对两道抛物线考题的多视角思考

江苏省灌云高级中学 (222200) 施建波

对一些典型题目进行深度“思考”，进行“二次创作”，挖掘出所潜在的教育功能、拓展功能和应用功能，让学生做一道题会一类题、会一串题，对于提高学生举一反三、触类旁通的数学素养是十分有意义的.本文以两道抛物线模考题为例说明.

1.考题呈现

例1 已知抛物线C：y2=2x和点P(2,2)，A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA,kPB满足kPA+kPB=2，则直线AB过定点( ).

A.(1,0) B.(-1,0)

C.(0,-1) D.(0,0)

例2P(x0,y0)是抛物线C：y2=2px(p>0)上一定点，A,B是C上异于P的两点，直线PA,PB的斜率kPA,kPB满足kPA+kPB=λ(λ为常数，且λ≠0)，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点( ).

点评：很显然，例1是例2的特例，例2是由例1拓展的一般结论(这里记作结论1).有了结论1，对于“过抛物线C：y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)的两条直线PA,PB，与抛物线C交于A,B两点，若直线PA,PB的斜率kPA,kPB之和为非零定值，则直线AB过定点”这一类问题便迎刃而解了.

2.多视角思考

思考1 (横向类比拓展)对于抛物线“斜率之和为非零定值”这类试题有上述的结论，那么对于椭圆、双曲线是否也有类似的结论呢？

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

由此高考题，可以将结论1类比到结论2，进而拓展得结论3.

思考2 (逆向探析)对于逆向试题：“过曲线上一定点P(x0,y0)的两条直线PA,PB，与曲线C交于A,B两点，若直线AB过定点(或直线AB的斜率为定值)，则直线PA,PB的斜率kPA,kPB之和为定值”，是否也有类似结论1的一般性结论呢？

(1)试求椭圆M的方程；

由此例题，可以将结论1逆向拓展到结论4(结论3的逆定理).

思考3 (纵向思考)上述各结论中，均有条件“λ≠0”，若λ=0会有什么样的结论呢？

例5 已知抛物线C：y2=2x和点P(2,2)，A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA,kPB满足kPA+kPB=0，则直线AB的斜率为( ).

通过此例题并类比到椭圆和双曲线，还可以有下面的一般性结论：

思考4 (变向思考)上面研究的都是“斜率之和为定值”的情况，若将条件中的“之和”改为“之积”，是否也有定点结论呢？

例6 已知抛物线C：y2=2x和点P(2,2)，A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA,kPB满足kPA·kPB=2，则直线AB过定点( ).

进一步，也可以将“斜率之积”为定值情形，拓展到椭圆和一般曲线中.