定。钢轨支座刚度D是用来表征钢轨扣件和下部基础刚度的指标，定义为使轨底面产生单位下沉时作用于支座上的压力[14]。

对于一般混凝土轨枕线路，可以将钢轨支座视为由轨下“垫板弹簧”与枕下“垫板、道床弹簧”所组成的串联弹簧。因此，钢轨支座刚度D的倒数等于轨下“垫板弹簧”刚度D1的倒数与枕下“垫板、道床弹簧”刚度D2的倒数之和，即：

(1)

对于减振板式无砟轨道线路，混凝土轨道板下设置橡胶垫或钢弹簧，如图1所示。钢轨支座刚度D由轨下刚度、板下刚度和轨道板抗弯刚度综合确定。

图1 钢轨支座刚度计算示意图Fig.1 Calculation of rail support stiffness

1.2 车辆-轨道耦合动力学模型

有限元分析方法通过计算每个单元的受力及运动，进而得到整体模型的动力响应。将轨道系统离散为有限元模型，移动车辆作为激励输入，通过显示动力法求解，得到车轨系统的动力响应。本文主要研究轮轨相互作用产生的振动能量，分析轨道刚度及轨道不平顺对其的影响。车辆-轨道动力学模型中钢轨以下轨道结构简化为钢轨支座弹簧，以钢轨支座刚度表征轨道刚度变化。模型简化后能量集中在钢轨，钢轨能量即轨道总能量，便于进行系统能量分析；改变钢轨支座刚度即可调整轨道刚度，参数调整方便；且大量减少了有限元计算中单元的数量，大幅提升了计算效率。

车辆基于多体动力学理论建立，在ABAQUS中建立车体、转向架、轮对刚体部件和一系、二系悬挂弹簧阻尼以模拟车辆，如图2所示。车轮表面视为平顺均匀，不考虑车轮粗糙度。列车间车钩主要传递和缓冲纵向作用力，对横向、垂向振动影响不明显，模型中忽略其影响。在刚体参考点施加集中荷载模拟车体重力，各刚体设置惯性质量及转动惯量，采用地铁A型车参数，如表1所示。设置80 km/h的速度边界条件使列车匀速运行。

图2 车辆-轨道耦合模型Fig.2 Vehicle-track coupling model

表1 车辆结构参数Tab.1 Vehicle structure parameters

钢轨基于有限元理论建立，通过C3D8R实体单元模拟，钢轨纵向网格尺寸为0.06 m，钢轨横截面全局布种间距为0.05 m。钢轨和轨下基础间设置间距为0.6 m的弹簧阻尼单元，模拟下部基础对钢轨的点支撑作用，横向刚度取30 kN/mm，横向阻尼取60 kN·s/m，垂向阻尼取75 kN·s/m，设置不同垂向刚度以模拟3～200 kN/mm的钢轨支座刚度。

车轮与钢轨的相互作用，垂向视为赫兹接触，纵向视为定摩擦因数的滑动摩擦。轮轨法向力通过赫兹非线性接触理论确定，由轮轨的相对位移决定，与轮轨接触点的静压缩值相关；轮轨切向力由摩擦因数和轮轨法向力确定，在有限元中设置摩擦接触实现，如式(2)～(4)所示

P(t)=(ΔZ(t)/G)3/2

(2)

ΔZ(t)=Zwi(t)-Zri(x,t)-η(x)

(3)

F(t)=μP(t)

(4)

式中:P(t)为轮轨法向力;G为轮轨接触常数(单位m/N2/3);ΔZ(t)为t时刻轮轨间弹性压缩量(单位m);Zwi(t)为车轮i在时间t的垂向位移;Zri(x,t)为钢轨在相应接触点的垂向位移;η(x)为钢轨垂向不平顺;μ为摩擦因数;F(t)为轮轨切向力，当小于0时，轮轨法向力视为0。

轨道不平顺空间分布由功率谱密度函数逆傅里叶变换生成，如式(5)所示。总功率谱密度函数由不平顺功率谱密度和随机短波不平顺叠加得到。文中采用美国联邦铁路管理局FRA线路不平顺功率谱密度，可生成波长范围1.524～304.8 m不平顺，计算方法如式(6)所示，各级轨道不平顺粗糙度参数及截断频率取值参考文献[15]。随机短波不平顺视为平稳随机过程，功率谱密度函数如式(7)所示。以左轨为例，各不平顺的里程-不平顺幅值曲线如图3所示。0～150 m里程范围内，三级谱到六级谱的钢轨垂向不平顺最大幅值为7.73 mm，2.94 mm，2.87 mm，1.24 mm；三级谱到六级谱的钢轨横向不平顺最大幅值为4.86 mm，3.53 mm，2.75 mm，1.68 mm。

(5)

(6)

(7)

通过平衡条件，可得到车辆钢轨系统的动力耦合方程如式(8)所示

(8)

1.3 小波包能量分析

轨道振动信号是一种典型的非平稳随机信号，随着现代信号处理技术的发展和计算机技术的进步，可以对轨道振动信号进行精细的时频分析。小波包分析方法可以将时频平面划分得更为细致，根据信号的特征，自适应地选择最佳小波基函数，更好的对信号进行时频局部化分析。对振动信号s(t)进行小波包分解后，在第i分解层可以得到2i个子频带。

(9)

式中，fi,j(tj)为振动信号小波包分解到第i层(i,j)节点上的重构信号。若s(t)的最低频率为0，最高频率为ω，则每个频带的频率宽度为ω/2i。Daubechies[18]小波系列具有较好的紧支撑性、光滑性及近似对称性，并已成功地应用于多种非平稳信号分析，本文选用db8小波作为轨道振动小波分析的基函数，进行深度为8层的小波包分析，i取3。根据信号频谱分析中的Parseval定理[19]，可得振动信号s(t)小波包频带能量。信号能量能反映振动的强度和作用时间，可全面体现振动的作用，作为轨道振动特性的评价指标。本文选取轨道动力响应中的速度信号和加速度信号，进行小波包能量分析，获得轨道系统的能量特性。

(10)

式中，xj,k(k=1,2,…,m;m为振动信号离散采样点数)为重构信号fi,j(tj)的离散点幅值。设信号总能量为E，则各频带能量占信号总能量的比例Ej为Ei,j/E。

减振轨道能有效降低传递到下部基础的振动，进而减小环境振动，但根据能量守恒定律，在轨道-环境系统中，环境振动减小，则轨道振动能量增加。振动能量在轨道中积聚，达到一定限值后，会沿着薄弱界面释放，造成轨道损伤，威胁行车安全。因此减振轨道刚度的选取不能以牺牲轨道安全耐久为代价。本文从系统总能量角度出发，分析刚度对轮轨相互作用系统输入能量的影响，依据系统能量最低原则确定减振轨道合理刚度选取，使输入系统的振动能量最小。文中轨道简化为钢轨，系统能量集中于钢轨上，以钢轨速度、加速度信号小波包能量为指标反映轨道系统总能量。

有限元软件中轨道系统能量平衡方程为

ETOTAL=ALLIE+ALLFD+ALLKE+ALLVD-

ALLWK-ALLPW

(11)

式中:ETOTAL为轨道系统能量总和;ALLIE为内能;ALLFD为摩擦耗能;ALLKE为动能;ALLVD为黏性耗散能;ALLWK为外力做功;ALLPW为接触做功。

能量总和为定值，外力做功、接触做功转化为系统的内能、动能、摩擦耗能、黏性耗散能。通过合理减振轨道刚度选取减少外力做功、接触做功，以降低轨道系统中内能、动能、摩擦耗能、黏性耗散能等能量。既能实现振动控制，又能控制对轨道的损伤。

2 钢轨支座刚度影响分析

通过小波包变换，信号函数可以分解成尺度函数和小波函数的线性组合，尺度函数贡献低频部分，小波函数贡献高频部分。本节通过有限元计算获得轨道振动的速度和加速度信号，进行小波包处理，获得轨道系统能量特性，分析不同钢轨支座刚度的影响。速度信号不易受随机不平顺影响，用于反映低频振动能量的规律；加速度信号可全面反映振动对周围人体及环境的影响，用于评估轨道减振效果，指导轨道设计。图4(a)为不同钢轨支座刚度对应的钢轨速度，一节车辆通过时，出现四个峰值，分别是四组轮对对应位置。各刚度下钢轨速度线形相似，幅值随钢轨支座刚度增加而减小。将钢轨速度进行小波包分解，分为8个分量，以3 kN/mm钢轨支座刚度为例进行分析，如图4(b)所示。分量1为尺度分量，幅值30 mm/s，决定钢轨速度的大小，反映钢轨速度的低频部分，分量2～7为小波分量，幅值3～6 mm/s，反映钢轨速度的高频部分。

为分析不同钢轨支座刚度下钢轨速度的能量特性，取4.5 s内钢轨速度信号，涵盖两节列车通过的全过程，计算各个小波包信号的能量，得到各频带能量，叠加后得到不同钢轨支座刚度下速度信号总能量，如图5所示。图5(a)为不同钢轨支座刚度下多组钢轨速度信号总能量的统计值，以钢轨支座刚度3 kN/mm时速度信号总能量为1进行归一化处理。以钢轨支座刚度3 kN/mm时的速度信号总能量为对照值，可以看出，钢轨速度信号总能量随钢轨支座刚度增加急剧减小。钢轨支座刚度从3 kN/mm增大到10 kN/mm时，钢轨速度信号总能量减小了78.86%；钢轨支座刚度增大到100 kN/mm以后，钢轨速度变化很小，从100 kN/mm到200 kN/mm，减小了30.16%。钢轨速度是钢轨位移的变化率，与钢轨位移量的大小及位移的变化频率有关。在低刚度区段，钢轨位移量是决定钢轨速度大小的主要因素；随着刚度增大，轨道位移量迅速减小，因此钢轨速度急剧减小。在高刚度区段，轨道位移量减小效果不再明显，钢轨速度随钢轨支座刚度的变化趋于稳定。

为分析速度信号能量在各频带的分布，将能量进行归一化处理，得到各频带能量占信号总能量的比例Ej，如图5(b)所示，以该工况下各频带能量之和为1，各频带数据相应映射。可以看出，对于3～100 kN/mm的中低刚度而言，能量主要集中在尺度分量对应的0～62.5 Hz频带内；且刚度越小，尺度分量的能量占比越大，说明低刚度轨道受低频能量影响大。当钢轨支座刚度达到200 kN/mm时，小波分量明显增大，与尺度分量相当。各小波分量中，能量占比均随刚度增大而增大，说明高刚度轨道工况速度信号的高频能量逐渐增大。

由上述分析可知，速度信号为低频信号，受尺度函数影响大。速度信号总能量随钢轨支座刚度单调减小。从速度信号各频带能量分布可以看出，高钢轨支座刚度工况低频能量占比小，高频能量占比大。结合图5(a)，高钢轨支座刚度工况速度信号总能量小，可知速度信号的低频分量为总能量的主要影响成分，直接影响系统速度响应。速度响应随钢轨支座刚度增加而减小的原因是速度信号的低频能量随钢轨支座刚度增加而减小。

为全面获得轨道系统的动力响应，进一步对轨道的加速度信号进行小波包能量分析，取4.5 s内钢轨加速度信号，涵盖两节列车通过的全过程。不同钢轨支座刚度下，钢轨加速度信号能量如图6所示。图6(a) 为钢轨加速度信号总能量与钢轨支座刚度关系曲线，由图可知，加速度信号能量随着钢轨支座刚度增大先减小后增大，这说明钢轨支座刚度太大或太小都会导致钢轨加速度能量过大。钢轨加速度信号能量在钢轨支座刚度5.0 kN/mm时达到最小值。将钢轨支座刚度2～20 kN/mm时加速度信号总能量的图线放大，发现在2～10 kN/mm钢轨支座刚度范围内，加速度信号总能量随钢轨支座刚度变化剧烈。随着钢轨支座刚度增大，加速度信号总能量对钢轨支座刚度变化不再敏感。

为分析3～100 kN/mm钢轨支座刚度范围内加速度信号能量在各频带的分布，将加速度信号进行小波包分解，各分量的能量如图6(b)所示，以该工况下各频带能量之和为1，各频带数据相应映射。可以看出，钢轨加速度能量在各频带分布较为均衡，反映了轮轨振动宽频分布的特点。能量占比最大的为312.5～375.0 Hz频段，为总能量的20%～30%，随钢轨支座刚度的增大先降低后升高；能量占比最小的为0～62.5 Hz频段，占比不到总能量的10%，随钢轨支座刚度的增大先升高后降低；其余频段能量变化介于二者之间。钢轨支座刚度10 kN/mm时，各频段能量分布最均衡。这说明加速度信号低频能量和高频能量随钢轨支座刚度的变化规律不同，这导致了轨道振动的复杂性，给轨道振动控制带来了挑战。

3 轨道不平顺影响分析

轨道不平顺是影响轮轨相互作用的重要因素，是轨道系统振动的主要根源。轨道不平顺种类多样，出现随机，对轨道动力响应影响明显，有必要对其进行分析。加速度信号受随机不平顺影响大，规律不易把握，因此本节主要分析施加轨道不平顺后轨道速度信号的变化，得出轨道不平顺的影响规律。

对10 kN/mm钢轨支座刚度工况施加三级至六级美国不平顺谱(三级谱对应的不平顺程度最大)。不同不平顺下钢轨速度时程曲线及小波包分解如图7所示。由图7(a)可知，随着轨道不平顺程度的加剧，钢轨速度明显增大。以三级谱为例进行小波包分解，得到的小波包分量如图7(b)所示。小波包1对应的尺度分量明显大于其他小波分量。同时，受不平顺影响，尺度分量不再平滑。

为分析轨道不平顺的影响，对比有无轨道不平顺时多组钢轨速度信号总能量的统计值，如图8所示，以各自钢轨支座刚度下无不平顺工况速度信号总能量为1，其余数据相应映射。可以看出，施加不平顺后，速度信号总能量平均值比无不平顺时大，波动也更剧烈。钢轨支座刚度为10 kN/mm时，三级谱不平顺作用下，速度信号总能量比无不平顺时增大31.1%；钢轨支座刚度100 kN/mm时，不平顺的影响增大到52.1%。这说明高钢轨支座刚度工况对不平顺更敏感，不平顺的施加更能放大轮轨振动能量。

图8 不同不平顺及刚度下速度能量对比Fig.8 Comparison of velocity energy under different irregularity and stiffness

为分析不同不平顺的影响，进一步计算各不平顺工况下多组速度信号总能量的统计值，如图9(a)所示，以四级谱工况下速度信号总能量为1，其余数据相应映射。随着不平顺加剧，速度信号总能量呈现增加趋势，轨道不平顺增加到四级谱之后，增加趋势不再明显。速度信号总能量数据标准差从五级谱开始增大明显。这是由于不平顺加剧后，车辆偏载加剧，导致左右轨速度信号能量差增大。进一步对速度信号能量进行小波包分析，如图9(b)所示，以该工况下各频带能量之和为1，各频带数据相应映射。各工况下均为0～62.5 Hz小波包能量分量最大，均占比90%以上；其他小波包频段中，312.5～375.0 Hz，375.0～437.5 Hz能量占比相对大，在四级谱不平顺谱时达到最大。

4 轨道最优刚度选取

本章从总能量角度，以系统产生的加速度总能量最低为标准，进行轨道最优刚度分析，并引入轨道不平顺的影响，最后应用到减振措施组合中。由第2章可知，无轨道不平顺时钢轨加速度信号能量在钢轨支座刚度5.0 kN/mm时达到最小值。

为确定引入轨道不平顺后，轨道最优刚度的变化，施加幅值最大的三级谱不平顺，计算得到加速度信号能量与钢轨支座刚度的关系曲线，如图10所示。加速度信号能量随钢轨支座刚度的变化规律与无不平顺时相同，先减小后增大，但轨道最优刚度增大到8.9 kN/mm。即随着轨道不平顺加剧，轨道最优刚度变大。这是因为输入的不平顺谱(几何不平顺)加剧后，为维持总不平顺不变，需减小刚度不平顺，即需增大轨道刚度。长期运营后，轨道不平顺会出现一定劣化，幅值增加，偏向三级谱不平顺，因此轨道最优刚度上限应适当放宽。综合上述结果，适当放宽轨道最优刚度上限，最终确定轨道最优刚度为5～10 kN/mm。此刚度范围内，行车产生的轮轨激励能量最小。

图10 不平顺下加速度信号能量与刚度关系曲线Fig.10 Relationship between acceleration energy and stiffness under the rail irregularity

联系工程实际，将最优刚度对应到具体的减振措施组合，各减振措施对应的刚度及组合如图11所示。轨道减振措施主要分为扣件类、轨枕类和道床类。将轨枕类和道床类减振措施归为枕下减振，确定扣件减振和枕下减振措施的最优组合。图中Ⅰ所示阴影区域为最优刚度范围；Ⅱ、Ⅲ为刚度上下限；扣件、轨枕、道床形式对应刚度如图中条形图所示；条形图重叠代表两种减振形式组合。图中横坐标为扣件刚度，浮轨扣件、减振器扣件、普通刚度扣件、弹条型高强扣件对应不同的扣件刚度；纵坐标为等效枕下刚度，将轨枕类、道床类减振措施刚度等效为间距0.6 m的点支撑弹簧，便于与扣件进行串联叠加，弹性轨枕、橡胶浮置板、钢弹簧浮置板对应不同等效枕下刚度。枕下刚度等效处理后，可直接与扣件刚度串联得到钢轨支座刚度。钢轨支座刚度取5 kN/mm时为最优刚度范围下限，取10 kN/mm时为最优刚度范围上限。

由图11可以看出，钢弹簧浮置板适用的扣件刚度范围最广，可适应绝大部分扣件型式。这一结论也可为钢弹簧浮置板轨道的应用增加理论支撑。此外，浮轨扣件与橡胶浮置板组合也可实现最优刚度。在减振措施最优刚度组合条件下，轨道系统振动产生的加速度总能量最低。

Ⅰ最优轨道刚度区域；Ⅱ轨道刚度下限；Ⅲ轨道刚度上限图11 扣件与枕下结构最优刚度组合Fig.11 Combination of fastener and sleeper to achieve optimal track stiffness

5 结 论

本文通过小波包能量分析方法，计算了城市轨道交通减振轨道的速度和加速度信号能量，对钢轨支座刚度和轨道不平顺的影响进行了分析。以轨道系统产生的总能量最低为标准，确定了城市轨道交通减振轨道最优刚度，并对减振措施组合进行了分析。主要得出以下结论：

(1) 速度信号为低频信号，受尺度函数影响大。速度信号总能量随钢轨支座刚度增大迅速减小。减小刚度能明显减小速度信号总能量，是控制系统速度响应，特别是高频速度响应的有效措施。但速度信号随钢轨支座刚度单调递减，不能充分反映轨道的振动能量特性。

(2) 钢轨加速度信号总能量随着钢轨支座刚度先减小后增大，在2～10 kN/mm区间变化剧烈。无轨道不平顺时，在5 kN/mm处达到最小值，三级谱不平顺时，在8.9 kN/mm处达到最小值。钢轨加速度信号总能量能够充分反映轨道振动能量的高频和低频特性，可作为系统振动总能量的量化指标。

(3) 施加不平顺后，轨道振动加剧，振动能量增大。高刚度工况下，对不平顺更敏感，不平顺的施加会进一步放大轮轨振动能量。轨道几何不平顺增大后，需减小刚度不平顺来维持轨道振动能量最低，即对应轨道刚度增大。

(4) 基于轨道振动能量，提出城市轨道交通减振轨道钢轨支座刚度最优值为5～10 kN/mm。轨道减振措施中，钢弹簧浮置板适用范围最广，可与绝大部分扣件类型组合使用达到最优刚度。