高等代数实践教学创新途径探讨

黄敬频，王宏兴

（广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁）

一 引言

党的十九大以来，教育部推出了“四新”建设、“六卓越一拔尖计划”“双万计划”以及“课程思政”等一系列重要举措，我国高等教育进入内涵式发展新阶段，高校人才培养能力得到全面提升。在本科教育教学质量全面振兴的大背景下，许多教育新思想、新方法不断出炉，一些陈旧的教学模式正在更新发展。针对当前存在的问题，教育部在《2020年度全国普通高校本科教育教学质量报告》中指出[1]，高校应当增强主体意识，搭建学科专业交叉融合平台，改革完善人才培养方案、重组课程体系、更新教学考核和教师评价方法，为学科专业交叉融合办学创造优良的环境条件。

为适应时代变化和社会对人才的需求，国内高校已普遍认识到实践能力在人才培养中的重要性，并在各专业课程中制订了理论教学与实践教学相结合的教学方案，并分配有适当的实践课时。高等代数作为数学与应用数学、信息与计算科学、金融数学等数学大类专业的基础课，其实践能力培养理所当然列入教学计划当中。然而从教学过程中发现，该课程执行实践教学的效果并不理想，学生的学习基本停留在对理论知识的被动接收，所学的代数知识不能较好地与其他课程对接与融合，造成学用脱节、综合应用能力弱化现象。近年来，许多学者从应用型本科发展[2-3]、大众教育背景[4]、专业定位[5]、实践教学内容渗透[6]等角度讨论了高等代数课程教学改革的思想方法。本文从专业知识交叉融合角度出发，进一步探讨高等代数实践教学的创新途径。

二 高等代数实践教学存在问题

以笔者所在教学单位为例，高等代数设置144学时，分两个学期教学，其中实践课时为16学时，共计1个学分。但在教学过程中，实践课时使用效果并不理想，许多学生直到毕业也不会将其知识点应用到解决实际问题当中，造成这一现象的原因主要有以下情况。

（一） 缺少课程交叉融合案例

每个专业都有其合理的课程体系，各课程之间也存在一定的关联性。以信息与计算科学专业为例，除高等代数外，还有数学分析、解析几何、Matlab及其应用、数学模型、数值分析、矩阵计算、运筹学等专业课程，这些课程与高等代数都有内在联系。但学生在学习过程中，由于缺乏课程交叉融合的案例教学，致使学用脱节，感受不到高等代数课程在本专业中的作用和地位，失去学习兴趣与动力。就目前选用的高等代数教材来看[7]，内容具有理论性强、结构严谨、逻辑清晰、概念抽象等特点。尽管该教材已第五版修订，在应用实例方面增加了一些内容，比如第三章增加了平板在热平衡下的温度分布，第七章增加了矩阵及其特征值在图论中的应用以及斐波那契数列等内容，但总体还是偏少，尤其缺少课程之间交叉融合的实践案例。

（二） 缺少综合实践训练项目

从高等代数的教学过程及学生课后练习了解到，学生只会套用课本定理及公式去解答相应的习题，稍微综合一点的题目就无从下手，由此可见学生的知识碎片难以拼接是本课程学习的一大障碍，当然这与缺少前后知识交叉融合的综合实践训练项目有关。教师为了完成理论教学，无暇顾及实践训练项目的设计，失去教师的引导，学生就迷失学习方向，直接产生的后果除难以让学生的知识融会贯通外，也错过激发学生探索创新精神的好时机。

（三） 实践考核制度不完善

对于高等代数的理论教学，各高校已有很完善的考核保障制度，但其实践教学除人才培养方案中列出实践课时外，没有具体的考评制度。由于制度的缺失，一是让教师觉得实践环节可有可无，只需按教材内容讲好每节课，无须花费更多的时间来设计实践项目，以至采用理论课顶替了实践课；二是使学生失去了参与实践能力训练的良好机会，助长学生的依赖和懒惰行为，严重影响到学生参与实践的积极性与主动性。

三 高等代数实践教学创新途径

针对上述有关高等代数实践教学所存在的问题，我们从专业知识交叉融合角度出发，给出有效利用实践课时进行相关教学内容设计的思想方法和实践教学的创新途径。

（一） 实践案例跨课程设计

在实际教学活动中许多教师往往没有注意到课程之间存在的关联性，这在一定程度上影响到学生的综合能力提升。因此，教师要改变自己的角色，坚持教师主导原则，引导学生向综合能力发展，教师需要根据具体专业的人才培养目标来建立起高等代数与其他课程之间的联系，打通相关的专业课程，提升知识的连贯性与动态性，引导学生有目的地建立好相关知识网络，提升学生的综合技能水平。例如，讲第二章行列式和第四章矩阵时，教师可以根据教学需要设计数学实验，让学生利用Matlab等科学计算软件，去体会一些数值计算方法内容，让学生从高等代数的学习中感悟出更多新思想，同时学生的计算机操作能力和互动沟通交流能力也能够有所提高，实现跨课程综合实践训练目的。

此外，同一门课程在不同专业的教学应有各自的特点，高等代数也不例外。以信息与计算科学专业为例，该专业要求学生初步具备在信息科学与计算科学领域从事科学研究、解决实际问题及设计开发有关软件的能力。因此，课程实践案例的设计应围绕这个专业方向来选材，使得学生不断巩固专业思想，提高学习兴趣，也激发学生探索专业问题的热情。比如学习第三章线性方程组时，可设计下面一个交通问题的案例。

案例1. 某城区四周是井字形街道，其交叉节点为A,B,C,D，为缓解交通压力，采用单行方式控制流量，其中A,D为进城口，B,C为出城口，车辆流向为A,D→B,C并规定每个节点进入和离开的车辆数相等。当给定某一时段的车流量，即给出流入或流出各个节点的2个值后，试计算四条路段上的交通流量。如果改变一些路段的车流量，那么相应方程组的解有何变化呢，并尝试采用Matlab软件来求解该问题。

对于上述案例1，通过列方程组求解，可让学生直观体会到理论与实际问题的联系。当方程组的解出现有自由未知量时，说明四条路段上的车流量可在一定范围进行动态调整，有利于交通部门指挥疏导拥堵的车辆，让学生感受到该问题对分析和改进交通网络是有实际意义的。同时这个案例加深了学生对方程组有唯一解、无解或有多个解的理解，从涉及的知识面来看，融合了数学模型、运筹学、Matlab及其应用等专业课程的知识。

矩阵的对角化在高等代数中是一个重要的知识点，涉及的内容有二次型的标准形、线性变换、正交变换等。当学完特征值与特征向量之后，多数学生能依照课本方法去将矩阵化为对角形矩阵，但学生对这些矩阵计算有何实际意义并不理解，这时教师设计一个综合实践案例进行教学，对提高学生的求知欲望是有帮助的。对此我们给出如下教学案例。

案例2. 本市有A,B两家从事人工智能开发的私营企业，A是一家经营多年现有100名技术人员的企业，B是一家刚正式运营仅有20名技术人员的企业。由于两家企业的人才流动原因，A企业每年可留下60%的技术人员，而有40%流向B企业；而B企业每年可留下80%的技术人员，而有20%流向A企业。假定两家企业每年都按上一年度人数的10%引进新技术员，试确定2年后两家企业的技术员数量。进一步考虑，20年后这两家企业的技术员数量有何变化呢。

根据案例2的题意，我们容易得到n年后两家企业的技术人员数量Xn+1=MXn，这是一个简单的向量序列，其中X0=(100,20)T是初始技术人员数量，M是一个2阶方阵，那么2年后两家企业的技术员数量X2是不难计算的。但是当n=19时，学生会发现按原来的方法计算X20变得非常困难了，此时可给学生介绍利用矩阵特征值与特征向量计算矩阵方幂的方法，从而让学生了解到矩阵方幂的应用[8]，此案例融合了数学分析中数列的知识。

另外，在讲解矩阵的特征值与特征向量时，我们也可以引入人脸识别的应用案例[9]。首先指出在计算机上显示的一幅人脸图像，实际上是一个矩阵，一幅清晰度为1024×768的图像，就是m=1024，n=768的m×n矩阵。如果考虑简单的黑白图像，则矩阵表示的就是该点的灰度值。然后在人脸图库中挑选若干个有代表性的图像得到一张“平均脸”，并用矩阵A表示出来。取A的最大k个特征值所对应的特征向量作为空间基底，于是任意一幅人脸图像就可用该基底近似表示出来，从而实现人脸信息成功压缩并存储。这个案例融合了图像处理、矩阵计算、数值分析等专业课程知识，可加深学生对信息与计算科学问题的了解，并激发学生探索新问题的兴趣。

（二） 实践项目向综合化设计

为帮助学生理解和掌握高等代数的理论知识，提高学生综合分析和探索问题的能力，我们在实践教学中，有针对性地布置一些综合且开放的实践问题，以问题为导向，驱动实践教学活动的开展。例如，我们在讲完多项式理论、行列式计算、线性方程组求解及矩阵运算的有关知识后，可设计如下一个使课本知识交叉融合的实践训练项目：

项目1. 设f(x),g(x)是数域F中的两个多项式，构造x-矩阵A(x)并作初等变换

试说明f(x),g(x)的最大公因式与f1(x),g1(x)的最大公因式相同且

于是由C(x)可知d(x)是f(x),g(x)的最大公因式且d(x) =u(x)f(x) +v(x)g(x).进一步思考，如何用类似的方法求n个多项式f1(x),f2(x) ,… ,fn(x)的最大公因式呢。

又比如在第五章中正定矩阵的概念是由二次型的正定性所引出，然后指出了正定矩阵的许多性质，但教材的重点着重介绍这些性质和证明，对于正定矩阵有何用途并不介绍。针对这一情况，我们可设计如下一个有关正定矩阵的综合应用项目：

项目2. 设A是一个n阶正定矩阵，X是n维列向量，b是固定的n维列向量，c是固定的实数，试讨论当X取何值时n元实二次函数f(X)=X′AX+b′X+c取得最小值，并给出其结果。进一步思考，当A是n阶半正定矩阵时，其结果有何变化[10]。

学生对上述项目进行研究时会发现，项目1可用矩阵的初等变换求几个多项式的最大公因式，这比课本的辗转相除法更实用有效，项目2是把一元二次函数的最小值问题推广到n元二次函数的最小值问题，拓广了中学数学的内容和方法，也联系了数学分析中多元函数的极值问题，让学生感受到所学知识的用途，体验到课本知识的融合贯通。通过类似的实践项目训练，培养了学生的科研与创新能力。

（三） 实践训练向跨专业平台发展

跨专业实践训练是指多个专业围绕相同项目共同开展实践教学活动的一种课程组织形式。高等代数是数学大类专业的基础课，目前缺乏实践训练平台是阻碍该课程开展实践教学活动的瓶颈问题。在互联网应用相当普及的今天，应充分运用网络教学，同时结合现代高科技软件技术，搭建跨专业实践训练平台。在平台建设中，首先开发一个课程实践训练系统是必要的，这个系统可承担多门课程的实践训练任务，有项目储存、信息发布、成果提交、评价反馈等功能；其次是发挥本课程所有任课教师的团队力量，设计好高等代数每一章的实践训练项目，每学期都添加一定数量新的项目后，系统就有充足的综合与开放实践问题供学生进行训练。利用跨专业实践训练平台，既解决因课时不足而影响理论教学的进度，又解决实践教学考核难的问题，同时能较大提高学生参与课程实践的主动性和积极性。

（四） 实践考核向制度化完善

要提高学生参与实践的主动性，首先要让学生有充分的感性认识，这就需要通过大批的真人实事加强对实践教学的宣传，营造良好的自主学习氛围；其次要对学生的实践活动进行外在约束，从布置任务和跟踪检查到结果验收，都要有制度保障，让课程的实践学分真正落实到位。现在高等代数的教学评价基本由学生平时成绩和期末成绩两大部分组成，而平时成绩主要是看学生的上课考勤、提交作业、期中测验情况，与实践教学关系不大。所以，为了让学生能够从中获得更多的知识和能力，就需要改变这种考核评价方法，将实践能力的考核融入平时成绩中。同时给予教师适当的教学压力，目前高校教学中对教师的实践能力没有明确的要求，很多教师对此并不重视，因此通过制订课程实践教学目标，加强对教师实践教学管理等制度，也是提高学生实践创新能力的重要举措。

四 教学建议

（一） 案例素材的选取问题

案例素材的选取主要有两种途径，一是对已有的典型案例进行改编，使其难易程度与学生的接受能力相协调，有利于教学的顺利实施，比如，向量组线性相关内容可选取混凝土的配比问题；线性变换内容可选取计算机图形学中的应用问题，这些实践案例涉及的专业知识不深，学生容易理解和接受。二是根据教学内容的需要来编写，这样既能帮助学生对理论知识理解，又能把理论与实际问题联系起来。有些问题虽然与高等代数关系密切，但问题表述与求解过程比较庞杂，不适合选作教学案例。

（二） 实践教学的实施问题

从教学计划看，高等代数的实践课时为16学时，但在教学过程中理论与实践内容交叉进行，无法严格分离出实践课时。如果占用过多教学时间进行实践内容的讲授，势必影响教学任务中理论部分的完成。因此，除了合理利用课堂教学外，考虑采用网络平台进行实践内容的学习或实践项目的训练，更符合教学规律。

（三） 实践学分的考核问题

为了让实践教学落到位，教师在课堂上的案例教学固然重要，但学生的主观能动性也不容忽视，在课外如果没有监督和考核，学生的学习就会变得松散，难以全面提升学生的实践创新能力，因此教师除了引导学生实践训练外，抓住考核环节是关键，我们建议充分利用本单位开发的实践综合训练系统，让学生完成指定的实践项目，然后按时提交作品，最后由任课教师评定实践成绩，从而获得相应的学分。

五 结语

随着高等教育改革的稳步推进，学科专业交叉融合已成为发展趋势。在高等代数教学中从专业知识交叉融合角度渗透实践教学，对教师教学理念和学生学习方式的转变都将起到重要的促进作用。尤其随着课程改革与建设的不断深入，本文所提实践教学创新途径对改革高等代数课程体系，扎实推进实践教学并使其良性发展，凸显课程的专业特色，建设一流本科课程，培养高素质专业人才，具有一定的参考作用。