数形结合探究三角形内最值问题

江苏省启东市汇龙中学(226299) 施建华

1 探究的缘起

在高三的复习阶段的一次模拟测验中,考察了如下的一道解三角形问题.该问题在确定存在最值的条件下,反向求解参数的范围,这与学生平时训练的问题差异较大,学生普遍反映无从下手,得分率特别低.为此,笔者仔细地分析了该问题,并探究了该问题的一般形式.

题目(2019年佛山一模第16题)在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=1,A=若当b,c变化时,g(b,c)=b+λc存在最大值,求正数λ的取值范围.

2 学生主要使用的解题思路与完善

思路一:利用正、余弦定理转化求解

思路二:数形结合——构造外接圆求解

还有部分同学选择借助图形求解,根据题干信息可得:ΔABC的外接圆的半径为定值:r=若固定点B、C,则点A的轨迹为ΔABC的外接圆上的一段圆弧.但接下来,学生很难表示出g(b,c)=b+λc的几何意义,解题陷入僵局.

思路三:根据对称性求解

当λ=1时,g(b,c)=b+c,借助余弦定理与基本不等式即可知其存在最大值;当λ＞1时,若存在符合条件的值,则令g(b,c)=结合b、c的对称性可知＜1也可使得结论成立.

3 数形几何——将条件可视化

为了突破以上难点,笔者尝试使用轨迹,利用数形结合的思想进行求解.

在解法一中:g(b,c)=(sinB+λsinC),其本质上就是sinB+λsinC存在最大值.为此构造向量:a=(sinC,sinB),b=(λ,1),原问题转化为a·b存在最大值.

图2

评述根据上面的求解过程,本文将原解三角形问题转化为一个向量的投影问题,在明确的轨迹下,通过图形直观的解释了最值的存在理由.

4 问题的拓展研究

本文对该问题继续继续进行探究.原问题讨论g(b,c)=b+λc存在最大值,若将其修改为g(b,c)=b2+λc2存在最大值,λ的取值范围会如何修改呢?

为此,本文直接讨论此类问题的一般形式:在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a为定值,A=θ.若当b,c变化时,g(b,c)=b2+λc2是否存在最值.

综上分析,此类问题仅对θ有限制,对λ的取值没有限制.