概率问题学习导引

潘银春

概率是对随机事件发生可能性大小的度量，概率是高考的必考内容。高考主要考查随机事件的概率，考查事件的相互独立性以及概率与频率等。下面举例分析，供大家学习与提高。

一、互斥事件的概率及其应用

互斥事件与对立事件的概率计算：若事件求复杂事件的概率常用的两种方法：将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;先求其对立事件的概率，再应用公式P（A）= 1-P（A）求解。

例1 黄种人群中各种血型的人所占的比例如表1所示。

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，请问：

（1）任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

二、事件的相互独立性

利用相互独立事件求复杂事件概率的三种思路：将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和;将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件;代入概率的积、和公式求解。

例2计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书。甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为4/5，3/4，2/3，在实际操作考试中“合格”的概率依次为1/2，2/3，5/6所有考试是否合格相互之间没有影响。

（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率。

解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A，

（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

（3）假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

解：（1）由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9。

（2）击中靶心的次数大约是300×0.9=270。

（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化。最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心。

四、概率问题中的补集思想

在解答概率应用问题中，当某一事件的概率不易直接求出或求解较为困难，但该事件的对立事件的概率比较容易求得时，可利用公式“P（A）+P（A）=1”从反面进行思考，将所求事件的概率转化为求其对立事件的概率，这就是概率问题中的补集思想。

例4 甲、乙兩名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9。

（1）求两人都射中的概率。

（2）求两人中恰有一入射中的概率。

（3）求两人中至少有一人射中的概率。

解：设“甲射击一次，射中目标”为事件A，“乙射击一次，射中目标”为事件B。事件A与B是相互独立的。

（1）两人都射中的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）两人中恰有一人射中的概率为P（AB）+P（AB）=0.8×（1- 0.9）+（l-0.8）×0.9=0.26。

（3）两人中至少有一人射中的概率为1-P（AB）=I-P （A）P （B）=1-0.2×0.1=0.98。

感悟与提高

新高考的“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式。某同学已选了物理，记事件A为“他选择政治和地理”，事件B为“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（ ）。

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

提示：事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A与B是互斥事件，不是对立事件。应选A。

作者单位：江苏省郑梁梅高级中学

（责任编辑 郭正华）