采样方式对改进缩减基法在框架静力计算中的影响研究

李永红，梁 振

（中南林业科技大学土木工程学院，湖南 长沙 410004）

优化设计的时候，每次迭代设计参数发生变化，需要对模型重新分析。大规模问题，单次采用有限元法计算需花费较长的时间，影响优化设计的效率。近年来，缩减基法（reduced basis method，记作RBM）作为实时算法被用于各个领域。Milani R等[1]用缩减基法求解多参数线弹性问题。刘玉秋等[2]将缩减基法引入船舶制造结构。李永红等[3]将缩减基法用于蜂窝梁结构。马营利等[4]将缩减基法用于矿用车架。熊景林[5]将缩减基法用于冲压模具结构。缩减基法需要预先知道设计参数与线弹性算子的关系，李永红等[6]结合ANSYS，对缩减基法改进，得出单元线弹性算子与设计参数相关的表达式。

不同采样方式选取样本参数，构造减基矩阵，对改进缩减基法的结果有影响。本文按照三种分布方式选取样本参数，以平面框架结构为例比较不同样本参数计算结果的精度。

1 缩减基法理论及改进

1.1 缩减基法基本理论

结构进行求解时，设计参数发生变化，用有限元法计算得到的各点位移组成高维解空间。结构的静力平衡方程为：

式中 μ——设计参数；

K（μ）——结构刚度矩阵；

u（μ）——结构的结点位移向量；

F——结构荷载向量；

X——真实的高维解空间；结构总自由度为n。

选取N组样本参数，用有限元法求出对应结构的位移u（μ）。这N组位移构成减基矩阵Z，写成如下形式：Z=[u（μ1），u（μ2），…，u（μN）]。u（μi）（i=1，2，…，N）是线性无关的。当取新的设计参数μnew时，对应结构的位移可以看作是减基矩阵Z中各项的线性组合，即：

式中 a（μnew）——系数向量。

由能量最小原理并结合式（2），可得到：

其中KN（μnew）=ZTK（μnew）Z，FN=ZTF。

线弹性结构的刚度矩阵K（μ）可按照是否与设计参数相关分为两个部分，表示为下列形式：

式中 σq（μ）——与设计参数相关的函数关系；

Kq——与设计参数无关的矩阵；

Q——刚度矩阵中设计参数能够分离的项数。

基于这种分解，缩减基法可以进行快速有效的实时计算。把式（4）代入式（3），令KqN=ZTKqZ（q=1，2，…，Q），可写成：

缩减基法将整个计算过程分为离线阶段和在线阶段。在离线阶段，将设计参数从刚度矩阵分离出来，选取样本参数，用有限元法计算得到的位移组成减基矩阵Z，预先算好KqN。在线阶段，取新设计参数时，算出σq（μnew），由式（5）求得a（μnew）。代入式（2），可得到缩减基法的位移解。式（5）的方程是N×N的，远小于式（1）的维度n×n。

1.2 改进缩减基法

各项都算出可组成KqN。取新设计参数时，结合缩减基法求解出位移解uGRBM（μnew）。

KqN计算过程如下：

1）分析所求结构的单元类型，用ANSYS建立该单元类型的简单模型。不断改变设计参数，找出线弹性算子与设计参数的联系。

2）选取多组设计参数，在ANSYS中提取对应结构的整体刚度矩阵。

3）用式（6）计算出与设计参数无关部分，集合得到KqN。

1.3 采样方式

结构选取何种采样方式构建样本空间，对改进缩减基法的计算结果有一定影响。分别用对数函数、均匀函数、切比雪夫函数采样构成样本空间来研究。对数函数采样：

均匀分布函数采样：

切比雪夫函数采样

式中 μi——结构的样本参数；

μmax——结构设计参数允许变化的最大值；

λ——设计参数下限μmin在函数中使用具有意义的比例系数。

2 数值算例

以多层框架结构为例，取其中的一榀平面框架结构进行分析。如图1所示，该模型有540个单元，521个节点，共有1 563个自由度。结构所受荷载如图2所示。

图1 平面框架结构的有限元模型

图2 结构荷载情况

本框架结构选取弹性模量E，梁单元的截面面积A两个设计参数。对这两个参数分别采取对数函数、均匀分布、切比雪夫函数采样，得到这三种分布方式对应的样本参数，构建成样本空间WN，用ANSYS软件计算对应结构位移，组成减基矩阵。选取新设计参数时，分别用有限元法和改进缩减基法计算输出，以有限元结果为精确解，如下式计算改进缩减基法的相对误差：

式中 S=FuFEM；S'=FuGRBM。

选取新设计参数时，采用改进缩减基法对结构进行计算。图3、图4对三种采样方式计算结果的误差进行比较，随着E、A样本数的增多，误差越来越小。

图3 E不同采样方式结果的相对误差

图4 A不同采样方式结果的相对误差

3 结论

本文采用三种函数采样方式构成样本空间，比较改进缩减基法结果的相对误差。分析同类型单元组成的简单结构，结合ANSYS提取刚度矩阵，得到分离关系。对缩减基法进行改进，计算出与设计参数无关的矩阵。以平面框架结构为例采用对数函数、均匀分布、切比雪夫函数方式选取样本参数，样本数较少时，均匀分布采样结果精度较高；随着样本数增多，对数分布与均匀分布采样结果精度趋于接近。