离散型随机变量问题中的函数思想

林奕瑾

离散型随机变量是概率统计中的难点，尤其是与函数思想结合在一起的时候。很多同學缺乏函数意识，不善于将出现的变量当成函数的自变量，转化成函数问题，因此往往陷入思维停滞。下面举例说明离散型随机变量中函数思想的渗透以及应用问题。

例1 （2022届深圳实验学校、长沙一中联考）高三（l）班共有50名同学，临近元旦，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演。张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演。游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数n（n>2）;每位同学手里均有n张除颜色外无其他区别的卡片;第k（k=l，2，3，…，n）位同学手中有k张红色卡片，n-k张白色卡片;老师任选其中一名同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演。

（1）若n-3，求张老师同意参加文艺表演的概率;

（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少名同学参与游戏？

分析：先让我们研究当n-3时，“第二次取出的卡片为白色”这个事件的概率，我们不妨分别从三种情况作出分析。

解：（1）当n-3时，设选出的是第k（k=1，2，3）位同学，连续两次卡片的方法数为3×2=6，第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：

白，白，取法数为（3-k） （3-k -1）;

红，白，取法数为k（3-k）。

从而第二次取出的是白色卡片的种数为

例2 （2022届广州调研）某校开展“学习新中国史”的主题学习活动。为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试。答题测试的规则如下：每名参与测试的同学最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试;第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分，若两次均答错，答题测试不过关，得0分。某班有12名同学参与测试，假设每名学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每名学生答题测试过关的概率为p。

命题者在以上两道考题的设计中，均有意在第一小题进行了铺垫，先从研究某个变量的具体值对应的情况人手，再引导同学们进入变量的一般值对应的情况，即通过渗透函数思想来解决离散型随机变量中的最值问题，值得同学们学习总结。