配方法解一元二次方程精读

张涛

【摘要】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程“降次”为两个一元一次方程.通过解两个一元一次方程，到达求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基础方法，且又是一种重要的方法，下面让我们一起来理解配方法在解一元二次方程中的应用.

【关键词】配方法;直接开平方法;规律总结

知识点精读

1.配方法：将一元二次方程配成（x+m）²n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

2.用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式;

（2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;

（5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

3.规律总结：

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）²=p.

（2）当p=0时，则（x+n）²=0，x+n=0，开平方得方程的两个根为x₁=x₂=-n.

（3）当p<0时，则方程（x+n）²=p无实数根.

例1用配方法解方程x²+4x+1=0时，配方结果正确的是（）

（A）（x-2）²=5.（B）（x-2）²=3.

（C）（x+2）²=5.（D）（x+2）²=3.

分析先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可.

解因为x²+4x+1=0，

所以x²+x=-1，

所以x¹+4x+4=-1+4，

所以（x+2）²=3，

故选（D）.

例2已知a是不等式5（a-2）+8<6（a- 1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x²+2ax+a+1=0.

分析解不等式5（a-2）+8<6（a-1）+7，得a>-3，所以最小整数解为-2，于是将a=-2代入方程x²-4x-1=0.利用配方法解方程即可.

解解不等式5（a-2）+8<6（a-1）+7，得a>-3，

所以最小整数解为a=-2，

将a=-2代入方程x²+2ax+a+1=0，

得x²-4x-1=0，

配方，得（x-2）²=5.

直接开平方，得

例3用配方法解一元二次方程2x²-3x-1=0，配方正确的是（）

半的平方.

解由原方程，得

故选（A）.

例4将一元二次方程x²-8x-5=0化成（x+a）²=b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）

（A）-4，21.（B）-4，11.

（C）4，21.（D）-8，69.

分析将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

解因为x²-8x-5=0，

所以x²-8x=5，

则x²-8x+16=5+16，

即（x-4）²=21，

所以a=-4，b=21，

故選（A）.

分析解此题关键是理解题意

即（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=8x，

解此方程即可.

所以（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=8x，

所以x²-4x+1=0，

所以x²-4x+4=-1+4，

所以（x-2）²=3，