事件独立性的理解与应用

孙杰

概率中的事件独立性是一个非常重要的基本概念。在学习过程中，首先要理解相互独立的意义，才能理解相互独立的随机事件之间概率的关系，然后利用这些关系判断两事件的独立性。下面从三个方面进行阐述。

一、事件独立性概念的理解

事件的相互独立性概念的直观解释：如果事件A的发生不会影响事件B发生的概率，或者事件B的发生不会影响事件A发生的概率，则事件A与B相互独立。事件A与事件B相互独立的充要条件是P（AB）=P（A）P（B）。在实际应用中，如果事件A与事件B是来自于相同条件下进行的两个随机试验，则这两个事件是相互独立的。

二、事件独立性的辨析

例1 下列事件A，B是相互独立事件的为（

）。

A. 一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”

B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”

D.甲、乙两运动员各射击一次，A表示“至少有一入射中目标”，B表示“甲射中目标但乙未射中目标”

解：一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”，则P（A）一P（B）=1/2，P（AB）=1/4=P（A）P（B），可知事件A，B是相互独立事件。袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，事件A发生时，影响到事件B发生的概率，所以事件A，B不是相互独立事件。掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数为偶数”，则事件A，B是互斥事件，P（AB） =0≠P（A）P（B），所以事件A，B不是相互独立事件。“至少有一人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB =B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A） . P（B），所以A，B不是相互独立事件。应选A。

点睛：判断独立事件常用的方法：定义法，若事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，反之亦然，则A，B这两个事件是相互独立事件;公式法，若两事件A，B，满足P（AB）=P（A）P（B），则事件A，B相互独立。独立性的判断不能仅仅停留在直觉判断上，必须要落实到公式的验证上。

点睛：利用相互独立事件解题应注意的问题：根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和，这些事件之间必须满足相互獨立。