对电磁感应中“滑杆”模型的定量计算

摘要：电磁感应中的“滑杆”模型是高中物理常考模型，该模型中导体棒的运动往往为非匀变速运动，本文对该模型中导体棒的运动规律进行定量计算，并对该类试题命题做了思考.

关键词：“滑杆”模型;收尾状态;双杆

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0100-03

收稿日期：2022-03-05

作者简介：李启国（1987.12-），男，安徽省利辛人，本科，中學一级教师，从事高中物理教学研究.[FQ）]

“滑杆”模型是高中物理电磁感应问题中常规模型，在各类电磁感应试题中频频出现，此类问题中对滑杆运动的定量分析往往只停留在收尾状态上，一般回避从力与运动角度对导体棒的运动过程进行定量分析，现对以下四种模型中导体棒的速度、位移随时间变化的规律进行定量计算.

1 “含阻式”单杆模型的定量计算如图1所示，导轨光滑，导体棒初速度为v0，质量为m，磁感应强度为B，现定量计算其速度及位移随时间变化的规律.

任一时刻，对导体棒由牛顿第二定律可得：-B2L2vR=ma，将a=dvdt代入得：-B2L2vR=mdvdt，整理得：1vdv=-B2L2mRdt，

对上式积分得：lnv=-B2L2mRt+A，

进一步得到：v=e-B2L2mRt+A=A1e-B2L2mRt，

当t=0时，v=v0，可得上式中A1= v0，

则上式为：v=e-B2L2mRt+A=v0e-B2L2mRt（1）

由（1）式可知，当v=0时，t=+∞

将v=dxdt代入（1）式得：dxdt=v0e-B2L2mRt，

对上式积分得：x=-mRv0B2L2e-B2L2mRt+A，

当t=0时，x=0，可得上式中A=mRv0B2L2，

则上式为x=-mRv0B2L2e-B2L2mRt+mRv0B2L2（2）

由（2）式可知，当v=0，即t=+∞时，x=mRv0B2L2.

由以上计算可知，该模型中导体棒速度减为零的时间趋近于无穷大，而位移趋近于一定值.

2 “含容式”单杆模型的定量计算如图2所示，导轨光滑，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻为R，磁感应强度为B，电容为C，现定量计算其速度及位移随时间变化的规律.

导体棒向右运动时产生感应电动势，对电容器充电，充电过程中有电流通过导体棒，导体棒在安培力的作用下减速，电容器上不断积累电荷，当其电压等于导体棒电动势时，不再充电，电路中无电流，导体棒匀速.

充电过程，对导体棒由动量定理可得：-∑BIiLΔt=∑mΔv，

结合初始条件解得：

v=B2L2v0B2L2C+me-B2L2C+mRmCt+mv0B2L2C+m（3）

将v=dxdt代入上式并进一步解微分方程得：

x=-B2L2v0mRC2（B2L2C+m）2e-B2L2C+mRmCt+mv0B2L2C+mt+B2L2v0mRC2（B2L2C+m）2（4）

由（3）可知，当v=vm时，t=+

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，由（4）式知，此时x=+

SymboleB@

由以上计算可知，该模型中导体棒进入收尾状态的时间趋近于无穷大，位移也趋近于无穷大.

3 “含源式”单杆模型的定量计算如图3所示，导轨光滑，导体棒初速度为v0，质量为m，磁感应强度为B，电动势为E，现定量计算其速度及位移随时间变化的规律.

导体棒在安培力作用下向右运动时产生感应电动势，当BLv=E时，电流为0，导体棒匀速，匀速速度为vm=EBL

任一时刻，对导体棒由牛顿第二定律可得：v=EBL（1-e-BLmRt）（5）

由（5）式可知，当v=vm时，-BLmRt=0时，t=+∞

由（5）式得：dxdt=EBL（1-e-BLmRt），

对上式积分得：x=EBLt+mREB2L2e-BLmRt+A2，

当t=0时，x=0，可得上式中A2=-mREB2L2，

则上式为x=EBLt+mREB2L2e-BLmRt-mREB2L2（6）

由（6）式可知，当v=vm，即t=+∞时，x=+

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由以上计算可知，该模型中导体棒进入收尾状态的时间趋近于无穷大，位移也趋近于无穷大.

4 双杆模型的定量计算

如图4所示，导轨光滑，两导体棒质量均为m，磁感应强度为B，回路总电阻为R，现给导体棒a一初速度v0，该模型的收尾状态为回路电流为0，a、b匀速且速度相等.现定量计算导体棒a、b的速度及位移随时间变化的规律并讨论其收尾状态.

设导体棒a、b的加速度分别为a1和a2，任意瞬间均有a1=-a2，

对b棒有：

a2=B2L2v0mRe-2B2L2mRt，

x2=mRv04B2L2e-2B2L2mRt+v02t-mRv04B2L2.

由以上两式可知，当t趋近于无穷大时，v2=v02，x2=+

SymboleB@

.

现在再来研究导体棒a，由前面计算可知a1=-a2=-B2L2v0mRe-2B2L2mRt，

x1=-mRv04B2L2e-2B2L2mRt+v02t+mRv04B2L2.

可见，当t趋近于无穷大时，v1=v02，x1=+

SymboleB@

.

两者的位移差Δx=x1-x2=mRv02B2L2-mRv02B2L2e-2B2L2mRt，显然二者的相对距离随着时间在增大，当时间趋近无穷大时，Δx=mRv02B2L2，为一定值.

5 对“滑杆”模型类问题命题的思考

通过以上计算可知，滑杆达到最后的收尾状态所需时间均为无穷大，除了“含阻”单杆模型中导体棒的收尾位移趋近于一定值外，其他三个模型中导体棒的位移均趋近无穷大.也就是说，在该类模型中，若收尾速度趋近于0，则最终位移趋近一定值;若收尾速度趋近于一定值，则最终位移趋近无穷大.因此在收尾状态为匀速运动的滑杆模型的命题中，若限定了其收尾的位移，则均为错题，题目必然会出现数据不自洽的问题.如下面两道试题;

试题1（2015年天津高考第11题（题目略））

错因分析由题意知，ef、pq边进入磁场，线框开始做加速度減小的加速运动，由前面的分析方法可知，若线框再次匀速运动，需用的时间是无穷大，线框的位移也是无穷大，因此在ab边进入磁场前，线框不可能匀速.

试题2如图5所示，PQMN与CDEF为两根足够长的固定平行金属导轨，导轨间距为L.PQ、MN、CD、EF为相同的弧形导轨;QM、DE为足够长的水平导轨.导轨的水平部分QM和DE处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B.a、b为材料相同、长都为L的导体棒，跨接在导轨上.已知a棒的质量为m、电阻为R，a棒的横截面是b的3倍.金属棒a和b都从距水平面高度为h的弧形导轨上由静止释放，分别通过DQ、EM同时进入匀强磁场中，a、b棒在水平导轨上运动时不会相碰.若金属棒a、b与导轨接触良好，且不计导轨的电阻和棒与导轨的摩擦.

通过分析计算说明，从金属棒a、b进入磁场至某金属第一次离开磁场的过程中，电路中产生的焦耳热.

错因分析此题给的标准答案认为在其中一个导体棒离开磁场时，两导体棒已经共速，由前面的计算可知，要想实现二者匀速，导体棒的位移均为无穷大，而导体棒既然能够离开磁场，则磁场区域的长度必是有限的，故当导体棒离开磁场时，二者仍未共速.各自速度为多大，还需由磁场区域的长度进一步计算确定.因此，该问中的产生的焦耳热无法计算.此题也是一道末考虑到收尾位移的错题.

参考文献：

[1] 杨榕楠.更高更妙的物理高考高分与自主招生决胜篇

[M].杭州：浙江大学出版社，2013：283.

[责任编辑：李璟]