一种制导系统综合性能优化方法研究*

李迎博，谭黎立，梁卓，王凯旋，潘彦鹏

（中国运载火箭技术研究院 战术武器事业部，北京 100076）

0 引言

系统优化是指寻求一个最优方案，使所选取的对象指标能够最优地满足要求。对系统优化一般分为2 步：首先建立问题的数学模型，选择变量、目标函数及约束条件；之后对模型进行分析研究，综合考虑优化对象特性、优化效率等诸多因素，选取合适的算法。

目前对防空导弹制导系统的优化往往只针对某个特定指标，如脱靶量、飞行时间等，但制导系统性能包含的要素众多，单个指标的最优并不代表综合性能最优，甚至可能出现单个指标更优但系统综合性能下降的情况。因此首先要建立制导系统综合性能评估指标体系，确定目标函数；之后设计制导律，并选取制导律中的关键参数作为优化变量；最后根据制导系统的特性选取优化算法，完成系统优化。

系统优化算法按照优化对象可分为如下几类［1］：如果问题的最优解是随着时间的推移而变化的，则为动态优化问题，反之则为静态优化问题；如果所选取的目标或约束条件中的变量是非线性函数，则为非线性最优化问题，反之为线性最优化问题。制导系统优化是一个静态非线性优化问题，针对此类问题，常用的方法包括单纯形法、序列二次规划法、遗传算法［1-3］等。但其与一般数学优化问题不同的是，制导系统存在众多的过程约束量。为此，本文设计了一种单纯形与增广拉格朗日相结合的方法，将过程约束与无约束优化算法融合，在完成系统优化的同时，保证过程约束的满足性。

综合上述，本文以“爱国者”-3 防空导弹为研究目标，建立了其制导系统性能评估体系，针对过程约束及目标函数，使用一种单纯形与增广拉格朗日相结合的方法对制导系统进行优化，仿真结果表明该方法可有效提高制导系统的综合性能。

1 综合性能指标体系与目标函数建立

影响防空导弹制导系统性能的因素有很多［4-7］，本文根据“爱国者”-3 防空导弹的特性，选取技术指标满足性、制导算法能力、过程约束3 类指标进行性能分解。

（1）技术指标

技术指标直接关系到导弹的作战性能，与制导系统相关的内容见表1。

表1 技术指标内容Table 1 Contents of technical indicators

（2）制导律性能

防空导弹的制导律一般分为中制导、中末交班规律及末制导3 段，中制导负责将导弹导引至预测命中点，末制导直接导引导弹命中目标，中末交班规律负责二者之间的指令过渡。制导律性能包含的内容见表2。

表2 制导律性能内容Table 2 Performance of guidance law

（3）过程约束

过程约束与飞行安全性、可靠性息息相关，本文选取飞行过载约束项。

制导系统性能评估指标体系如图1 所示。

图1 制导系统综合性能评估指标体系Fig.1 Comprehensive performance evaluation index system of guidance system

得到制导系统综合性能指标体系后，需完成综合性能评估，以建立目标函数。综合性能评估的方法由很多［8-9］，本文使用应用比较广泛的层次分析法［10-12］进行底层指标权重计算，层次分析法计算流程见图2。

图2 层次分析法计算流程Fig.2 Calculation flow of analytic hierarchy process

首先建立指标之间的判断矩阵，并计算得到底层指标对顶层指标的相对权重向量为

假定底层指标评价值为wi，则评价值向量为

由此可得到目标函数表达式为

2 制导律设计与优化变量确定

前文中已经提到，防空导弹制导律分为中制导、中末交班规律和末制导3 部分，具体制导律设计如下。

（1）中制导律

中制导导引的目标为预测拦截点，本文提供一种基于零脱靶量的导引律，它的目的是使导弹与预测拦截点的相对距离趋于0。

假设导弹与目标在发惯系下的位置分别为xm，ym，zm，xt，yt，zt，设计算法为

式中：Δx=xt-xm，Δy=yt-ym，Δz=zt-zm；Δẋ=ẋt-ẋm，Δẏ=ẏt-ẏm，Δż=żt-żm；NM1，NM2为 比 例 常数；ayc，azc为导弹加速度指令。

（2）末制导律

末制导律采用比例导引，设计算法为

式中：

NE1，NE2为 比 例 常 数；avc，ahc为 导 弹 加 速 度指令。

（3）中末交班规律

中末交班规律用于中末制导指令之间的过渡，设计算法为

式中：acm，acl分别为中段和末段制导指令；R0为中制导距离；Rd为中末交班距离。

由上文可以看出，三段制导律中，需要优化确定 的 参 数 为4 个 比 例 常 数NM1，NM2，NE1，NE2及 中 末交班距离Rd，因此选取上述5 个参数组成优化变量向量u= [NM1NM2NE1NE2Rd]。

3 优化方法确定

前文提到，制导系统优化是一个静态非线性优化问题，常用的算法包括单纯形法、序列二次规划法、遗传算法。其中，单纯形法逻辑简单、收敛速度极快，因此应用较为广泛。

单纯形法主要原理为在n（n为优化变量个数）维空间形成由n+ 1 个顶点的多面体，然后比较各个顶点的函数值，经过反射、扩大、缩小等逻辑操作，去掉其中的最坏点而代之以新点，即构成一个新的单纯形，用这样的方法逼近极小点。该方法缺点是效率会随着优化变量个数增多而下降，但本文中选取的制导系统优化变量个数为5 个，相对较少，因此本文采用单纯形法作为优化搜索算法。

单纯形均为无约束搜索算法，而制导系统的优化变量取值及过程量均存在约束，针对此问题，本文使用增广拉格朗日法［3］将有约束问题转换为无约束问题。增广拉格朗日法同时综合了拉格朗日乘子法和惩罚函数法，即在原目标函数中引入拉格朗日乘子及惩罚项，从而将约束满足情况与优化目标融合，最终得到符合约束的最优目标函数。

首先，给出算法几个核心函数的计算公式：（1）目标函数

式中：f为目标函数；hi为约束项差值；m为约束项个数；λi，β(k)i为系数；k为迭代次数。

（2）中心点

式中：Xi为单纯形顶点。

（3）反射点

式中：XfC为反射中心点；Xf1，Xf2为反射前后的点。

（4）扩大

式中：XkC为扩大中心点；Xk1，Xk2为扩大前后的点。

（5）缩小

式中：Xs1分别为起点；Xs2，Xs3为缩小前后的终点。

（6）系数更新

图3 优化算法计算流程Fig.3 Calculation flow of optimization algorithm

4 仿真验证

本文以“爱国者”-3 防空导弹为研究对象，依据其公开的尺寸、质量［13-15］及部分个人估算的参数，进行仿真验证。具体内容如下。

（1）“爱国者”-3 导弹仿真初始配置参数

仿真使用的初始配置参数见表3。

表3 “爱国者”-3 导弹仿真初始配置参数Table 3 Initial configuration parameters of Patriot-3 missile simulation

（2）约束确定

选取的约束包括：所选取的5 个优化变量取值约束及仿真过程中最大动压约束Pmax。

（3）目标函数确定

目标函数见表达式（1），其中pi已在前文得到，wi通过专家采用百分制打分得到。打分规则见表4。

表4 指标打分规则Table 4 Index scoring rules

（4）初值确定

给所选取的优化变量赋初值，结果如下：

（5）仿真算例设计

建立“爱国者”-3 防空导弹的六自由度仿真模型及目标的三自由度机动模型。其中目标模型设置10 条不同工况，结果如表5 所示。

由表5 可见，10 条工况的优化后的综合性能均得到明显提高。以目标1 为例，给出收敛过程中综合性能值变化情况见表6。

表5 优化前后综合性能对比情况Table 5 Comparison of comprehensive performance before and after optimization

表6 综合性能收敛情况Table 6 Convergence of comprehensive performance

以目标1 为例，给出优化前后的防空导弹弹道曲线如图4 所示。

图4 前后的弹道曲线Fig.4 Trajectory curve before and after optimization

综合仿真结果可知，在同一制导律下，通过对制导律参数的优化，改善了制导综合性能底层参数指标，在未显著改变弹道形态的前提下，给综合性能指标带来了较为明显的改变；优化过程中算法收敛迅速，收敛后的结果较优化前改善明显。证明了本文指标体系及优化算法的合理性。

5 结束语

本文以“爱国者”-3 防空导弹为研究目标，首先建立了制导系统性能评估体系，针对过程约束及目标函数，使用一种单纯形与增广拉格朗日相结合的方法对制导系统进行优化，仿真结果表明该方法可有效提高制导系统的综合性能。